PAGEPAGE1河北省保定市部分高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，考生號(hào)，考場(chǎng)號(hào)，座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)至選擇性必修第二冊(cè)第四章第2節(jié).一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線l：在x軸和y軸上的截距分別是（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗D〖解析〗令，則，解得；令，則，解得；直線l：在x軸和y軸上的截距分別是，，故選：D.2.一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，在Oxy和Oxz平面上爬行，則這只螞蟻爬到點(diǎn)的最短距離為（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為正方形的中心，為點(diǎn)，將正方體的面展開，如圖，所以這只螞蟻爬到點(diǎn)的最短距離為展開圖中,故選:C.3.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，解得，，解得，故等差數(shù)列的公差為，故.故選：C4.如圖，在平行六面體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足．若四點(diǎn)在同一個(gè)平面上，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由平行六面體的特征可得設(shè)，則，可得，又由四點(diǎn)共面可得存在實(shí)數(shù)，使所以，所以，解得.故選：B.5.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且傾斜角為的直線在第一象限交C于點(diǎn)A，若點(diǎn)A在l上的投影為點(diǎn)B，且，則（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗如圖，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋赃^點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則,所以，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，整理得，，解得或（舍），故選:B.6.已知，是平面的一個(gè)法向量，且是平面內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知，又，則點(diǎn)A到平面距離為.故選：D.7.如圖，花籃的外形是由雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面．已知該花籃的總高度為45cm，底面圓的直徑為20cm，上口圓的直徑為，最小橫截面圓的直徑為10cm，則該雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗以最小橫截面圓的直徑為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則可設(shè)雙曲線的方程為，則，，由于點(diǎn)在雙曲線上，則，即，所以，結(jié)合得所以，所以.故選：B.8.觀察下列數(shù)的規(guī)律：2，4，4，8，8，8，16，16，16，16，32，32，32，32，32，64，…，則第100個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗將數(shù)的規(guī)律按照下方形式寫即為：第一行的數(shù)為，第二行的數(shù)為，第三行的數(shù)為，第四行的數(shù)為，則第行的數(shù)為，每一行的數(shù)的個(gè)數(shù)分別為，則到第行總的個(gè)數(shù)為，令，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以第100個(gè)數(shù)在第行，即第100個(gè)數(shù)為.故選：B.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A.直線l過定點(diǎn) B.圓C的半徑為3C.當(dāng)時(shí)， D.圓心C到直線l的最大距離是2〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)A，由可得，，所以直線l過定點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)B，圓C：的圓心為半徑，B正確；對(duì)C，時(shí)，直線l：，圓心到直線的距離為2，所以，C正確；對(duì)D，設(shè)l過定點(diǎn)，則,當(dāng)時(shí)，圓心C到直線l的距離最大，最大為，D正確；故選:BCD.10.下列結(jié)論正確的是（）A.若向量，，，則共面B.若直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則C.若向量，，則在上的投影向量為D.已知平面，不重合，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則〖答案〗AD〖解析〗對(duì)A觀察可知，，所以共面，A正確；對(duì)B，，所以或，B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，，所以，所以在上的投影向量為，C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)?，即共線，所以，D正確；故選:AD.11.已知，是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若，，則（）A. B.橢圓C的離心率為C.為等邊三角形 D.為直角三角形〖答案〗BD〖解析〗如圖所示，設(shè)，則，故，，又因?yàn)?，所以，所以，即，即為直角三角形，故C錯(cuò)誤，D正確；因?yàn)?