第24頁/共24頁武邑中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題.本題共8小題，每小題5分，共40分，將答案填涂在答題卡上相應(yīng)位置.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合A，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域求得集合B，利用集合的交集運算可得選項.【詳解】因為，又時，，所以，所以，故選：D.2.O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則＝（）A.－2 B.－C.－ D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正方形幾何特點，結(jié)合向量的線性運算，用表示目標(biāo)向量，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：＝＋＝＋＝－＋＝－，所以λ＝1，μ＝－，因此＝－2.故選：.【點睛】本題考查平面向量的線性運算，屬基礎(chǔ)題.3.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.0 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式和復(fù)數(shù)性質(zhì)解題即可.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部為0.故選：A4.正項等比數(shù)列中的是函數(shù)的極值點，則A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由，則，因為是函數(shù)的極值點，所以，又，所以，所以，故選A．考點：對比數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用．【方法點晴】本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到等比數(shù)列的通項公式、等比中項公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點和對數(shù)的運算等知識點的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及知識點的靈活應(yīng)用，試題涉及知識點多，應(yīng)用靈活，屬于中檔試題，其中解答中根據(jù)函數(shù)極值點的概念，得到是解答關(guān)鍵．5.已知公比不為1的等比數(shù)列的前項和為，且滿足成等差數(shù)列，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】成等差數(shù)列，，即，解得或（舍去），，故選C.6.已知正四面體的內(nèi)切球的表面積為36，過該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體，則所得截面的面積為A.27 B.27 C.54 D.54【答案】C【解析】【分析】先由內(nèi)切球表面積求出其半徑，結(jié)合圖像，找出球心半徑，用相似三角形列方程求出正四面體邊長，再求出所需截面即可.【詳解】解：由內(nèi)切球的表面積，得內(nèi)切球半徑如圖，過點作平面，則點為等邊的中心連接并延長交于點，且點為中點，連接記內(nèi)切球球心為，過作，設(shè)正四面體邊長為則，，，又因為，所以由，得，即，解得因為過棱和球心，所以即為所求截面且故選C.【點睛】本題考查了空間幾何體的內(nèi)切球，找到球心求出半徑是解題關(guān)鍵.7.已知，，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由，得出，再判斷，，得出結(jié)果.【詳解】因為，，且，則，，即；所以，即，所以，即.所以.故選：B.8.已知又，對任意的均有成立，且存在使，方程在上存在唯一實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡可得，根據(jù)成立，且存在，可知存在使得，即，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，其中滿足，又由任意的均有成立，即任意的均有成立，且存在使，可知最大值為，又，當(dāng)時，，又在上存在唯一實數(shù)使，即.故選：A二、多選題：本題共4小題，全部選對得5分，部分選對得2分，多選或錯選均不得分，共計20分，將答案填涂在答題卡上相應(yīng)位置.9.著名的“河內(nèi)塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號柱上從上至下?從小到大套著n個中心帶孔的圓盤.將一個柱子最上方的一個圓盤移動到另一個柱子，且保持每個柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作.設(shè)將n個圓盤全部從1號柱子移動到3號柱子的最少操作數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由題可得，進(jìn)而可得是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，可得，即得.【詳解】將圓盤從小到大編為號圓盤，則將第號圓盤移動到3號柱時，需先將第號圓盤移動到2號柱，需次操作；將第號圓盤移動到3號柱需1次操作；再將號圓需移動到3號柱需次操作，故，，又，∴是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，即，∴.故選：AD.10.折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或者綾絹做扇面的能折疊的扇子.如圖1，其平面圖是如圖2的扇形，其中，，點在弧上，且，點在弧上運動（包括端點），則下列結(jié)論正確的有（）A.在方向上的投影向量為B.若，則C.D.的最小值是【答案】ABD【解析】【分析】利用投影向量的定義可判斷A選項；建立平面直角坐標(biāo)系，利用三角恒等變換結(jié)合平面向量的線性運算可判斷B選項；利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可判斷C選項；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由題意可知，所以，在方向上的投影向量為，A對；對于B選項，以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)點，其中，由可得，所以，，所以，，所以，，，則，所以，，所以，，B對；對于C選項，，所以，，C錯；對于D選項，，其中，、，，，所以，，因為，則，所以，故當(dāng)時，取最小值為，D對.故選：ABD.11.已知復(fù)數(shù)，，，為坐標(biāo)原點，，，對應(yīng)的向量分別為，，，則以下結(jié)論正確的有（）A.B.若，則C.若，則與的夾角為D.若，則為正三角形【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算及復(fù)數(shù)的模的計算公式計算即可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算即可判斷B；根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律求出與的夾角的余弦值即可判斷C；結(jié)合C選項即可判斷D.【詳解】因為，，，所以，則，對于A，，故，，所以，故A正確；對于B，若，則，故B正確；對于C，設(shè)與的夾角為，若，則，即，即，所以，所以，即與的夾角為，故C錯誤；對于D，若，則，則，即，由C選項可知與的夾角為，同理與的夾角為，與的夾角為，又，所以，故D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增B.若的圖象在處的切線與直線垂直，則實數(shù)C.當(dāng)時，不存在極值D.當(dāng)時，有且僅有兩個零點，且【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷；對于B，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷；對于C，取，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷此時函數(shù)的單調(diào)性，說明極值情況，即可判斷；對于D，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，利用零點存在定理說明有且僅有兩個零點，繼而由可推出，即可證明結(jié)論，即可判斷.