朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁非線性電路中的混沌現(xiàn)象學(xué)號：2姓名：蔡正陽日期：2009年3月2五：數(shù)據(jù)處理：1．計算電感L 本實驗采用相位測量。按照RLC諧振邏輯，當(dāng)輸入鼓勵的頻率時，RLC串聯(lián)電路將達到諧振，L和C的電壓反相，在示波器上顯示的是一條過二四象限的45度斜線。 測量得：f=32.8kHz；實驗儀器標(biāo)示：C=1.095nF由此可得： 估算不決定度： 預(yù)計u(C)=0.005nF，u(f)=0.1kHz則：即 總算結(jié)果：

2．用一元線性回歸主意對有源非線性負阻元件的測量數(shù)據(jù)舉行處理：（1）原始數(shù)據(jù)：RVRVRV71200-122044.9-81753.4-421000-11.82036.2-7.81727.5-3.812150-11.62027.2-7.61699.6-3.68430-11.42017.8-7.41669.4-3.46390-11.22007.9-7.21636.7-3.25100-111997.5-71601.2-34215-10.81986.7-6.81562.4-2.83564-10.61975.3-6.61519.7-2.63070-10.41963.4-6.41472.3-2.42680-10.21950.9-6.21420-2.22369-101937.6-61360.9-22115-9.81923.7-5.81295.1-1.82103.1-9.61909-5.61281.8-1.62096.8-9.41893.4-5.41276.7-1.42090.2-9.21876.9-5.21270.1-1.22083.4-91859.5-51261.1-12076.3-8.81840.9-4.81247.8-0.82068.9-8.61821.2-4.61226-0.62061.2-8.41800.1-4.41148.9-0.42053.3-8.21777.6-4.21075-0.2VRR1VRR1 按照可以得出流過電阻箱的電流，由回路KCL方程和KVL方程可知： 由此可得對應(yīng)的值。

對非線性負阻R1，將實驗測得的每個（I，U）實驗點均標(biāo)注在坐標(biāo)平面上，可得：圖中可以發(fā)現(xiàn)，（0.，-9.8）和（0.，-1.8）兩個實驗點是折線的拐點。故我們在、、這三個區(qū)間分離使用線性回歸的主意來求相應(yīng)的I-U曲線。使用Excel的Linest函數(shù)可以求出這三段的線性回歸方程：經(jīng)計算可得，三段線性回歸的相關(guān)系數(shù)均異常臨近1（r=0.99997），證實在區(qū)間內(nèi)I-V線性符合得較好。應(yīng)用相關(guān)作圖軟件可以得出非線性負阻在U<0區(qū)間的I-U曲線。將曲線關(guān)于原點對稱可得到非線性負阻在U>0區(qū)間的I-U曲線：

3．看見混沌現(xiàn)象：（1）一倍周期： 一倍周期 Vc1-t（2）兩倍周期： 兩倍周期 Vc1-t（3）四倍周期： 四倍周期 Vc1-t（4）單吸引子： 單吸引子 陣發(fā)混沌 三倍周期 Vc1-t(5)雙吸引子： 雙吸引子 Vc1-t

4．使用計算機數(shù)值模擬混沌現(xiàn)象：（1）源程序（Matlab代碼）： 算法核心：四階龍格庫塔數(shù)值積分法文件1：chua.mfunction[xx]=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;xx=[];forj=1:symbol_no;k0=chua_map(x,time_variable,aaa);x1=x+kO*a;k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);xl=x+k1*a;k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,time-variable,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);xx=[xxx];end文件2：chua_initial.m:function[x0]=chua_initial(x,aaa)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;x=[-0.030.6-0.01]';k0=chua_map(x,1,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(xl,1,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,1,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,1,aaa);x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);fork=2:400kO=chua_map(x,k,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(xl,k,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);endx0=x;文件3：chua_map.m:function[x]=chua_map(xx,time_variable,aaa)m0=-1/7.0;m1=2/7.0;ifxx(1)>=1hx=m1*xx(1)+m0-m1;elseifabs(xx(1))<=1hx=m0*xx(1);elsehx=m1*xx(1)-m0+m1;endA=[09.001.0-1.01.0Oaaa0];x=A*xx;x=x+[-9*hx0O]';文件4：chua_demo.mx0=0.05*randn(3,1);[x0]=chua_initial(x0,-100/7);[xx]=chua(x0,1,-100/7,20000);plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end));xlabel('Uc1(V)');ylabel('Uc2(V)');figure;plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))xlabel('I(V)');ylabel('Uc1(V)');zlabel('Uc2(V)');(2)

