2019-2021北京高中數(shù)學(xué)一模匯編：離散型隨機(jī)變量及其分布列

解答題（共35小題）

1.（2019?大興區(qū)一模）某機(jī)構(gòu)對(duì)A市居民手機(jī)內(nèi)安裝的“APP"（英文App/icsio〃的縮寫，一般指手機(jī)軟件）的個(gè)數(shù)

和用途進(jìn)行調(diào)研，在使用智能手機(jī)的居民中隨機(jī)抽取了100人，獲得了他們手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)，整理得到

如圖所示頻率分布直方圖：

（I）從A市隨機(jī)抽取一名使用智能手機(jī)的居民，試估計(jì)該居民手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)不低于30的概率；

（II）從A市隨機(jī)抽取3名使用智能手機(jī)的居民進(jìn)一步做調(diào)研，用X表示這3人中手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)在

［20,40）的人數(shù).

①求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

②用H表示這3人中安裝AP尸個(gè)數(shù)低于20的人數(shù)，用力表示這3人中手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)不低于40的人

數(shù).試比較和E力的大小.（只需寫出結(jié)論）

2.（2020?海淀區(qū)校級(jí)一模）某市調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)該市工薪階層對(duì)“樓市限購令”態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，抽調(diào)了50名市民，他們

月收入頻數(shù)分布表和對(duì)“樓市限購令”贊成人數(shù)如表：

月收入（單位：百元）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

頻數(shù)5C1055

頻率0.1ab0.20.10.1

贊成人數(shù)4812521

（1）若所抽調(diào)的50名市民中，收入在［35,45）的有15名，求“，6,c的值，并完成頻率分布直方圖.

（2）若從收入（單位：百元）在［55,65）的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，選中的2人中恰有X人贊

成“樓市限購令”，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

（3）從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機(jī)抽取3名市民，恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”，

根據(jù)表格數(shù)據(jù)，判斷這3名市民來自哪組的可能性最大？請(qǐng)直接寫出你的判斷結(jié)果.

3.（2020?通州區(qū)一模）2019年1月1日，我國開始施行《個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除操作辦法》，附加扣除的專項(xiàng)包

括子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人.某單位有老年員工140人，中年員工

180人，青年員工80人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位員工中抽取20人，調(diào)查享受個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣

除的情況，并按照員工類別進(jìn)行各專項(xiàng)人數(shù)匯總，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：

專項(xiàng)子女教育繼續(xù)教育大病醫(yī)療住房貸款利住房租金贍養(yǎng)老人

員工人數(shù)息

老員工402203

中年員工821518

青年員工120121

（I）在抽取的20人中，老年員工、中年員工、青年員工各有多少人：

（II）從上表享受住房貸款利息專項(xiàng)扣除的員工中隨機(jī)選取2人，記X為選出的中年員工的人數(shù)，求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

4.（2020?平谷區(qū)一模）為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動(dòng)的情況，某校從初高中學(xué)生中抽取100名學(xué)生，收集了他們

（III）當(dāng)x=5時(shí)，高中生和初中生相比，那學(xué)段學(xué)生平均參加公益勞動(dòng)時(shí)間較長.（直接寫出結(jié)果）

5.（2020?豐臺(tái)區(qū)一模）在抗擊新冠肺炎疫情期間，很多人積極參與了疫情防控的志愿者活動(dòng).各社區(qū)志愿者服務(wù)類

型有：現(xiàn)場值班值守，社區(qū)消毒，遠(yuǎn)程教育宣傳，心理咨詢（每個(gè)志愿者僅參與一類服務(wù)）.參與A,B,C三個(gè)

社區(qū)的志愿者服務(wù)情況如表：

社區(qū)社區(qū)服服務(wù)類型

務(wù)總?cè)爽F(xiàn)場值班值守社區(qū)消毒遠(yuǎn)程教育宣傳心理咨詢

數(shù)

