專題04二項式定理與楊輝三角題型全歸納（19種題型）目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】求二項展開式 1【題型二】二項展開式的應用 3【題型三】二項展開式的特定項 5【題型四】多項式與二項式乘積 8【題型五】求指定項的二項式系數(shù) 9【題型六】二項式系數(shù)的增減及最值 11【題型七】二項式系數(shù)和 13【題型八】特定項的系數(shù) 16【題型九】有理項 18【題型十】根據(jù)已知條件求未知參數(shù) 20【題型十一】二項展開式各項的系數(shù)和 24【題型十二】項的系數(shù)的最大（?。┲?27【題型十三】奇次項與偶次項的系數(shù)和 29【題型十四】三項式 33【題型十五】兩個二項式乘積 35【題型十六】整除和余數(shù)問題 36【題型十七】近似計算問題 39【題型十八】證明組合恒等式 41【題型十九】楊輝三角及組合數(shù)性質(zhì) 45【題型一】求二項展開式1．.【答案】82【分析】用二項式定理展開，注意合并相反項再求和.【詳解】可得兩式和的結果為82，故答案為：822．若（，為有理數(shù)），則等于．【答案】5【分析】將展開，即可求出、的值，即可得解.【詳解】∵，又∵，為有理數(shù)，∴，．∴．故答案為：3．用二項式定理展開下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】利用二項式展開公式即可得解．【詳解】（1）.（2）.4．求的二項展開式．【答案】【分析】根據(jù)二項式定理直接展開作答.【詳解】由二項式定理，得，所以的二項展開式是．【題型二】二項展開式的應用5．數(shù)學家波利亞說：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關系”這就是算兩次原理，又稱為富比尼原理．由等式利用算兩次原理可得．(用組合數(shù)表示即可)【答案】【分析】利用二項式定理，結合已知條件，即可推出結果.【詳解】依題意，故是展開式中的系數(shù)，而展開式中的系數(shù)為，所以．故答案為：.6．如果，則.【答案】【分析】根據(jù)二項式展開式、組合數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意，，解得，.故答案為：7．關于二項式的展開式，下列結論正確的是（

）A．展開式所有項的系數(shù)和為 B．展開式二項式系數(shù)和為C．展開式中第5項為 D．展開式中不含常數(shù)項【答案】BCD【分析】選項A，取驗證即可，選項B二項式系數(shù)和為驗證即可，利用二項式展開式的通項求解即可，利用C選項的展開式通項公式驗證即可.【詳解】A選項：?。校珹錯，B選項：展開式二項式系數(shù)和為，B對，C選項：由，則時即為第5項為，C對，D選項：由C選項可知恒成立，D對，故選：BCD.8．化簡：．【答案】【分析】逆用二項式定理結合已知條件求解【詳解】，故答案為：9．若，則.【答案】8【分析】令，可得答案.【詳解】注意到.又，則.故答案為：8【題型三】二項展開式的特定項10．二項式的展開式中的常數(shù)項為.【答案】240【分析】利用二項式展開式的通項公式求解即得.【詳解】二項式的展開式通項為，由，得，所以所求常數(shù)項為.故答案為：24011．的展開式的第8項的系數(shù)為（結果用數(shù)值表示）.【答案】960【分析】根據(jù)二項式定理求出展開式中的第8項，由此即可求解．【詳解】因為，展開式的第8項為，所以，的展開式的第8項的系數(shù)為960.故答案為：96012．已知，且，若的展開式中存在常數(shù)項，則展開式中的系數(shù)為.【答案】6【分析】根據(jù)展開式通項公式及存在常數(shù)項確定，再求出展開式中含的項即可得解.【詳解】展開式的通項公式為，因為存在常數(shù)項，所以，故只有當時滿足題意，即求展開式中含的項的系數(shù)，令，即，所以展開式中含的項為，所以展開式中的系數(shù)為6.故答案為：613．下列關于的展開式的說法中正確的是（

