專題05概率題型全歸納（八種題型）目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】條件概率 1【題型二】乘法公式 6【題型三】全概率公式 8【題型四】貝葉斯公式 12【題型五】相互獨立事件的判斷 16【題型六】相互獨立事件的概率乘法公式 20【題型七】相互獨立事件的實際應用 23【題型八】遞推法求概率 28【題型一】條件概率1．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，觀察向上的點數(shù)．在第1次出現(xiàn)奇數(shù)的條件下，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)為事件，結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】設第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)為事件，則，，所以.故選：C.2．湖南第二屆旅游發(fā)展大會于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學生知曉郴州，熱愛郴州，親身感受“走遍五大洲，最美有郴州”綠色生態(tài)研學，現(xiàn)有甲，乙兩所學校從萬華巖中小學生研學實踐基地，王仙嶺旅游風景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機選擇一條線路去研學，記事件A為“甲和乙至少有一所學校選擇萬華巖中小學生研學實踐基地”，事件B為“甲和乙選擇研學線路不同”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概率求出事件的概率，再利用條件概率公式計算即得.【詳解】依題意，甲，乙隨機選擇一條線路去研學的試驗有個基本事件，事件A含有的基本事件數(shù)是，則，事件含有的基本事件數(shù)為，則,所以.故選：B3．小張等四人去甲、乙、丙三個景點旅游，每人只去一個景點，記事件A為“恰有兩人所去景點相同”，事件為“只有小張去甲景點”，則（

）A．這四人不同的旅游方案共有64種 B．“每個景點都有人去”的方案共有72種C． D．“四個人只去了兩個景點”的概率是【答案】CD【分析】A選項，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求出答案；B選項，根據(jù)部分平均分組方法計算出答案；C選項，利用排列組合知識得到，，利用條件概率公式求出答案；D選項，求出四個人只去了兩個景點的方案數(shù)，結(jié)合A中所求，求出概率.【詳解】A選項，每個人都有3種選擇，故共有種旅游方案，A錯誤；B選項，每個景點都有人去，則必有1個景點去了2個人，另外兩個景點各去1人，故有種方案，B錯誤；C選項，恰有兩人所去景點相同，即有1個景點去了2個人，另外兩個景點各去1人，由B選項可知，，又事件，即小張去甲景點，另外3人有兩人去了同一個景點，其余1人去另一個景點，故，所以，C正確；D選項，“四個人只去了兩個景點”，分為2種情況，第一，有3人去了同一個景點，另外一個去另外一個景點，則有種方案，第二，2人去了同一個景點，另外2人去了另一個景點，故有種方案，由A選項可知，這四人不同的旅游方案共有81種，故“四個人只去了兩個景點”的概率為，D正確.故選：CD4．第33屆奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行.某田徑運動員準備參加100米?200米兩項比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運動員100米比賽未能站上領獎臺的概率為，200米比賽未能站上領獎臺的概率為，兩項比賽都未能站上領獎臺的概率為，若該運動員在100米比賽中站上領獎臺，則他在200米比賽中也站上領獎臺的概率是.【答案】/0.6【分析】設出事件，根據(jù)事件的關(guān)系得到，進而求出，再利用條件概率公式求出答案.【詳解】設在200米比賽中站上領獎臺為事件，在100米比賽中站上領獎臺為事件，則，，，，則，則，故.故答案為：5．某校從學生文藝部6名成員（4男2女）中，挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動．