A10030302020

B12040352025

/p>

（I）從如表三個(gè)社區(qū)的志愿者中任取1人，求此人來自于4社區(qū)，并且參與社區(qū)消毒工作的概率；

（II）從如表三個(gè)社區(qū)的志愿者中各任取1人調(diào)查情況，以X表示負(fù)責(zé)現(xiàn)場值班值守的人數(shù)，求X的分布列；

（III）已知A社區(qū)心理咨詢滿意率為0.85,8社區(qū)心理咨詢滿意率為0.95,C社區(qū)心理咨詢滿意率為0.9,“2=

1,③=1，2=1”分別表示4,B,C社區(qū)的人們對(duì)心理咨詢滿意，“以=0,3=0，②=0”分別表示A，B,C社

區(qū)的人們對(duì)心理咨詢不滿意，寫出方差。（以），D（3），D（4c）的大小關(guān)系.（只需寫出結(jié)論）

6.（2020?懷柔區(qū)一模）某校高一、高二年級(jí)的全體學(xué)生都參加了體質(zhì)健康測試，測試成績滿分為100分，規(guī)定測試

成績在［85,100］之間為“體質(zhì)優(yōu)秀”,在［75,85）之間為“體質(zhì)良好”,在［60,75）之間為“體質(zhì)合格”,在［0,60）

之間為“體質(zhì)不合格”.現(xiàn)從這兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取7名學(xué)生，測試成績?nèi)绫恚?/p>

學(xué)生編號(hào)1234567

高一年級(jí)60858065909175

高二年級(jí)7985917560mn

其中，小”是正整數(shù).

（I）若該校高一年級(jí)有280學(xué)生，試估計(jì)高一年級(jí)“體質(zhì)優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)；

（II）若從高一年級(jí)抽取的7名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記X為抽取的2人中為“體質(zhì)良好”的學(xué)生人數(shù)，求X的

分布列及數(shù)學(xué)期望；

（III）設(shè)兩個(gè)年級(jí)被抽取學(xué)生的測試成績的平均數(shù)相等，當(dāng)高二年級(jí)被抽取學(xué)生的測試成績的方差最小時(shí)，寫出

m,〃的值.（只需寫出結(jié)論）

7.（2020?密云區(qū)一模）在考察疫情防控工作中，某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出了“要堅(jiān)持開展愛國衛(wèi)生運(yùn)動(dòng)，從人居環(huán)境

改善、飲食習(xí)慣，社會(huì)心理健康、公共衛(wèi)生設(shè)施等多個(gè)方面開展，特別是要堅(jiān)決杜絕食用野生動(dòng)物的陋習(xí)，提倡

文明健康、綠色環(huán)保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調(diào)查，隨機(jī)收集了該區(qū)居民六類日常生活習(xí)慣的有關(guān)

數(shù)據(jù).六類習(xí)慣是：（1）衛(wèi)生習(xí)慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類;

（5）膳食合理狀況類；（6）作息規(guī)律狀況類.經(jīng)過數(shù)據(jù)整理，得到如表：

衛(wèi)生習(xí)慣狀垃圾處理狀體育鍛煉狀心理健康狀膳食合理狀作息規(guī)律狀

況類況類況類況類況類況類

有效答卷份數(shù)380550330410400430

習(xí)慣良好頻率0.60.90.80.70.650.6

假設(shè)每份調(diào)查問卷只調(diào)查上述六類狀況之一，各類調(diào)查是否達(dá)到良好標(biāo)準(zhǔn)相互獨(dú)立.

(/)從小組收集的有效答卷中隨機(jī)選取1份，求這份試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者的概率；

(II)從該區(qū)任選一位居民，試估計(jì)他在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類''三類習(xí)慣方面,

至少具備兩類良好習(xí)慣的概率；

(III)利用上述六類習(xí)慣調(diào)查的排序，用“0=1”表示任選一位第k類受訪者是習(xí)慣良好者，“以=0”表示任選一

位第k類受訪者不是習(xí)慣良好者(k=l,2,3,4,5,6).寫出方差D0,力&,￡＞。，殂，的大小關(guān)

系.

8.(2021?延慶區(qū)一模)2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，簡稱“北京張家口冬奧會(huì)”，將在2022年02月04日?