）A．常數(shù)項為－160B．第4項的系數(shù)最大C．第4項的二項式系數(shù)最大D．所有項的系數(shù)和為1【答案】ACD【分析】利用二項展開式的通項和二項式系數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】展開式的通項為.對于A，令，解得，∴常數(shù)項為，A正確；對于B，由通項公式知，若要系數(shù)最大，k所有可能的取值為0，2，4，6，∴，，，，∴展開式第5項的系數(shù)最大，B錯誤；對于C，展開式共有7項，得第4項的二項式系數(shù)最大，C正確；對于D，令x＝1，則所有項的系數(shù)和為，D正確.故選：ACD.14．求的展開式中第3項的系數(shù)和二項式系數(shù)．【答案】第3項的系數(shù)為，二項式系數(shù)為【分析】寫出展開式的通項公式，直接計算即可．【詳解】二項式展開式通項公式為，第三項為：，所以第三項系數(shù)為，第3項的二項式系數(shù)為．【題型四】多項式與二項式乘積15．的展開式中，的系數(shù)為（

）A．200 B．40 C．120 D．80【答案】B【分析】根據(jù)二項式定理先求通項，再根據(jù)項進行分別求系數(shù)，最后求和.【詳解】，而展開式的通項為，所以當時，的系數(shù)為，當時，的系數(shù)為，所以的系數(shù)為，故選：B16．在的展開式中，各項系數(shù)的和為1，則（

）A． B．展開式中的常數(shù)項為C．展開式中的系數(shù)為160 D．展開式中無理項的系數(shù)之和為【答案】BC【分析】先根據(jù)各項系數(shù)和結賦值法得判斷A，然后結合二項式展開式的通項公式求解常數(shù)項、含的系數(shù)及無理項系數(shù)之和判斷BCD.【詳解】根據(jù)題意令，得的展開式中各項系數(shù)和為，則，A錯誤；則，又的展開式的通項為，，所以展開式中的常數(shù)項為，B正確；含的項為，其系數(shù)為160，C正確；展開式中無理項的系數(shù)之和為，D錯誤.故選：BC.17．已知實數(shù)不為零，則的展開式中項的系數(shù)為.【答案】【分析】求得由二項式展開式的通項公式為，分令和，進而求得項的系數(shù).【詳解】由二項式展開式的通項公式為，令，即，可得；令，即，可得，所以的展開式中含項的系數(shù)為．故答案為：.【題型五】求指定項的二項式系數(shù)18．若展開式的二項式系數(shù)和為64，則展開式中第三項的二項式系數(shù)為.【答案】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和得到，再計算第三項的二項式系數(shù)即可.【詳解】展開式的二項式系數(shù)和為，故，展開式中第三項的二項式系數(shù)為.故答案為：.19．在的展開式中，第3項的二項式系數(shù)是第2項的二項式系數(shù)的4倍.(1)求n的值.(2)求的展開式中的常數(shù)項.(3)求展開式中所有系數(shù)的和.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)二項式系數(shù)的關系求得.（2）根據(jù)二項式展開式的通項公式求得常數(shù)項.（3）令求得所有系數(shù)的和.【詳解】（1）依題意，第3項的二項式系數(shù)是第2項的二項式系數(shù)的4倍，即，解得.（2）二項式展開式的通項公式為，令，解得，故常數(shù)項為.（3）由令得，即展開式中所有系數(shù)的和為.【題型六】二項式系數(shù)的增減及最值20．已知的展開式中第7項和第8項的二項式系數(shù)相等，求展開式中系數(shù)最大的項及二項式系數(shù)最大的項．【答案】答案見解析【分析】利用二項式系數(shù)相等可得的值，再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可得二項式系數(shù)最大的項，利用不等式法可求得系數(shù)最大的項，從而得解.【詳解】因為的展開式中第7項的二項式系數(shù)是，第8項的二項式系數(shù)是，則，解得，所以的展開式共有項，則二項式系數(shù)最大的是第7和第8項，又的展開通項公式為，則，；而第項的系數(shù)是，不妨設第項為系數(shù)最大的項，則，即，即，即，解得，則，即第10項的系數(shù)最大，；綜上，展開式中系數(shù)最大的項為，二項式系數(shù)最大的項為與.21．（1）若，求的值；（2）在的展開式中，①求二項式系數(shù)最大的項；②系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項？【答案】（1）；（2）①；②第6項和第7項【分析】（1）對x進行賦值，與時即可求得.（2）利用二項式定理寫出通項公式，二項式系數(shù)最大項即為展式中的中間項，設第項系數(shù)最大，則有不等式組可求得k值.【詳解】（1）∵，令，可得，令，可得，∴．（2）①．二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第5項．所以．②設第項系數(shù)的絕對值最大，則所以解得故系數(shù)絕對值最大的項是第6項和第7項．【題型七】二項式系數(shù)和22．在的展開式中，二項式系數(shù)的和是16，則展開式中項的系數(shù)（