，由余弦定理得，得，所以，即，故A錯(cuò)誤；所以橢圓的離心率為，故B正確；故選：BD.12.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，下列說法正確的是（）A.若為等差數(shù)列，則的公差為1B.若為等差數(shù)列，則的首項(xiàng)為1C.D.〖答案〗ACD〖解析〗若為等差數(shù)列，則可設(shè),所以，所以,解得,所以，所以的首項(xiàng)為0，公差為1，A正確，B錯(cuò)誤；，C正確；，因?yàn)?，即，D正確；故選:ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.13.拋物線的準(zhǔn)線方程為______．〖答案〗〖解析〗拋物線可化為，所以，解得，所以準(zhǔn)線方程為.故〖答案〗為:.14.已知圓M經(jīng)過點(diǎn)，，，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)圓M的一般式方程為：，因?yàn)閳AM經(jīng)過點(diǎn)，，，所以，解得，得圓M的一般式方程為：，故圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故〖答案〗為：15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，，，，累加可得，化?jiǎn)可得，故〖答案〗為：16.已知P是雙曲線C：右支上一點(diǎn)，直線l是雙曲線C的一條漸近線，過點(diǎn)P作與l夾角為的直線，該直線交l于點(diǎn)A，是雙曲線C的左焦點(diǎn)，則的最小值為______．〖答案〗.〖解析〗設(shè)右焦點(diǎn)為，如圖：連接,過點(diǎn)做于點(diǎn)，結(jié)合題意：為直角三角形，且，所以，因?yàn)榈綕u近線的距離為，結(jié)合雙曲線的定義可得：.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線過點(diǎn)．（1）若直線與第二、四象限的角平分線平行，求直線l的方程；（2）若，直線與圓M：相切于點(diǎn)A，求直線的方程．解：（1）若直線l與第二、四象限的角平分線平行，則直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，故直線l的方程為，即；（2）由已知點(diǎn)在圓上，則，解得或（，舍去），所以圓的圓心為，則，即過點(diǎn)的切線斜率為，則直線的方程為，即.18.已知雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為4，且與雙曲線有公共的焦點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程；（2）已知，P是C上的任意一點(diǎn)，求的最小值．解：（1）雙曲線的焦點(diǎn)為，所以設(shè)雙曲線C的方程為，所以，解得，所以雙曲線C的方程為.（2）由可得，或，設(shè)，或，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值為.19.已知正三棱錐中的三條側(cè)棱兩兩垂直．（1）證明：．（2）已知點(diǎn)E滿足，求平面與平面夾角的大?。猓海?）由正三棱錐中的三條側(cè)棱兩兩垂直,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：且可設(shè)，所以,可得：,因?yàn)?，所以，?（2）由（1）問可知：,所以設(shè)平面的法向量為，因?yàn)樗粤顒t，又因?yàn)檎忮F中的三條側(cè)棱兩兩垂直,且,且在平面內(nèi)，所以面，所以為面的法向量.所以,結(jié)合圖形可得平面與平面的二面角的平面角為銳角，所以，即,所以平面與平面夾角.20.已知定點(diǎn)，定直線l：，動(dòng)圓M過點(diǎn)F，且與直線l相切，記動(dòng)圓的圓心M的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）若過點(diǎn)F的直線與C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且，求直線AB的方程．解：（1）由題意得：點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，以l：為準(zhǔn)線的拋物線，則，解得，所以拋物線的方程為：；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不合題意，舍去；則直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為，，與拋物線方程聯(lián)立，消去得，因?yàn)榻裹c(diǎn)在拋物線內(nèi)部，且直線斜率存在，并且不為0，則該直線與拋物線必有兩交點(diǎn)，由韋達(dá)定理得，所以弦長(zhǎng)：，解得，即，所以直線l的方程為：.21.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式．（2）記，數(shù)列前n項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)m，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．解：（1）①中，令得，，解得，當(dāng)時(shí)，②，①-②得，，故，當(dāng)時(shí)，，滿足要求，綜上，的通項(xiàng)公式為（2），，，假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得數(shù)列為等差數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，，只有當(dāng)，即時(shí)，為常數(shù)，其他值均不合要求，故當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列.22.已知，分別是橢圓：左，右頂點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，直線，的斜率之積為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線與相交于