核心考點·精準(zhǔn)研析考點一直線、平面平行的基本問題

1.如圖,P為平行四邊形ABCD所在平面外一點,Q為PA的中點,O為AC與BD的交點,下面說法錯誤的是 ()A.OQ∥平面PCD B.PC∥平面BDQC.AQ∥平面PCD D.CD∥平面PAB2.已知a,b表示直線,α,β,γ表示平面,則下列推理正確的是 ()A.α∩β=a,b?α?a∥bB.α∩β=a,a∥b?b∥α且b∥βC.a∥β,b∥β,a?α,b?α?α∥βD.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b3.如圖是正方體的平面展開圖.關(guān)于這個正方體,有以下判斷:①EC⊥平面AFN;②CN∥平面AFB;③BM∥DE;④平面BDE∥平面NCF.其中正確判斷的序號是 ()A.①③ B.②③ C.①②④ D.②③④4.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體,四邊形EFGH為截面,則四邊形EFGH的形狀為________. 導(dǎo)學(xué)號

【解析】1.選C.因為O為平行四邊形ABCD對角線的交點,所以AO=OC,又Q為PA的中點,所以QO∥PC.由線面平行的判定定理,可知A、B正確,又四邊形ABCD為平行四邊形,所以AB∥CD,故CD∥平面PAB,故D正確.2.選D.選項A中,α∩β=a,b?α,則a,b可能平行也可能相交,故A不正確;選項B中,α∩β=a,a∥b,則可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或β內(nèi),故B不正確;選項C中,a∥β,b∥β,a?α,b?α,根據(jù)面面平行的判定定理,再加上條件a∩b=A,才能得出α∥β,故C不正確;選項D為面面平行性質(zhì)定理的符號語言.3.選C.由已知中正方體的平面展開圖,得到正方體的直觀圖如圖所示:由QUOTE?FN⊥平面EMC,故FN⊥EC;同理AF⊥EC,故EC⊥平面AFN,故①正確;由CN∥BE,則CN∥平面AFB,故②正確;由圖可知BM∥DE顯然錯誤,故③不正確;由BD∥NF得BD∥平面NCF,DE∥CF得DE∥平面NCF,由面面平行判定定理可知平面BDE∥平面NCF,故④正確.4.因為平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形.答案:平行四邊形直線、平面間平行的判定方法(1)關(guān)注是否符合判定定理與性質(zhì)定理,并注意定理中易忽視的條件.(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形,結(jié)合圖形作出判斷.(3)利用實物進行空間想象,比較判斷.(4)熟記一些常見結(jié)論,如垂直于同一條直線的兩個平面平行等.【秒殺絕招】直接法解T1,因為Q是AP的中點,故AQ∩平面PCD=P,所以AQ∥平面PCD是錯誤的.考點二直線、平面平行的判定與性質(zhì)

【典例】1.在三棱錐SABC中,△ABC是邊長為6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分別與AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分別是AB,BC的中點,如果直線SB∥平面DEFH,那么四邊形DEFH的面積為________.

2.在直三棱柱ABCA1B1C1中,△ABC為正三角形,點D在棱BC上,且CD=3BD,點E,F分別為棱AB,BB1求證:A1C∥【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由直線SB∥平面DEFH,聯(lián)想到利用線面平行的性質(zhì),判定四邊形DEFH的形狀,進而得到其面積.2求證A1C∥平面DEF,只要設(shè)法在平面DEF上找到與A1C平行的直線即可,因為CD=3BD,故聯(lián)想到連接A1B,在△BA【解析】1.取AC的中點G,連接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因為SB∥平面DEFH,SB?平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,則SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分別為AB,BC的中點,則H,F也為AS,SC的中點,從而得HF∥QUOTEAC∥DE,且HF=QUOTEAC=DE,所以四邊形DEFH為平行四邊形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四邊形DEFH為矩形,其面積S=HF·HD=QUOTE·QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE2.如圖,連接AB1,A1B,交于點H,A1B交EF于點K,連接DK,因為ABB1A1為矩形,所以H為線段A1B的中點,因為點E,F分別為棱AB,BB1的中點,所以點K為線段BH的中點,所以A1又因為CD=3BD,所以A1C∥DK,又A1C?平面DEF,DK?平面DEF,所以A11.利用判定定理判定直線與平面平行,關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有,若沒有,則需作出該直線,?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線.2.判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點).(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α).(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α?a∥β;α∥β,a?β,a∥α?a∥β).1.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,點E為AD的中點,點F在CD上.若EF∥平面AB1C,則線段EF的長度為________【解析】在正方體ABCDA1B1C1D1所以AC=2QUOTE.又E為AD中點,EF∥平面AB1C,EF?平面ADC,平面ADC∩平面AB1所以EF∥AC,所以F為DC中點,所以EF=QUOTEAC=QUOTE.答案:QUOTE2.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為梯形,AB∥CD,∠BAD=60°,AB=2,CD=4,E為PC的中點.求證:BE∥平面PAD.【證明】設(shè)F為PD的中點,連接EF,FA.因為EF為△PDC的中位線,所以EF∥CD,且EF=QUOTECD=2.又AB∥CD,AB=2,所以ABEF,故四邊形ABEF為平行四邊形,所以BE∥AF.又AF?平面PAD,BE?平面PAD,所以BE∥平面PAD.考點三面面平行的判定與性質(zhì)及平行的綜合問題