2022年02月20日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行，這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京將承辦所有冰

上項(xiàng)目，延慶和張家口將承辦所有的雪上項(xiàng)目.如表是截取了2月5日和2月6日兩天的賽程表：

2022年北京冬奧會(huì)賽程表(第七版，發(fā)布自2020年11月)

2022年北京賽區(qū)延慶賽區(qū)張家口賽區(qū)

2月開閉冰壺冰球速度短道花高有舵鋼架無舵跳臺(tái)北歐越野單板冬季自由當(dāng)

幕式滑冰速滑樣山雪橇雪車雪橇滑雪兩項(xiàng)滑雪滑雪兩項(xiàng)式日

滑滑滑雪決

冰雪賽

數(shù)

5(六)**]]*11*116

6(日)**]*1111117

說明：“*”代表當(dāng)日有不是決賽的比賽；數(shù)字代表當(dāng)日有相應(yīng)數(shù)量的決賽.

(I)(i)若在這兩天每天隨機(jī)觀看一個(gè)比賽項(xiàng)目，求恰好看到冰壺和冰球的概率；

(ii)若在這兩天每天隨機(jī)觀看一場決賽，求兩場決賽恰好在同一賽區(qū)的概率；

(H)若在2月6日(星期日)的所有決賽中觀看三場，記X為賽區(qū)的個(gè)數(shù)，求X的分布列及期望E(X).

9.(2019?西城區(qū)一模)為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，某校開展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng).活動(dòng)

后，為了解閱讀情況，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩組各10名學(xué)生的閱讀量(單位：本)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下,

乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以4表示.

(I)若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值，求圖中〃的所有可能取值；

(II)將甲、乙兩組中閱讀量超過15本的學(xué)生稱為“閱讀達(dá)人”.設(shè)。=3,現(xiàn)從所有“閱讀達(dá)人”里任取3人，求

其中乙組的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(III)記甲組閱讀量的方差為#2.在甲組中增加一名學(xué)生A得到新的甲組，若4的閱讀量為10,則記新甲組閱

讀量的方差為若A的閱讀量為20,則記新甲組閱讀量的方差為S22,試比較sO2,s,的大小.(結(jié)論不要

求證明)

甲乙

862101244

7221012366a

120

10.(2019?東城區(qū)一模)改革開放40年來，體育產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展反映了“健康中國”理念的普及.下圖是我國2006年

至2016年體育產(chǎn)業(yè)年增加值及年增速圖.其中條形圖為體育產(chǎn)業(yè)年增加值(單位：億元)，折線圖為體育產(chǎn)業(yè)年

增長率(％).

(I)從2007年至2016年隨機(jī)選擇1年，求該年體育產(chǎn)業(yè)年增加值比前一年的體育產(chǎn)業(yè)年增加值多500億元

以上的概率：

(H)從2007年至2016年隨機(jī)選擇3年，設(shè)X是選出的三年中體育產(chǎn)業(yè)年增長率超過20%的年數(shù)，求X的分

布列與數(shù)學(xué)期望；

(III)由圖判斷，從哪年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)年增長率方差最大？從哪年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)年增加值

方差最大？(結(jié)論不要求證明)

11.(2020?東城區(qū)一模)中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，預(yù)計(jì)2020年北斗全球系統(tǒng)建

設(shè)將全面完成.下圖是在室外開放的環(huán)境下，北斗二代和北斗三代定位模塊，分別定位的50個(gè)點(diǎn)位的橫、縱坐

標(biāo)誤差的值，其中％”表示北斗二代定位模塊的誤差的值，"+”表示北斗三代定位模塊的誤差的值.(單位：米)

(I)從北斗二代定位的50個(gè)點(diǎn)位中隨機(jī)抽取一個(gè)，求此點(diǎn)橫坐標(biāo)誤差的值大于10米的概率；

(H)從圖中A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)位中隨機(jī)選出兩個(gè)，記X為其中縱坐標(biāo)誤差的值小于-4的點(diǎn)位的個(gè)數(shù)，求X