(1)求男生甲被選中的概率；(2)在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率；(3)在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）古典概型的概率求法，應用列舉法求概率；（2）記“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，根據(jù)（1）有且，應用條件概率公式求概率；（3）記“挑選的2人一男一女”為事件，“女生乙被選中”為事件，根據(jù)（1）有且，應用條件概率公式求概率；【詳解】（1）記4名男生為A(甲)，B，C，D，2名女生為a，b(乙)，從6名成員中挑選2名成員有，，，，，，，，，，，，，，共有15種情況，，記“男生甲被選中”為事件M，則基本事件為，，，，共有5種，故．（2）記“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，則，由（1）知，故．（3）由（1）知：記“挑選的2人一男一女”為事件，則，“女生乙被選中”為事件，則，故．6．判斷正誤（正確的填“正確”，錯誤的填“錯誤”）（1）.()（2）事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率，相當于同時發(fā)生的概率．()（3）.()（4）.()【答案】錯誤錯誤錯誤錯誤【分析】根據(jù)條件概率的知識進行分析，從而確定正確答案.【詳解】（1），而，所以，（1）錯誤.（2）事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率是，同時發(fā)生的概率是，所以（2）錯誤（3），（3）錯誤.（4），，不一定相等，所以不一定相等，（4）錯誤.故答案為：錯誤；錯誤；錯誤；錯誤【題型二】乘法公式7．盒中有個質(zhì)地，形狀完全相同的小球，其中個紅球，個綠球，個黃球；現(xiàn)從盒中隨機取球，每次取個，不放回，直到取出紅球為止.則在此過程中沒有取到黃球的概率為.【答案】【分析】分別計算“第一次取到紅球”的概率和“第一次取到綠球，第二次取到紅球”的概率后相加即可.【詳解】沒有取到黃球，可以是“第一次取到紅球”或“第一次取到綠球，第二次取到紅球”記事件表示第一次取到紅球，表示第二次取到紅球，表示第一次取到綠球，則，，∴沒有取到黃球的概率為.故答案為：.8．在一個盒子中有大小與質(zhì)地相同的20個球，其中10個紅球，10個白球，兩人依次不放回地各摸個球，求：(1)在第一個人摸出個紅球的條件下，第二個人摸出個白球的概率；(2)第一個人摸出個紅球，且第二個人摸出個白球的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；（2）根據(jù)概率乘法公式計算可得.【詳解】（1）設事件表示：第一個人摸出紅球，表示：第二個人摸出白球，則，第一個人摸出個紅球后，盒子中還有個球，其中個紅球，個白球，故在第一個人摸出個紅球的條件下，第二個人摸出個白球的概率.（2）設事件表示：第一個人摸出紅球，表示：第二個人摸出白球，事件：第一個人摸出個紅球，且第二個人摸出個白球即事件，所以.9．一批燈泡共100只，其中10只是次品，其余為正品．作不放回抽取，每次取1只，求第三次才取到正品的概率．【答案】0.0083.【分析】根據(jù)隨機事件的條件概率公式及乘法公式計算即可.【詳解】設，則，于是,所以，第三次才取到正品的概率為0.0083.10．若，，，則；．【答案】//【分析】根據(jù)概率乘法公式和加法公式即可求解.【詳解】，.故答案為：；【題型三】全概率公式11．隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展，城市的交通問題越來越嚴重，為倡導綠色出行，某公司員工小明選擇了三種出行方式.已知他每天上班選擇步行、騎共享單車和乘坐地鐵的概率分別為0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不遲到的概率為0.91，騎共享單車上班不遲到的概率為0.92，乘坐地鐵上班不遲到的概率為0.93，則某天上班小明遲到的概率是（

）A．0.24 B．0.14 C．0.067 D．0.077【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式和條件概率的，以及互斥事件的概率加法公式，準確計算，即可求解.【詳解】記小明步行上班為事件，騎共享單車上班為事件，乘坐地鐵上班為事件，小明上班遲到為事件，則，，，，所以，所以某天上班他遲到的概率是.故選：D.12．有3臺車床加工同一型號的零件，第1，2，3臺加工的次品率分別為，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個零件，記事件“零件為第i臺車床加工”（），事件“零件為次品”，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】AB選項，根據(jù)題意可得到，，判斷AB；C選項，根據(jù)全概率公式進行求解；D選項，根據(jù)貝葉斯公式進行計算.