）A．15 B．54 C．12 D．-54【答案】B【分析】利用賦值法，結合二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】因為二項式系數(shù)的和是16，所以，二項式的通項公式為，令，所以展開式中項的系數(shù)，故選：B23．已知的展開式中的所有二項式系數(shù)之和為32．(1)求的值；(2)求展開式中的系數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）由二項式定理求解．【詳解】（1）由題意可得，，解得；（2），二項展開式的通項為由，得．展開式中的系數(shù)為．24．已知在的展開式中，前項的系數(shù)分別為，，，且滿足．(1)求展開式中各項的二項式系數(shù)的和；(2)求展開式中系數(shù)最大的項；(3)求展開式中所有有理項．【答案】(1)(2)和(3)和【分析】（1）由條件先求出，利用二項式定理系數(shù)的性質(zhì)寫出結果即可；（2）寫出展開式的通項，記第項系數(shù)最大，則有，且，由此可得展開式中系數(shù)最大的項；（3）令的冪指數(shù)為整數(shù)，求得的值，即可求得展開式中的有理項．【詳解】（1）的展開式通項公式為，，，，，，，則，，，因為，即，解得或（舍去），所以二項式展開式中各項的二項式系數(shù)的和為；（2）二項式的展開式通項公式為（且），記第項系數(shù)最大，則有，且，即，解得，又，所以或，所以系數(shù)最大項為第3項和第4項；（3）因為二項式的展開式通項公式為（且），令，且，則或，所以展開式中有理項為和.【題型八】特定項的系數(shù)25．的展開式中的系數(shù)為（