的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)試比較北斗二代和北斗三代定位模塊縱坐標(biāo)誤差的方差的大小.(結(jié)論不要求證明)

12.(2020?大興區(qū)一模)為了調(diào)查各校學(xué)生體質(zhì)健康達(dá)標(biāo)情況，某機(jī)構(gòu)M采用分層抽樣的方法從A校抽取了加名

學(xué)生進(jìn)行體育測試,成績按照以下區(qū)間分為七組：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,

90),[90,I00J,并得到如下頻率分布直方圖.根據(jù)規(guī)定，測試成績低于60分為體質(zhì)不達(dá)標(biāo).已知本次測試中不

達(dá)標(biāo)學(xué)生共有20人.

(I)求機(jī)的值；

(II)現(xiàn)從A校全體同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，以頻率作為概率，記X表示成績不低于90分的人數(shù)，求X的分布列

及數(shù)學(xué)期望；

(III)另一機(jī)構(gòu)N也對(duì)該校學(xué)生做同樣的體質(zhì)達(dá)標(biāo)測試，并用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取了100名學(xué)生，經(jīng)測試有

20名學(xué)生成績低于60分.計(jì)算兩家機(jī)構(gòu)測試成績的不達(dá)標(biāo)率，你認(rèn)為用哪一個(gè)值作為對(duì)該校學(xué)生體質(zhì)不達(dá)標(biāo)率

的估計(jì)較為合理，說明理由.

13.(2020?順義區(qū)一模)某學(xué)校高三年級(jí)有400名學(xué)生參加某項(xiàng)體育測試，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣

的方法從中抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組：［30,40),［40,50),...［90,100］,整理得

到如圖頻率分布直方圖：

(I/)若該樣本中男生有55人，試估計(jì)該學(xué)校高三年級(jí)女生總?cè)藬?shù)；

(II)若規(guī)定小于60分為“不及格”，從該學(xué)校高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)該學(xué)生不及格的概率；

(HI)若規(guī)定分?jǐn)?shù)在［80,90)為“良好”，［90,100］為“優(yōu)秀”.用頻率估計(jì)概率，從該校高三年級(jí)隨機(jī)抽取三人，

記該項(xiàng)測試分?jǐn)?shù)為“良好”或"優(yōu)秀”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

頻率

14.(2021?豐臺(tái)區(qū)一模)某電影制片廠從2011年至2020年生產(chǎn)的科教影片、動(dòng)畫影片、紀(jì)錄影片的時(shí)長(單位:

分鐘)如圖所示.

—?——?—s：靈影片廿長，牙黃)->—■￡奈影竹st隹。分節(jié))

(I)從2011年至2020年中任選一年，求此年動(dòng)畫影片時(shí)長大于紀(jì)錄影片時(shí)長的概率；

(II)從2011年至2020年中任選兩年，設(shè)X為選出的兩年中動(dòng)畫影片時(shí)長大于紀(jì)錄影片時(shí)長的年數(shù)，求X的

分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(III)將2011年至2020年生產(chǎn)的科教影片、動(dòng)畫影片、紀(jì)錄影片時(shí)長的方差分別記為Sj,S2?,S3z,試比較S,

畿2,S32的大小.(只需寫出結(jié)論)

15.(2019?石景山區(qū)一模)某不透明紙箱中共有4個(gè)小球，其中1個(gè)白球，3個(gè)紅球，它們除顏色外均相同.

(I)一次從紙箱中摸出兩個(gè)小球，求恰好摸出2個(gè)紅球的概率；

(II)每次從紙箱中摸出一個(gè)小球，記錄顏色后放回紙箱，這樣摸取4次，記得到紅球的次數(shù)為酊求&的分布

歹U;

(HI)每次從紙箱中摸出一個(gè)小球，記錄顏色后放回紙箱，這樣摸取100次，得到幾次紅球的概率最大？只需寫

出結(jié)論.