【詳解】AB選項，事件“零件為第i臺車床加工”（），事件“零件為次品”，則，，，，，，故A正確，B錯誤；C選項，，故C正確；D選項，，故D正確．故選：ACD．13．某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%?20%?30%和35%，又知這四條流水線的產(chǎn)品不合格率依次為0.05?0.04?0.03和0.02.從該廠的這一產(chǎn)品中任取一件，抽到不合格品的概率是多少？【答案】【分析】設“任取一件產(chǎn)品，抽到不合格品”，“任取一件產(chǎn)品，結(jié)果是第條流水線的產(chǎn)品”，結(jié)合條件概率和全概率公式，即可求解.【詳解】解：設“任取一件產(chǎn)品，抽到不合格品”，“任取一件產(chǎn)品，結(jié)果是第條流水線的產(chǎn)品”，其中，根據(jù)題意，可得，且，所以從該廠的這一產(chǎn)品中任取一件，抽到不合格品的概率為：.14．年是共青團建團一百周年，為了銘記歷史、緬懷先烈、增強愛國主義情懷，某學校組織了共青團團史知識競賽活動.在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關(guān)團史的問題，每個人回答是否正確互不影響.已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是.(1)若規(guī)定三名同學都需要回答這個問題，求甲、乙、丙三名同學中至少人回答正確的概率：(2)若規(guī)定三名同學需要搶答這道題，已知甲搶到答題機會的概率為，乙搶到答題機會的概率為，丙搶到的概率為，求這個問題回答正確的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式計算出乙、丙分別答題正確的概率，再利用獨立事件和對立事件的概率公式可求得甲、乙、丙三名同學中至少人回答正確的概率；（2）利用全概率公式可求出所求事件的概率.【詳解】（1）解：設乙答題正確的概率為，丙答題正確的概率為，則甲、丙兩人都回答正確的概率是，解得，乙、丙兩人都回答正確的概率是，解得，所以，若規(guī)定三名同學都需要回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少人回答正確的概率為.（2）解：記事件為“甲搶答這道題”，事件為“乙搶答這道題”，事件為“丙搶答這道題”，記事件為“這道題被答對”，則，，，，，，由全概率公式可得.【題型四】貝葉斯公式15．根據(jù)某機構(gòu)對失蹤飛機的調(diào)查得知：失蹤的飛機中有70%的后來被找到，在被找到的飛機中，有60%安裝有緊急定位傳送器，而未被找到的失蹤飛機中，有90%未安裝緊急定位傳送器，緊急定位傳送器是在飛機失事墜毀時發(fā)送信號，讓搜救人員可以定位的裝置.現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤，則它被找到的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別表示出三個事件：失蹤的飛機后來被找到、失蹤的飛機后來未被找到、裝有緊急定位傳送器的概率，再用條件貝葉斯公式計算即可得出結(jié)論.【詳解】設“失蹤的飛機后來被找到”，“失蹤的飛機后來未被找到”，“安裝有緊急定位傳送器”，則，，安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤，它被找到的概率為.故選：C.16．小明參加某項答題闖關(guān)游戲，每答對一道題則進入下一輪，某次答題時小明從A、B兩塊題板中任選擇一個答題，已知他答對A題板中題目概率為0.8，答對B題板中題目的概率為0.3，假設小明不了解每塊題板背后的題目，即小明隨機等可能地從A、B兩塊題板中任選一個作答，現(xiàn)已知小明進入了下一輪，則他答的是A題板中題目的概率是（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用條件概率、全概率公式求進入了下一輪情況下答的是A題板中題目的概率.【詳解】設事件表示選題板中題目，事件表示選題板中題目，事件表示進入下一輪比賽，由題意，，，，又.故選：C17．居民的某疾病發(fā)病率為，現(xiàn)進行普查化驗，醫(yī)學研究表明，化驗結(jié)果是可能存有誤差的．已知患有該疾病的人其化驗結(jié)果呈陽性，而沒有患該疾病的人其化驗結(jié)果呈陽性．現(xiàn)有某人的化驗結(jié)果呈陽性，則他真的患該疾病的概率是（