）A．55 B． C．65 D．【答案】D【分析】根據(jù)展開式的通項公式進行計算即可.【詳解】含的項為，所以展開式中的系數(shù)為．故選：26．若的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的項為.【答案】【分析】由只有第5項的二項式系數(shù)最大得，再利用通項求解展開式中的項即可.【詳解】由題意，只有第5項的二項式系數(shù)最大知，展開式中有共項，則，所以的展開式的通項為，令，解得，故展開式中的項為.故答案為：.27．的展開式中的系數(shù)為．【答案】【分析】二項式展開式的通項為，取，計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為．令，解得，所以的展開式中的系數(shù)為．故答案為：.28．已知．若，則．【答案】41【分析】根據(jù)二項式的通項公式求出、，建立方程求出m，再次利用二項式的通項公式計算即可求解.【詳解】，．因為，所以，解得，所以．故答案為：41.29．的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】【分析】先求出的展開式的通項，然后即可求得的展開式中含的項，從而求解.【詳解】由題意得：展開式的通項為：，當時，即：，得：，當時；即：，得：，所以得：展開式中含項為：，所以的系數(shù)為：.故答案為：.【題型九】有理項30．在二項式的展開式中，系數(shù)為無理數(shù)的項的個數(shù)是個.【答案】【分析】寫出展開式的通項，即可確定系數(shù)為無理數(shù)的項數(shù).【詳解】二項式展開式的通項為（其中且），所以當為奇數(shù)，即當時系數(shù)為無理數(shù)，即系數(shù)為無理數(shù)的項有個.故答案為：31．已知的展開式中共有項，則有理項共項．（用數(shù)字表示）【答案】【分析】先求n，然后化簡通項，由指數(shù)為整數(shù)可得.【詳解】因為的展開式中共有項，所以，則通項，當時，，相應項為有理項，故有理項共有4項.故答案為：432．在的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為.(1)求的值；(2)求展開式中所有的有理項.【答案】(1)(2)所有的有理項為，，，【分析】（1）寫出展開式的通項，求出其第4項系數(shù)和倒數(shù)第4項系數(shù)，列出方程即可求出n的值；（2）令的指數(shù)為整數(shù)，由此求出展開式的有理項．【詳解】（1）由題意知：，則第4項的系數(shù)為，倒數(shù)第4項的系數(shù)為，則有，即；（2）由（1）可得，當時，所有的有理項為，即，.【題型十】根據(jù)已知條件求未知參數(shù)33．已知二項式的展開式中僅有第項的二項式系數(shù)最大，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知，二項式的展開式共項，即可求出的值.【詳解】因為二項式的展開式中僅有第項的二項式系數(shù)最大，則二項式的展開式共項，即，解得.故選：A.34．若的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為16，則的展開式中的常數(shù)項為（

）A．6 B．8 C．28 D．56【答案】C【分析】根據(jù)的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和求出n的值，從而寫出的展開式的通項公式，再令x的指數(shù)為0，即可求解常數(shù)項．【詳解】由的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為16，得，所以，則二項式的展開式的通項公式為（且），令，解得，所以，故的展開式中的常數(shù)項為28，故選：C．35．已知的展開式中，的系數(shù)為80，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】利用二項展開式的通項，由指定項的系數(shù)，求的值.【詳解】展開式的通項為，當，有，則展開式中的系數(shù)為，所以，解得.故選：B36．若，則的展開式中的系數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二項展開式求指定項的系數(shù)即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)為，因為，所以．故選：D.37．已知二項式的展開式中的常數(shù)項為15，則.【答案】【分析】應用二項式通項公式及已知常數(shù)項列方程求參數(shù)a即可.【詳解】由題設，二項式展開式通項為，令，故.故答案為：38．已知的展開式中的系數(shù)為，則．【答案】【分析】利用二項式定理得的通項，進而得出的展開式中的系數(shù)，列式計算即可．【詳解】由二項式定理可知的通項為，故展開式中含的項分別為，則的展開式中含的項為，則，解得．故答案為：．39．在的二項式展開式中的系數(shù)為160，則．【答案】【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式化簡，求出含項的系數(shù)即可得解.【詳解】因為，令，解得，所以，故，且，解得，故答案為：40．已知的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)．【答案】1【分析】根據(jù)二項展開式的特征，即可求解.【詳解】，而中含的項為，含的項為，所以中含的項為，故，所以，故答案為：1【題型十一】二項展開式各項的系數(shù)和41．多項式的項系數(shù)比項系數(shù)多35，則其各項系數(shù)之和為（

）A．1 B．243 C．64 D．0【答案】D【分析】利用二項展開式表示項系數(shù)比項系數(shù)多35求出的值，然后令，即求出各項系數(shù)之和.【詳解】根據(jù)二項式的展開式，當時，的系數(shù)為，當時，的系數(shù)為，因為多項式的項系數(shù)比項系數(shù)多35，所以，解得，所以其各項系數(shù)之和，即當時，系數(shù)和為0，故選：D.42．設，若，則實數(shù)m可能是（