16.(2020?北京模擬)據(jù)《人民網(wǎng)》報(bào)道，“美國國家航空航天局(NASA)發(fā)文稱，相比20年前世界變得更綠色了.衛(wèi)

星資料顯示中國和印度的行動(dòng)主導(dǎo)了地球變綠據(jù)統(tǒng)計(jì)，中國新增綠化面積的42%來自于植樹造林，下表是中

國十個(gè)地區(qū)在2017年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù).(造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人

工更新的面積之和)

單位：公頃

造林方式

地區(qū)造林總面積人工造林飛播造林新封山育林退化林修復(fù)人工更新

內(nèi)蒙61848431105274094136006903826950

河北58336134562533333135107656533643

河南14900297647134292241715376133

重慶2263331006006240063333

陜西297642184108336026386516067

甘肅325580260144574387998

新疆2639031181056264126647107962091

青海178414160511597342629

寧夏91531589602293882981335

北京1906410012400039991053

(I)請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫出在這十個(gè)地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū)；

(II)在這十個(gè)地區(qū)中，任選一個(gè)地區(qū)，求該地區(qū)人工造林面積占造林總面積的比值超過50%的概率是多少？

(III)在這十個(gè)地區(qū)中，從新封山育林面積超過五萬公頃的地區(qū)中，任選兩個(gè)地區(qū)，記X為這兩個(gè)地區(qū)中退化林

修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

17.(2020?平谷區(qū)二模)某市旅游管理部門為提升該市26個(gè)旅游景點(diǎn)的服務(wù)質(zhì)量，對(duì)該市26個(gè)旅游景點(diǎn)的交通、

安全、環(huán)保、衛(wèi)生、管理五項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)分.每項(xiàng)評(píng)分最低分0分，最高分100分.每個(gè)景點(diǎn)總分為這五項(xiàng)得分

之和，根據(jù)考核評(píng)分結(jié)果，繪制交通得分與安全得分散點(diǎn)圖、交通得分與景點(diǎn)總分散點(diǎn)圖如圖：

安

占A

6交通得分與安全得分散點(diǎn)圖5?t交通得分與曷點(diǎn)總分散點(diǎn)圖

得總分

1Q

-500

Q-

O-450

O-400

Q-

-350

O-

O

?

b80859095100851

交

A通

80909500

得

得分分

請(qǐng)根據(jù)圖中所提供的信息，完成下列問題：

(1)若從交通得分排名前5名的景點(diǎn)中任取1個(gè)，求其安全得分大于90分的概率；

(2)若從景點(diǎn)總分排名前6名的景點(diǎn)中任取3個(gè)，記安全得分不大于90分的景點(diǎn)個(gè)數(shù)為號(hào)求隨機(jī)變量1的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)記該市26個(gè)景點(diǎn)的交通平均得分為二7,安全平均得分為寫出彳7和￡的大小關(guān)系？(只寫出結(jié)果)

x1x2x1x2

18.(2019?朝陽區(qū)二模)某電視臺(tái)舉行文藝比賽，并通過網(wǎng)絡(luò)對(duì)比賽進(jìn)行直播.比賽現(xiàn)場有5名專家評(píng)委給每位參

賽選手評(píng)分，場外觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)給每位參賽選手評(píng)分.每位選手的最終得分由專家評(píng)分和觀眾評(píng)分確定.某

選手參與比賽后，現(xiàn)場專家評(píng)分情況如表；場外有數(shù)萬名觀眾參與評(píng)分，將評(píng)分按照[7,8),[8,9),[9,10]分

組，繪成頻率分布直方圖如圖：

專家ABCDE

評(píng)分9.69.59.68.99.7

(I)求。的值，并用頻率估計(jì)概率，估計(jì)某場外觀眾評(píng)分不小于9的概率；

(II)從5名專家中隨機(jī)選取3人，X表示評(píng)分不小于9分的人數(shù)；從場外觀眾中隨機(jī)選取3人，用頻率估計(jì)概

率，丫表示評(píng)分不小于9分的人數(shù)；試求E(X)與的值：

(III)考慮以下兩種方案來確定該選手的最終得分：

方案一：用所有專家與觀眾的評(píng)分的平均數(shù)彳作為該選手的最終得分.