）A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1【答案】C【分析】記事件某人患病，事件化驗結(jié)果呈陽性，利用全概率公式求出的值，再利用條件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件某人患病，事件化驗結(jié)果呈陽性，由題意可知，，，所以，，現(xiàn)在某人的化驗結(jié)果呈陽性，則他真的患該疾病的概率是：.故選：C.18．設某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線，生產(chǎn)規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為6塊、6塊、8塊，且甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次品率依次為.現(xiàn)從這20塊芯片中任取1塊芯片，若取到的芯片是次品，則該芯片是甲廠生產(chǎn)的概率為.【答案】【分析】利用條件概率計算公式即可求得若取到的芯片是次品則該芯片是甲廠生產(chǎn)的概率.【詳解】記芯片分別由甲、乙、丙三條生產(chǎn)線生產(chǎn)為事件，記取到的芯片是次品為事件，則，，，故，則若取到的芯片是次品，則該芯片是甲廠生產(chǎn)的概率為.故答案為：19．某同學喜愛籃球和跑步運動.在暑假期間，該同學下午去打籃球的概率為.若該同學下午去打籃球，則晚上一定去跑步；若下午不去打籃球，則晚上去跑步的概率為.已知該同學在某天晚上去跑步，則下午打過籃球的概率為.【答案】【分析】利用全概率公式和貝葉斯公式進行求解即可.【詳解】設下午打籃球為事件，晚上跑步為事件，易知，，∴，∴.故答案為：20．三批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占25%，次品率為6%；第二批占30%，次品率為5%；第三批占45%，次品率為5%．將三批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取一件．(1)求這件產(chǎn)品是次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它取自第一批產(chǎn)品的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）取到第批產(chǎn)品為事件，，取到次品為事件，由全概率公式求解；（2）由條件概率公式結(jié)合乘法公式求解.【詳解】（1）設取到第批產(chǎn)品為事件，，取到次品為事件..（2）.【題型五】相互獨立事件的判斷21．甲、乙各投擲一枚骰子，下列說法正確的是（

）A．事件“甲投得1點”與事件“甲投得2點”是互斥事件B．事件“甲、乙都投得1點”與事件“甲、乙不全投得2點”是對立事件C．事件“甲投得1點”與事件“乙投得2點”是相互獨立事件D．事件“至少有1人投得1點”與事件“甲投得1點且乙沒投得2點”是相互獨立事件【答案】AC【分析】根據(jù)互斥事件及相互獨立事件的概念，即可判斷出選項A、B和C的正誤，對于選項D，利用相互獨立的概率公式即可判斷出結(jié)果的正誤.【詳解】對于選項A，因為甲擲一枚骰子，事件“甲投得1點”與事件“甲投得2點”不可能同時發(fā)生，由互斥事件的概念知，所以選項A正確；對于選項B，甲、乙各投擲一枚骰子，事件“甲、乙都投得1點”與事件“甲、乙不全投得2點”可以同時發(fā)生，所以選項B錯誤；對于選項C，因為事件“甲投得1點”與事件“乙投得2點”相互間沒有影響，所以選項C正確．對于選項D，至少一人投6點的事件為M，則，甲投1點且乙沒投得2點事件為N，則為，，，故選項D錯誤．故選：AC.22．口袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的白球和黑球各2個，從中不放回的依次取出2個球，事件“取出的兩球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的兩球不同色”，則（

）A． B．與互斥C．與相互獨立 D．與互為對立【答案】ACD【分析】利用古典概型的概率公式求出所對應的事件的概率即可判斷A，根據(jù)互斥事件的概率即可判斷B，根據(jù)相互獨立事件的定義判斷C，根據(jù)對立事件的概率即可判斷D．【詳解】設2個白球為，2個黑球為，則樣本空間為：，共12個基本事件.事件，共4個基本事件；事件，共6個基本事件；事件，共6個基本事件；事件，共8個基本事件，對于A，由，故A正確；對于B，因為，所以事件B與C不互斥，故B錯誤；對于C，因為，，，則，故事件A與B相互獨立，故C正確；對于D，因為，，所以事件A與D互為對立，故D正確．故選：ACD．23．甲罐中有3個紅球，4個黑球，乙罐中有2個紅球，3個黑球，先從甲罐中隨機取出一個球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是紅球”再從乙罐中隨機取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則（