【詳解】因為，定義域為且，所以，對于A，當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，因為直線的斜率為，又因為的圖象在處的切線與直線垂直，故令，解得，故B正確；對于C，當(dāng)時，不妨取，則，令，則有，解得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上分別單調(diào)遞減；所以此時函數(shù)有極值，故C錯誤；對于D，由A可知，當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，所以在上有一個零點，又因為當(dāng)時，，，所以在上有一個零點，所以有兩個零點，分別位于和內(nèi)；設(shè)，令，則有，則，所以的兩根互為倒數(shù)，所以，故D正確．故選：ABD【點睛】難點點睛：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)知識的應(yīng)用，綜合性較，解答的難點在于選項D的判斷，要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用零點存在定理判斷零點個數(shù)，難就難在計算量較大并且計算復(fù)雜，證明時，要注意推出，進(jìn)而證明結(jié)論三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)，若方程有4個解分別為，且，則__________.【答案】10【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，有二次函數(shù)的對稱性可得，代入求解即可.【詳解】作出函數(shù)的大致圖象，如下：可知，且當(dāng)時，有2個解；，得；當(dāng)時，由有2個解，根據(jù)圖象的對稱性，得..故答案為：10.14.函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)_______________.【答案】【解析】【分析】由為奇函數(shù)，根據(jù)定義有，結(jié)合是單調(diào)函數(shù)即可求.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)知：，而，∴，即，又是單調(diào)函數(shù)，∴，即有，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，應(yīng)用的單調(diào)性列方程，屬于基礎(chǔ)題.15.在平行六面體中，以頂點為端點三條棱、、兩兩夾角都為，且，，，、分別為、的中點，則與所成角的余弦值為__________.【答案】【解析】【分析】計算出以及、的值，可求得的值，即可得解.【詳解】如下圖所示：由題意可得，，所以，，，，所以，.因此，與所成角的余弦值為.故答案為：.16.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若，，則的最小值為______．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，由此可求得，，從而表示出，再根據(jù)基本不等式求解即可．【詳解】解：∵，且，∴，∴公比，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故答案為：8．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的前項和，考查基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．四、解答題：（本大題滿分70分，每題要求寫出詳細(xì)的解答過程否則扣分）17.函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中軸．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將的圖像向右平移個單位，再向上平移2個單位得到的圖像，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象可求函數(shù)的對稱方程及，故可求函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象平移可求的解析式，故可求的值.【小問1詳解】由圖象可得函數(shù)圖象的一條對稱軸為，故，故，故，而，故即而，故，故.【小問2詳解】將的圖像向右平移個單位，再向上平移2個單位得到的圖像，故，故.18.在中，a、b，c分別是角A、B、C的對邊，且．（1）求角A的大小；（2）若是方程的一個根，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊后，利用余弦定理得到，進(jìn)而求得；（2）解方程求得方程的根，并作出取舍得到，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系得到的值，然后利用誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式求得.【詳解】（1）∵，∴，即，∴，又∵三角形內(nèi)角，∴；（2）等價于，解得或；∵，∴，∴，∴.19.函數(shù)在上的零點從小到大排列后構(gòu)成數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的基本性質(zhì)，求得其在內(nèi)的零點，分情況，可得答案；（2）由題意，可得數(shù)列的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可得答案.【小問1詳解】函數(shù)的最小正周期為.函數(shù)在上的零點分別為.數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即當(dāng)為奇數(shù)時，.數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即當(dāng)為偶數(shù)時，.綜上，【小問2詳解】，顯然數(shù)列為等差數(shù)列.所以其前項和為.20.如圖1，在邊長為4的菱形中，，點分別是邊，的中點，.沿將翻折到的位置，連接，得到如圖2所示的五棱錐.（1）在翻折過程中是否總有平面平面？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)四棱錐體積最大時，求點到面的距離；（3）在（2）的條件下，在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）總有平面平面，證明詳見解析（2）（3）存在，是的中點，理由見解析.【解析】【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點到平面的距離.（3）利用平面與平面所成角的余弦值來列方程，從而求得點的位置.【小問1詳解】折疊前，因為四邊形是菱形，所以，由于分別是邊，的中點，所以，所以，折疊過程中，平面，所以平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.小問2詳解】當(dāng)平面平面時，四棱錐體積最大，由于平面平面，平面，，所以平面，由于平面，所以，由此以為空間坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，依題意可知，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，所以到平面的距離為.【小問3詳解】存在，理由如下：，，設(shè)，則，平面的法向量為，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)平面與平面所成角為，由于平面與平面所成角的余弦值為，所以，解得或（舍去），所以當(dāng)是的中點時，平面與平面所成角的余弦值為.21.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）計算，根據(jù)得到，確定等比數(shù)列，計算即可.（2）利用累乘法得到，再根據(jù)錯位相減法得到，構(gòu)造數(shù)列，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性計算最值得到答案.【小問1詳解】當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，，相減得，即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，驗證時成立，故；【小問2詳解】，，故.，兩式相減可得：，所以，.令，，，故，且，，，是從第二項開始單調(diào)遞減數(shù)列，.故.22.已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線與直線平行，求函數(shù)的極值；（2）已知，若恒成立.求證：對任意正整數(shù)，都有.【答案】（1）極大值，無極小值（2）證明見解析【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，代入，即可求得的單調(diào)性和極值.（2）將不等式變形為，令，分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)為為求解的最大值，即時，恒成立，令，則，然后結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)可求.小問1詳解】由，可得，由條件可得，即.則，令可