命題精解讀考什么:(1)考查面面平行的判定與性質(zhì)定理的應(yīng)用.(2)考查直線、平面平行的綜合問題.(3)考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).怎么考:以柱、錐等幾何體為載體,考查證明線線、線面、面面平行.新趨勢:考查作已知幾何體的截面或求截面面積問題.學(xué)霸好方法1.證明面面平行的方法(1)面面平行的定義.(2)面面平行的判定定理.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行.(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的性質(zhì)相互轉(zhuǎn)化.2.交匯問題:常聯(lián)系柱、錐等幾何體命題,考查平行、垂直或空間角.面面平行的判定與性質(zhì)【典例】如圖所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C(1)B,C,H,G四點共面.(2)平面EFA1∥平面BCHG.【證明】(1)因為G,H分別是A1B1,A1C1所以GH是△A1B1C1的中位線,所以GH∥B1C又因為B1C1∥BC,所以GH∥所以B,C,H,G四點共面.(2)因為E,F分別是AB,AC的中點,所以EF∥BC.因為EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.又G,E分別為A1B1,AB的中點,A1B1∥AB且A1B1=AB,所以A1G∥EB,A1所以四邊形A1EBG是平行四邊形,所以A1E∥GB.又因為A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.又因為A1E∩EF=E,A1E,EF?平面EFA1,所以平面EFA1∥平面BCHG.平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例】如圖所示,四棱錐PABCD的底面是邊長為a的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,在側(cè)面PBC內(nèi),有BE⊥PC于E,且BE=QUOTEa,試在AB上找一點F,使EF∥平面PAD. 導(dǎo)學(xué)號【解析】在平面PCD內(nèi),過E作EG∥CD交PD于G,連接AG,在AB上取點F,使AF=EG,因為EG∥CD∥AF,EG=AF,所以四邊形FEGA為平行四邊形,所以FE∥AG.又AG?平面PAD,FE?平面PAD,所以EF∥平面PAD.所以F即為所求的點.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.所以PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2.設(shè)PA=x則PC=QUOTE,由PB·BC=BE·PC得:QUOTE·a=QUOTE·QUOTEa,所以x=a,即PA=a,所以PC=QUOTEa.又CE=QUOTE=QUOTEa,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,即GE=QUOTECD=QUOTEa,所以AF=QUOTEa.故點F是AB上靠近B點的一個三等分點.1.如圖,平面α∥平面β∥平面γ,兩條直線a,b分別與平面α,β,γ相交于點A,B,C和點D,E,F.已知AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,則AC的長為______cm.

【解析】因為平面α∥平面β∥平面γ,兩條直線a,b分別與平面α,β,γ相交于點A,B,C和點D,E,F,過D作直線平行于a交β于M,交γ于N.連接AD,BM,CN,ME,NF,所以AD∥BM∥CN,ME∥NF,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,因為AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,所以QUOTE=QUOTE,解得BC=QUOTEcm,所以AC=AB+BC=2+QUOTE=QUOTE(cm).答案:QUOTE2.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,S是B1D1(1)直線EG∥平面BDD1B1.(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【證明】(1)如圖,連接SB,因為E,G分別是BC,SC的中點,所以EG∥SB.又因為SB?平面BDD1B1,EG?平面BDD1B1,所以直線EG∥平面BDD1B1.(2)連接SD,因為F,G分別是DC,SC的中點,所以FG∥SD.又因為SD?平面BDD1B1,FG?平面BDD1B1,所以FG∥平面BDD1B1,又EG?平面EFG,FG?平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD1B1.1.在四面體ABCD中,M,N分別是面△ACD、△BCD的重心,則四面體的四個面中與MN平行的是________.

【解析】如圖,連接AM并延長交CD于E,連接BN并延長交CD于F,由重心性質(zhì)可知,E,F重合為一點,且該點為CD的中點E,由QUOTE=QUOTE=QUOTE,得MN∥AB,因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案:平面ABC、平面ABD2.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O