）A． B． C．事件與事件相互獨立 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)古典概型的計算公式，相互獨立事件的定義，結(jié)合條件概率的計算公式逐一判斷即可.【詳解】由題意，故A正確；，故B正確；，因為，所以事件與事件不相互獨立，故C錯誤；，故D正確.故選：ABD.24．下列各對事件中，為相互獨立事件的是（

）A．甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，事件M“從甲組中選出1名男生”，事件N“從乙組中選出1名女生”B．袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩次球，每次摸一個球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩次球，每次摸一個球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．擲一枚骰子一次，事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點”；事件N“出現(xiàn)3點或6點”【答案】ABD【分析】由獨立事件的概念逐項判斷即可.【詳解】對于A，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生這兩個事件的發(fā)生沒有影響，所以它們是相互獨立的，故A正確；對于B，由于第1次摸到球有放回，因此不會對第2次摸到球的概率產(chǎn)生影響，因此是相互獨立事件，故B正確；對于C，由于第1次摸到球不放回，因此會對第2次摸到球的概率產(chǎn)生影響，因此不是相互獨立事件，故C錯誤；對于D，樣本空間，事件，事件，事件，所以，，，即.故事件M與N相互獨立，故D正確.故選：ABD.25．現(xiàn)有形狀、大小完全相同的20個標記了數(shù)字1的紅球、40個標記了數(shù)字2的紅球、10個標記了數(shù)字1的白球、20個標記了數(shù)字2的白球，運用分層抽樣方法從中抽取9個球后，放入一個不透明的布袋中.(1)求不透明的布袋中4種球的個數(shù)；(2)從布袋中不放回地隨機取2個小球，每次取1個，記事件第一次取到是紅球，事件第一次取到了標記數(shù)字1的球，事件第一次取到了標記數(shù)字2的球，事件第二次取到了標記數(shù)字1的球，①求證：；②判斷：與是否相互獨立？請說明理由.【答案】(1)標記數(shù)字1的紅球有個，標記數(shù)字1的紅球有個，標記數(shù)字1的白球有個，標記數(shù)字2的白球有個.(2)①證明見解析；②相互獨立，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合分層抽樣的方法，準確計算，即可求解；（2）①根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式，分別求得和，即可得證；②根據(jù)題意，事件可分為兩種情況，結(jié)合互斥事件和獨立事件的概率公式，求得，再利用互斥事件和獨立事件的概率公式，求得，得到，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）解：由題意得，共有個球，因為分層抽樣方法從中抽取9個球后，放入一個不透明的布袋中，其中標記數(shù)字1的紅球有個，標記數(shù)字2的紅球有個，標記數(shù)字1的白球有個，標記數(shù)字2的白球有個，所以標記數(shù)字1的紅球有個，標記數(shù)字1的紅球有個，標記數(shù)字1的白球有個，標記數(shù)字2的白球有個.（2）解：從布袋中不放回地隨機取2個小球，每次取1個，事件第一次取到是紅球，事件第一次取到了標記數(shù)字1的球，事件第一次取到了標記數(shù)字2的球，事件第二次取到了標記數(shù)字1的球，①由相互獨立事件的概率乘法公式，可得，，所以；②由相互獨立事件的概率乘法公式，可得，事件可分為兩種情況：第一次取到標記數(shù)字2的球，第二取到了標記數(shù)字1的球和第一次取到標記數(shù)字1的球，第二取到了標記數(shù)字1的球，且兩種取法為互斥事件，所以，事件可分為：第一次取到了標記數(shù)字1的紅球，第二次取到了標記數(shù)字1的球和第一次取到了標記數(shù)字2的紅球，第二次取到標記數(shù)字的球，且兩種取法為互斥事件，所以，因為，事件與事件相互獨立.【題型六】相互獨立事件的概率乘法公式26．