方案二：分別計(jì)算專家評(píng)分的平均數(shù)：■和觀眾評(píng)分的平均數(shù)7，用“i+x2作為該選手最終得分.

X]*22

請(qǐng)直接寫出7與二等2的大小關(guān)系.

19.(2021?通州區(qū)一模)我國探月工程嫦娥五號(hào)探測器于2020年12月1日23時(shí)11分降落在月球表面預(yù)選著陸區(qū),

在順利完成月面自動(dòng)采樣之后，成功將攜帶樣品的上升器送入到預(yù)定環(huán)月軌道，這是我國首次實(shí)現(xiàn)月球無人采樣

和地外天體起飛，對(duì)我國航天事業(yè)具有重大而深遠(yuǎn)的影響.某校為了解高中生的航空航天知識(shí)情況，設(shè)計(jì)了一份

調(diào)查問卷，從該校高中生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生參加測試，記錄了他們的分?jǐn)?shù)，將收集到的學(xué)生測試的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)按

照[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分組,繪制成評(píng)分頻率分布直方圖，

如圖：

(I)從該校高中生中隨機(jī)抽取的學(xué)生的測試評(píng)分不低于80分的學(xué)生有9人，求此次抽取的學(xué)生人數(shù)；

(II)在測試評(píng)分不低于80分的9名學(xué)生中隨機(jī)選取3人作為航空航天知識(shí)宣傳大使，記這3名學(xué)生中測試評(píng)

分不低于90分的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)觀察頻率分布直方圖，判斷該校高中生測試評(píng)分的均值。和評(píng)分的中位數(shù)6的大小關(guān)系.(直接寫出結(jié)論)

20.(2021?東城區(qū)一模)小明同學(xué)兩次測試成績(滿分100分)如表所示:

語文數(shù)學(xué)英語物理化學(xué)生物

第一次879291928593

第二次829495889487

(I)從小明同學(xué)第一次測試的科目中隨機(jī)抽取1科，求該科成績大于90分的概率；

(II)從小明同學(xué)第一次測試和第二次測試的科目中各隨機(jī)抽取1科，記X為抽取的2科中成績大于90分的科

目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

（Ill）現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測試成績（滿分100分）及相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息如表所示:

語文數(shù)學(xué)英語物理化學(xué)生物6科6科

成績均值成績方差

第一次a\XID\

第二次66

bibidb5X2D2

將每科兩次測試成績的均值作為該科的總評(píng)成績，這6科總評(píng)成績的方差為.有一種觀點(diǎn)認(rèn)為：若X|=X2,A

<￡>2.則?！?。3加2.你認(rèn)為這種觀點(diǎn)是否正確？（只寫“正確”或“不正確”）

21.（2021?西城區(qū)一模）天文學(xué)上用星等表示星體亮度，星等的數(shù)值越小、星體越亮.視星等是指觀測者用肉眼所

看到的星體亮度；絕對(duì)星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年的地方測得的恒星的亮度，反映恒星的真實(shí)發(fā)

光本領(lǐng).

如表列出了（除太陽外）視星等數(shù)值最小的10顆最充恒星的相關(guān)數(shù)據(jù)，其中1.3].

星名天狼星老人星南門二大角星織女一五車二參宿七南河三水委一參宿四，

視星等-1.47-0.72-0.27-0.040.030.080.120.380.46a

絕對(duì)星等1.42-5.534.4-0.380.60.1-6.982.67-2.78-5.85

赤緯-16.7°-52.7°-60.8°19.2°38.8°46°_8.2°5.2°-57.2°7.4°

（I）從表中隨機(jī)選擇一顆恒星，求它的絕對(duì)星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值的概率；

（II）已知北京的緯度是北緯40。，當(dāng)且僅當(dāng)一顆恒星的“赤緯”數(shù)值大于-50。時(shí)，能在北京的夜空中看到它，現(xiàn)

從這10顆恒星中隨機(jī)選擇4顆，記其中能在北京的夜空中看到的數(shù)量為X顆，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）記“=0時(shí)10顆恒星的視星等的方差為S/，記。=1.3時(shí)10顆恒星的視星等的方差為S22,判斷sf與S2?