）A．3 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】取，得出，從而得出實數(shù)m的值.【詳解】取，得.則，故D正確，ABC錯誤；故選：D43．已知，若，則T被6除所得的余數(shù)為.【答案】5【分析】賦值法求得，應用二項式定理展開式即可判斷T被6除所得的余數(shù).【詳解】令，則，而，所以部分可被6整除，且，所以T被6除所得的余數(shù)為5.故答案為：544．若，則.【答案】15【分析】由函數(shù)觀點結合賦值法即可求解.【詳解】不妨設，令得，令得，所以.故答案為：15.45．已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為32，則展開式中的常數(shù)項為.【答案】【分析】利用二項式定理計算即可.【詳解】令，則，設的通項為，當時，，即展開式中的常數(shù)項為.故答案為：46．已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)－2(2)1093(3)2187【分析】運用賦值法結合二項式定理求二項展開式中部分項的系數(shù)之和．【詳解】（1）當時，；當時，；故；（2）當時，；由（1）知，所以；（3）由展開式可知均為負值，均為正值，結合（1）（2）可知，故.【題型十二】項的系數(shù)的最大（?。┲?7．的展開式中，系數(shù)最小的項是（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【答案】C【分析】利用二項式定理求得的展開通項公式，結合二項式系數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，的展開通項公式為，其系數(shù)為，當為奇數(shù)時，才能取得最小值，又由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，是的最大項，所以當時，取得最小值，即第6項的系數(shù)最小.故選：C．48．的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為.【答案】1792【分析】先求，然后根據(jù)二項展開式的通項公式求最大系數(shù)即可.【詳解】由得，所以的展開式的通項為，當展開式的項的系數(shù)最大時，為偶數(shù)，比較，，，，，所以當時，展開式中項的系數(shù)最大，該項系數(shù)為1792.故答案為：1792.49．在的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)絕對值最大的項；(3)系數(shù)最大的項．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)得到二項式系數(shù)最大的項為第11項，然后求解即可；（2）設系數(shù)絕對值最大的項是第項，然后列不等式求解即可；（3）設第項的系數(shù)最大，然后列不等式求解即可.【詳解】（1）由題意得二項式系數(shù)最大的項為第11項，即.（2）設系數(shù)絕對值最大的項是第項，于是，化簡得，解得，因為，所以，即是系數(shù)絕對值最大的項.（3）由于系數(shù)為正的項為奇數(shù)項，故可設第項的系數(shù)最大，所以，化簡得，解得，即第9項系數(shù)最大，.【題型十三】奇次項與偶次項的系數(shù)和50．已知的展開式中的系數(shù)為25，則展開式中的偶次方的系數(shù)和為（

）A．16 B．32 C．24 D．48【答案】D【分析】應用二項式定理確定展開式中含的項求出參數(shù)值，再應用賦值法求偶次方的系數(shù)和.【詳解】由展開式通項為，，令，則；令，則；所以的展開式中含的項為，即，故，設，令，則，令，則，兩式相加得.故選：D51．已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)二項展開式通式以及賦值法即可得到答案.【詳解】對于A，取,則，則A正確；對B，根據(jù)二項式展開通式得的展開式通項為，即，其中所以，故B正確；對C，取，則，則，故C錯誤；對D，取，則，將其與作和得，所以，故D正確；故選：ABD.52．已知，則（

）A．B．C．展開式系數(shù)中最大D．【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法計算判斷ABD；求出展開式的通項公式，再建立不等式組求解判斷C作答.【詳解】令，當時，，A正確；當時，，當時，，因此，B錯誤；展開式的通項為，設第項的系數(shù)最大，顯然且，于是，即，整理得，解得，而為整數(shù)，則，所以展開式系數(shù)中最大，C錯誤；當時，，D正確.故選：AD53．記，則．【答案】【分析】分別取和，所得式子作和即可整理得到結果.【詳解】取，則；取，則；兩式作和得：，.故答案為：.54．已知，求的值．【答案】【分析】分別令和得到和，然后計算即可.【詳解】令得①，令得②，①+②得：，所以；①-②得，所以，所以.55．設，則，.（均用數(shù)字作答）【答案】1364【分析】通過賦值的思路計算即可.【詳解】令得，；令得，，令得，，兩式相減得，，解得.故答案為：1；364.【題型十四】三項式56．的展開式共（