甲乙兩人通過考試的概率分別為和，兩人同時參加考試，其中恰有一人通過的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記甲乙兩人通過考試分別為事件，則有，，所求的事件可表示為，由事件的獨立性和互斥性，即可求出其中恰有一人通過的概率是多少．【詳解】記甲乙兩人通過考試分別為事件，則有，，所求的事件可表示為，．故選：C．27．如圖是某個閉合電路的一部分，每個元件的可靠性是，則從A到B這部分電路暢通的概率為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由并聯(lián)和串聯(lián)電路的性質(zhì)先求出從A到B電路不能正常工作的概率，再由對立事件的概率求解.【詳解】上半部分電路暢通的概率為：，下半部分電路暢通的概率為，上下兩部分并聯(lián)，暢通的概率為：.故選:A．28．已知某音響設備由五個部件組成，A電視機，B影碟機，C線路，D左聲道和E右聲道，其中每個部件能否正常工作相互獨立，各部件正常工作的概率如圖所示.能聽到聲音，當且僅當A與B至少有一個正常工作，C正常工作，D與E中至少有一個正常工作.則聽不到聲音的概率為（

）

A．0.19738 B．0.00018 C．0.01092 D．0.09828【答案】A【分析】首先根據(jù)獨立事件概率公式求能聽到聲音的概率，再利用對立事件概率公式，即可求解.【詳解】設能聽到聲音為事件，則,所以聽不到聲音的概率.故選：A29．在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為.【答案】【分析】利用相互獨立事件得概率公式計算即可求解.【詳解】采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的事件是發(fā)送1接收1，發(fā)送0接收0，發(fā)送1接收1的3個事件的積.3次發(fā)送和接收相互獨立，所以所求概率為.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1；1，1，1這四個事件的和.所以所求概率為.故答案為：；.【題型七】相互獨立事件的實際應用30．A、B、C三位好友進行乒乓球擂臺賽，A、B先進行一局決勝負，負者下，由C挑戰(zhàn)勝者，繼續(xù)進行一局決勝負，負者下，勝者接受第三人的挑戰(zhàn)，依次舉行.假設三人水平接近，任意兩人的對決勝負都是五五開，已知三人共比賽了3局，則三人各勝一局的概率為．【答案】/0.25【分析】根據(jù)相互獨立事件和概率的加法公式進行計算可得答案.【詳解】設A、B比賽A獲勝為事件M，A、C比賽C獲勝為事件N，C、B比賽B獲勝為事件Q，且M、N、Q相互獨立，則，設三人共比賽了3局，三人各勝一局的概率為D，則.故答案為：.31．已知甲?乙兩人進行臺球比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負者得0分.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽結(jié)果相互獨立.設事件分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”.(1)若進行三局比賽，求“甲至少勝2局”的概率；(2)若規(guī)定多得兩分的一方贏得比賽.記“甲贏得比賽”為事件，最多進行6局比賽，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）分甲勝3局和勝2局分類討論，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式即可求解；（2）分比賽進行2局甲贏得比賽，4局甲贏得比賽，6局甲贏得比賽，三種情況考慮，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式即可求解.【詳解】（1）記“甲至少勝2局”為事件，則因為互斥，所以，（2）若比賽最多進行6局，甲贏得比賽包括以下3種情況：比賽進行2局甲贏得比賽，比賽進行4局甲贏得比賽，比賽進行6局甲贏得比賽設“比賽進行局甲贏得比賽”則因為，且互斥所以32．雙淘汰賽制是一種競賽形式，比賽一般分兩個組進行，即勝者組與負者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負者組繼續(xù)比賽，之后的每一輪，在負者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負者組，只有在負者組中再次失敗后才會被淘汰出整個比賽.A、B、C、D四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場比賽為決賽.