之間的大小關(guān)系.（結(jié)論不需要證明）

22.（2021?懷柔區(qū)一模）某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，對(duì)該流水線上的產(chǎn)品進(jìn)行簡單隨機(jī)抽

樣，獲得數(shù)據(jù)如表：

分組區(qū)間（單位：克）（490,495]（495,500]（500,505]（505,510]（510,515]

產(chǎn)品件數(shù)34751

包裝質(zhì)量在（495,510]克的產(chǎn)品為一等品，其余為二等品

（I）估計(jì)從該流水線任取一件產(chǎn)品為一等品的概率；

（II）從上述抽取的樣本產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；

（HI）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)y為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求y的分布列；試比較期望E（x）與期望E（y）

的大小.（結(jié)論不要求證明）

23.（2021?房山區(qū)一模）單板滑雪U型池比賽是冬奧會(huì)比賽中的一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)入決賽階段的12名運(yùn)動(dòng)員按照預(yù)賽

成績由低到高的出場順序輪流進(jìn)行三次滑行，裁判員根據(jù)運(yùn)動(dòng)員的騰空高度、完成的動(dòng)作難度和效果進(jìn)行評(píng)分,

最終取單次最高分作為比賽成績.

現(xiàn)有運(yùn)動(dòng)員甲，乙二人在2021賽季單板滑雪U型池世界杯分站比賽成績?nèi)绫恚?/p>

分站運(yùn)動(dòng)員甲的三次滑行成績運(yùn)動(dòng)員乙的三次滑行成績

第1次第2次第3次第1次第2次第3次

第1站80.2086.2084.0380.1188.400

第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60

第3站79.10087.5089.1075.3687.10

第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01

第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70

假設(shè)甲、乙二人每次比賽成績互獨(dú)立.

（I）從如表5站中隨機(jī)選取1站，求在該站運(yùn)動(dòng)員甲的成績高于運(yùn)動(dòng)員乙的成績的概率；

（II）從如表5站中任意選取2站，用X表示這2站中甲的成績高于乙的成績的站數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

（III）假如從甲、乙2人中推薦1人參加2022年北京冬奧會(huì)單板滑雪U型池比賽，根據(jù)以上數(shù)據(jù)信息，你推薦

誰參加，并說明理由.

（注：方差（X1-X）2+（及-X）2+...+（X"-X）4，其中X為X2，X”的平均數(shù)）

n

24.（2021?石景山區(qū)一模）某大型連鎖超市的市場部為了比較線下、線上這兩種模式的銷售情況，從某地區(qū)眾多門

店中隨機(jī)抽取8家門店，對(duì)其線下和線上這兩種銷售模式下的日營業(yè)額（單位：萬元）進(jìn)行調(diào)查.調(diào)查結(jié)果如下：

門店1門店2門店3門店4門店5門店6門店7門店8

線下日營業(yè)額96.5199.514.516.520.512.5

線上日營業(yè)額11.591217192321.515

若某門店一種銷售模式下的日營業(yè)額不低于15萬元，則稱該門店在這種銷售模式下的日營業(yè)額達(dá)標(biāo)；否則就稱

該門店在此種銷售模式下的日營業(yè)額不達(dá)標(biāo).

若某門店的日營業(yè)總額（線上和線下兩種銷售模式下的日營業(yè)額之和）不低于30萬元，則稱該門店的日營業(yè)總

額達(dá)標(biāo)；否則就稱該門店的日營業(yè)總額不達(dá)標(biāo).