）A．10項 B．15項 C．20項 D．21項【答案】B【分析】根據(jù)二項式定理的展開式項數(shù)即可得出結論.【詳解】∵，由二項式定理可知，展示式中共有項，∴的展開式共有項.故選：B．57．的展開式中的常數(shù)項為（

）A． B．50 C． D．61【答案】A【分析】直接代入公式即可求解.【詳解】，所以展開式中的常數(shù)項為.故選：A.58．的展開式中的常數(shù)項為（

）A．588 B．589 C．798 D．799【答案】B【分析】因為展開式中的項可以看作8個含有三個單項式各取一個相乘而得，分析組合可能，結合組合數(shù)運算求解.【詳解】因為展開式中的項可以看作8個含有三個單項式中各取一個相乘而得，若得到常數(shù)項，則有：①8個1；②2個，1個，5個1；③4個，2個，2個1；所以展開式中的常數(shù)項為.故選：B.59．在的展開式中，的系數(shù)是（

）A．24 B．32 C．36 D．40【答案】D【分析】根據(jù)題意，的項為，化簡后即可求解.【詳解】根據(jù)題意，的項為，所以的系數(shù)是.故選：D．60．在的展開式中，的系數(shù)為.【答案】66【分析】根據(jù)二項式的含義，結合組合數(shù)的計算，求得答案.【詳解】由題意，表示12個因式的乘積，故當2個因式取x，其余10個因式取1時，可得展開式中含的項，故的系數(shù)為.故答案為：66.61．展開式中，項的系數(shù)為.【答案】【分析】由二項式定理求解．【詳解】，∵的指數(shù)是3，∴得到，∵的指數(shù)是2，得到，∴項的系數(shù)為.故答案為：【題型十五】兩個二項式乘積62．在的展開式中，的系數(shù)為．【答案】240【分析】利用二項展開式的通項公式即可.【詳解】在的展開式中，的系數(shù)為；在的展開式中，的系數(shù)為；所以在的展開式中，的系數(shù)為；故答案為：24063．的展開式中的系數(shù)是．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【分析】根據(jù)乘積展開的特征，結合二項式展開式的通項特征即可求解.【詳解】，所以展開式中含的項有和，所以的系數(shù)為，故答案為：【題型十六】整除和余數(shù)問題64．設，且，若能被13整除，則等于（

）A．0 B．1 C．11 D．12【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理推理計算作答.【詳解】，而是整數(shù)，是13的倍數(shù)，即能被13整除，因此能被13整除，而，即，所以，即.故選：B65．若的展開式中第4項是常數(shù)項，則除以9的余數(shù)為．【答案】1【分析】利用二項定理可得答案.【詳解】由題知，，因第4項為常數(shù)項，所以當時，，所以，則，所以除以9的余數(shù)為，而，1除以9的余數(shù)為1，所以被9除余1．故答案為：1.66．二項式展開式的各項系數(shù)之和被7除所得余數(shù)為．【答案】6【分析】利用賦值法可得系數(shù)和為，進而根據(jù)二項式定理展開式的特征可得余數(shù).【詳解】令得，由于，由于，均能被7整除，所以余數(shù)為6，故答案為：667．用二項式定理證明可以被整除．【答案】證明見解析【分析】利用二項式定理的性質(zhì)和展開式即可求解.【詳解】因為，易知是的倍數(shù)，所以可以被整除．68．用二項式定理證明能被8整除．【答案】見解析【分析】根據(jù)，按照二項式定理展開，化簡后，根據(jù)展開式的各式都含有因數(shù)8可得它能被8整除.【詳解】證明：能被8整除.所以能被8整除.【題型十七】近似計算問題69．把實數(shù)寫成十進制小數(shù)，則a的十分位、百分位和千分位上的數(shù)字之和等于（