(1)假設四人實力旗鼓相當，即各比賽每人的勝率均為50%，求：①A獲得季軍的概率；②D成為亞軍的概率；(2)若A的實力出類拔萃，有4人參加的比賽其勝率均為75%，其余三人實力旗鼓相當，求D進入決賽且先前與對手已有過招的概率.【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①分析第一輪比賽后所在組，再確定后續(xù)比賽的勝負情況使A獲得季軍，應用獨立事件的乘法公式求概率即可.②分D首場筆試勝利和失敗兩種情況討論，由全概率公式可得.（2）可通過分類把復雜事件分為幾個容易分析的事件，再解決問題.【詳解】（1）假設四人實力旗鼓相當，即各比賽每人的勝率均為50%，即概率為，①由題意，第一輪比賽一組，一組，要A獲得季軍，則進入勝者組，后續(xù)連敗兩輪，或進入負者組，后續(xù)兩輪先勝后敗，所以A獲得季軍的概率為.②設表示隊伍D在比賽中勝利，表示隊伍D所參加的比賽中失敗，事件：隊伍D獲得亞軍有三種情況：，得（2）由題意，A獲勝的概率為，B、C、D之間獲勝的概率均為，要使D進入決賽且先前與對手已有過招，可分為兩種情況：①若A與D在決賽中相遇，分為A：1勝，3勝，D：1負4勝5勝，或A：1負4勝5勝，D：1勝，3勝，概率為；②若B與D決賽相遇，D：1勝，3勝，B：2勝3負5勝，或D：1勝，3負，5勝，B：2勝3勝，概率為，③若C與D決賽相遇，同B與D在決賽中相遇，概率為；所以D進入決賽且先前與對手已有過招的概率.33．作為世界乒壇本賽季收官戰(zhàn)，首屆世界乒乓球職業(yè)大聯(lián)盟世界杯總決賽年月日在新加坡結(jié)束男女單打決賽的較量，國乒包攬雙冠成為最大贏家．我市男子乒乓球隊為備戰(zhàn)下屆市運會，在某訓練基地進行封閉式訓練，甲、乙兩位隊員進行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏個球者獲勝，通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．(1)求該局打個球甲贏的概率；(2)求該局打個球結(jié)束的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）先設甲發(fā)球甲贏為事件A，乙發(fā)球甲贏為事件B，然后分析這4個球的發(fā)球者及輸贏者，即可得到所求事件的構(gòu)成，利用相互獨立事件的概率計算公式即可求解；（2）先將所求事件分成甲贏與乙贏這兩個互斥事件，再分析各事件的構(gòu)成，利用互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式即可求得概率．【詳解】（1）設甲發(fā)球甲贏為事件A，乙發(fā)球甲贏為事件B，該局打4個球甲贏為事件C，由題知，，，∴，∴，∴該局打4個球甲贏的概率為．（2）設該局打5個球結(jié)束時甲贏為事件D，乙贏為事件E，打5個球結(jié)束為事件F，易知D，E為互斥事件，，，，∴，，∴，∴該局打5個球結(jié)束的概率為．【題型八】遞推法求概率34．某校為推廣籃球運動，成立了籃球社團，社團中的甲、乙、丙三名成員進行傳球訓練，從甲開始隨機地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率為，則＝（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】要想第n次觸球者是甲，則第（n-1）次觸球的人不能是甲，且第（n-1）次觸球的人有的概