對于本實驗，其微分方程組的求解還可以采用離散化的處理。詳細代碼如下：（Matlab代碼）functiondiscrete_chaidt=0.04;c1=1/9;c2=1;L=1/7;G=0.7;N=10000;a0=0.8;a1=0.1;MT=[1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,(1-dt*G/c2),dt/c2;0,-dt/L,1];UVI=zeros(3,N);UVI(:,1)=[0.1;0.1;0.1];fork=1:N-1;Bd=[-dt/c1*a0*UVI(1,k)*(a1^2*UVI(1,k)^2/3-1);0;0];UVI(:,k+1)=MT*UVI(:,k)+Bd;endplot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end));xlabel('Uc1(V)');ylabel('Uc2(V)');figure;plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))xlabel('I(V)');ylabel('Uc1(V)');zlabel('Uc2(V)'); 經(jīng)驗證：該代碼的執(zhí)行效率比四階龍格庫塔數(shù)值積分法要高，但初始精度稍差。

（2）數(shù)值仿真結(jié)果： 改變G的值，當(dāng)G=0.7時，數(shù)值仿真浮上雙吸引子：Uc1-Uc2圖 使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三維圖：I-Uc1-Uc2圖同時可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2對時光的曲線：改變G值，使G=0.35，數(shù)值仿真浮上單吸引子：Uc1-Uc2圖使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三維圖：同時可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2對時光的曲線：在結(jié)果中可以看到，計算機數(shù)值模擬的相圖特點和前述示波器的相圖極為相似。同時利用計算機可以方便地更改系統(tǒng)參數(shù)，充足顯現(xiàn)出計算機仿真的優(yōu)越性。

六、選做實驗： 費根鮑姆常數(shù)的測量： 以G作為系統(tǒng)參數(shù)，將RV1+RV2由一個較大值逐漸減小，記錄浮上倍周期分岔時的參數(shù)值Gn，得到倍周期分岔之間相繼參量間隔之比：測量時n越大值越趨近于費根鮑姆常數(shù)。在本實驗中因為條件限制，費根鮑姆常數(shù)的近似值可取： 實驗測得：R1=8700；R2=11060；R3=11829。代入上述公式，可得：4.1728