）A．0 B．9 C．27 D．前三個答案都不對【答案】C【分析】先根據(jù)二項式定理可得，再估計出，故可得正確答案：【詳解】，故，于是a的小數(shù)部分為，而，于是a的十分位、百分位和千分位均為9，和為27．故選：C.70．二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出.二項式定理可以推廣到任意實數(shù)次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數(shù)，當比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結果就越接近真實數(shù)據(jù).用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：.用這樣的方法，估計的近似值約為（

）A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930【答案】B【分析】變形，然后根據(jù)題中的方法計算即可.【詳解】.故選：B.71．用二項式定理估算.（精確到0.001）【答案】1.105【分析】利用二項式定理進行近視計算作答.【詳解】.故答案為：1.10572．已知m，n是正整數(shù)，的展開式中x的系數(shù)為7.(1)對于使的x2的系數(shù)為最小的m，n，求出此時x3的系數(shù);(2)利用上述結果，求f(0.003)的近似值.（精確到0.01）【答案】(1)5(2)2.02【分析】（1）根據(jù)x的系數(shù)為7列式，帶入x2的系數(shù)中，依題意即可求得m，n，然后可解；（2）利用二項式定理展開即可求解.【詳解】（1）因為x的系數(shù)為7，所以有，即m+n=7，①中的x2的系數(shù)為.將①變形為n=7-m代入上式，得x2的系數(shù)為，故當m=3或m=4時，x2的系數(shù)的最小值為9.當m=3，n=4時，x3的系數(shù)為;當m=4，n=3時，x3的系數(shù)為.（2）易知m=3，n=4，與m=4，n=3時，函數(shù)解析式相同，故.【題型十八】證明組合恒等式73．求證：.【答案】證明見解析【分析】運用二項式定理進行證明即可.【詳解】當，時，，所以結論成立.74．證明：．【答案】證明見解析【分析】應用二項式定理寫出的展開式，將替換n，①、②對應相乘，冪級數(shù)乘法定義整理化簡即可證結論.【詳解】取函數(shù)，，則：①，②，將②用替換n，有：．其中的系數(shù)為．將①，②對應相乘，根據(jù)上述形式冪級數(shù)乘法定義有：，其中的系數(shù)為，由展開式的唯一性有：，，因此可得：．75．證明：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)、得到、，兩側對應相加整理即可證結論.【詳解】由中n取，可得；由兩邊同乘或除得：．將以上兩等式兩邊對應相加可得：．而等式左邊，所以有．76．已知函數(shù)，其中．(1)若，，求的最大值；(2)若，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由二項式定理求得，從而求得，然后設最大，解不等式組求解；（2）用寫出等式左邊的和式，然后由組合數(shù)公式化簡變形后再由二項式定理可證．【詳解】（1）：，，∴，∴．不妨設為中的最大值，則∴∴∴或6．中最大值為．（2）證明：若，，．因為，所以．故得證．【題型十九】楊輝三角及組合數(shù)性質(zhì)77．我國南宋數(shù)學家楊輝在年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就.該表蘊含著許多的數(shù)學規(guī)律，下列結論正確的是（

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1第1行

1

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1

2

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3

3

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1

4

6

4

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1

5

10

10

5

1第6行1

6

15

20

15

6

1……

……A．B．，，，C．從左往右逐行數(shù)，第項在第行第個D．第行到第行的所有數(shù)字之和為【答案】AC【分析】利用組合數(shù)的運算性質(zhì)可判斷A選項；利用二項式定理可判斷B選項；推導出第行最后一項對應的項數(shù)為，計算出