七、實驗后思量題：1．什么叫相圖？為什么要用相圖來研究混沌現(xiàn)象？本實驗中的相圖是怎么獲得的？ 答：將電路方程x=V1(t)和y=V2(t)消去時光變量t而得到的空間曲線，在非線性理論中這種曲線稱為相圖。在非線性理論中，我們會看到使用運動狀態(tài)之間的關(guān)系，更有利于揭示事物的本質(zhì)，它突出了電路系統(tǒng)運動的全局概念。在本實驗中，示波器CH1端接Vc1電壓，CH2端接Vc2電壓，這樣就能獲得Vc1-Vc2相圖。2．什么叫倍周期分岔，表現(xiàn)在相圖上有什么特點？ 答：系統(tǒng)在改變某些參數(shù)后，運動周期變?yōu)樵鹊膬杀?，即系統(tǒng)需要兩倍于原先的時光才干恢復(fù)原狀。這在非線性理論中稱為倍周期分岔。 倍周期分岔在相圖上表現(xiàn)為原先的一個橢圓變?yōu)閮蓚€分岔的橢圓，運動軌線從其中的一個橢圓跑到另一個橢圓，再在重疊處又跑到本來的橢圓上。3．什么叫混沌？表現(xiàn)在相圖上有什么特點？ 答：混沌大體包含以下一些主要內(nèi)容：系統(tǒng)舉行著貌似無歸律的運動，但決定其運動邏輯的基礎(chǔ)動力學(xué)卻是決定論的；詳細結(jié)果敏感地依賴初始條件，從而其持久行為具有不可測性；這種不可預(yù)測性并非由外界噪聲引起的；系統(tǒng)持久行為具有某些全局和普適性的特征，這些特征與初始條件無關(guān)?；煦缭谙鄨D上的表現(xiàn)為軌道在某側(cè)繞幾圈似乎是隨機的，但這種隨機性和真正隨機系統(tǒng)中不可預(yù)測的無邏輯又不相同。因為相點貌似無邏輯地游蕩，不會重復(fù)已走過的路，但并不是以延續(xù)概率分布在相平面上隨機行走，類似“線圈”的軌道本身是有界的，顯然其中有某些邏輯。4．什么叫吸引子？什么是非神奇吸引子？什么是神奇吸引子？表現(xiàn)在相圖上有什么特點？ 答：在系統(tǒng)條件一定下，無論個它什么樣的初始條件，總算都將落入到各自的終態(tài)集上，這些終態(tài)集被稱為“吸引子”。 周期解的吸引子稱為非神奇吸引子，非周期解的吸引子稱為神奇吸引子。5．什么是費根鮑姆常數(shù)？在本實驗中如何測量它的近似值？ 答：對于某一系統(tǒng)，改變參量r，當(dāng)r=r1時可以看到系統(tǒng)由穩(wěn)定的周期一變?yōu)橹芷诙^續(xù)改變r，當(dāng)當(dāng)r=r2時周期二失穩(wěn)，同時浮上周期四，如此繼續(xù)下去。定義：常數(shù)被命名為費根鮑姆常數(shù)。測量時n越大值越趨近于費根鮑姆常數(shù)。在本實驗中因為條件限制，費根鮑姆常數(shù)的近似值可?。?．非線性電阻R的伏安特性如何測量？如何對實驗數(shù)據(jù)舉行分段擬合？實驗中使用的是哪一段曲線？ 答：測量非線性電阻R時，把電感從電路中取出，這樣可以把有源非線性負阻R與移相器的連線隔開。將電阻箱R0和有源非線性負阻并聯(lián)，改變電阻箱R0的電阻值，用數(shù)字電壓表測URO，獲得有源非線性負阻在U<0V時的伏安特性。 分段時，先將實驗點畫在坐標(biāo)平面上，決定拐點的位置，然后分組舉行一元線性回歸擬合。 實驗中使用的是U<0V時的伏安特性曲線，需要和原點對稱，獲得U>0V時的伏安特性曲線。

八、實驗感想： 在本次實驗中，我初步了解了混沌的一些知識，并對混沌的理論和實際應(yīng)用產(chǎn)生了興趣。在實驗后，我通過查閱相關(guān)資料了解到，20多年來，混沌向來是舉世矚目的前沿課題和研究熱點，它揭示了天然界及人類社會中普遍存在的復(fù)雜性、有序與無序的統(tǒng)一、穩(wěn)定性與隨機性的統(tǒng)一，大大拓寬了人們的視野，加深了人類對客觀世界的認識?；煦绗F(xiàn)象在非線性科學(xué)中指的是一種決定的但不可預(yù)測的運動狀態(tài)。它的外在表現(xiàn)和純粹的隨機運動很相似，即都不可預(yù)測。但和隨機運動不同的是，混沌運動在動力學(xué)上是決定的，它的不可預(yù)測性是來源于運動的不穩(wěn)定性?；蛘哒f混沌系統(tǒng)對無限小的初值變動和微繞也具于敏感性，無論多小的擾動在長時光以后，也會使系統(tǒng)徹底偏離本來的演變方向?；煦绗F(xiàn)象是天然界中的普遍現(xiàn)象，天氣變化就是一