（各門店的營業(yè)額之間互不影響）

（I）從8個(gè)樣本門店中隨機(jī)抽取3個(gè)，求抽取的3個(gè)門店的線下日營業(yè)額均達(dá)標(biāo)的概率；

（II）若從該地區(qū)眾多門店中隨機(jī)抽取3個(gè)門店，記隨機(jī)變量X表示抽到的日營業(yè)總額達(dá)標(biāo)的門店個(gè)數(shù).以樣

本門店的日營業(yè)總額達(dá)標(biāo)的頻率作為一個(gè)門店的日營業(yè)總額達(dá)標(biāo)的概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）線下日營業(yè)額和線上日營業(yè)額的樣本平均數(shù)分別記為內(nèi)和電，線下日營業(yè)額和線上日營業(yè)額的樣本方差

分別記為$2和&2.試判斷田和電的大小，以及和的大小.（結(jié)論不要求證明）

25.（2021?門頭溝區(qū)一模）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月在北京和張家口舉辦，為了普及冬奧知識(shí)，京西某

校組織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識(shí)答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機(jī)選取了20名學(xué)生作為樣本，得到他們的分?jǐn)?shù)

統(tǒng)計(jì)如表：

分?jǐn)?shù)段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,1001

人數(shù)1228331

我們規(guī)定60分以下為不及格；60分及以上至70分以下為及格；70分及以上至80分以下為良好；80分及以上

為優(yōu)秀.

（I）從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀的概率是多少？

（II）將上述樣本統(tǒng)計(jì)中的頻率視為概率，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中優(yōu)秀人數(shù)，求X的

分布列與期望.

26.（2021?海淀區(qū)一模）每年的4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權(quán)日”.為

了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名

學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2],（2,4],（4,6],（6,8],（8,101，（10,12],

（12,14],（14,16],（16,18]九組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

第率

（II）為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況,從日平均閱讀時(shí)間在（12,

14|,（14,16],（16,18]三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記

日平均閱讀時(shí)間在（14,16]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列；

（III）以調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用“P20（k）”表示這20名學(xué)

生中恰有火名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在（10,12]（單位：小時(shí)）內(nèi)的概率，其中上=0,1,2,20.當(dāng)Bo（A）

最大時(shí)，寫出女的值.（只需寫出結(jié)論）

27.某部門在同一上班高峰時(shí)段對(duì)甲、乙兩座地鐵站各隨機(jī)抽取了50名乘客，統(tǒng)計(jì)其乘車等待時(shí)間（指乘客從進(jìn)

站口到乘上車的時(shí)間，乘車等待時(shí)間不超過40分鐘）.將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按[5,10）,[10,15）,[15,20）,[35,

40]分組，制成頻率分布直方圖：

甲站乙站

假設(shè)乘客乘車等待時(shí)間相互獨(dú)立.

（I）在上班高峰時(shí)段，從甲站的乘客中隨機(jī)抽取1人，記為A；從乙站的乘客中隨機(jī)抽取1人，記為8.用頻

率估計(jì)概率，求“乘客A,8乘車等待時(shí)間都小于20分鐘”的概率；

（II）在上班高峰時(shí)段，從乙站乘車的乘客中隨機(jī)抽取3人，X表示乘車等待時(shí)間小于20分鐘的人數(shù)，用頻率

估計(jì)概率，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

28.（2019?懷柔區(qū)一模）某大型企業(yè)為鼓勵(lì)員工利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行營銷，準(zhǔn)備為員工辦理手機(jī)流量套餐.為了解員工手

機(jī)流量的使用情況，通過抽樣，得到100位員工每人手機(jī)月平均使用流量L（單位：M）的數(shù)據(jù)，其頻率分布直

方圖如圖所示.

（I）從該企業(yè)的員工中隨機(jī)抽取3人，求這3人中至多有1人手機(jī)月流量不超過900M的概率；

（II）據(jù)了解，某網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營商推出兩款流量套餐，詳情如下：

套餐名稱月套餐費(fèi)（單位：月套餐流量（單位：

元）M）

A20700

B301000

流量套餐的規(guī)則是：每月1日收取套餐費(fèi).如果手機(jī)實(shí)際使用流量超出套餐流量，則需要購買流量疊加包，每一

個(gè)疊加包（包含200M的流量）需要10元，可以多次購買，如果當(dāng)月流量有剩余，將會(huì)被清零.

該企業(yè)準(zhǔn)備訂購其中一款流量套餐，每月為員工支付套餐費(fèi)，以及購買流量疊加包所需月費(fèi)用.若以所需費(fèi)用的

數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，該企業(yè)訂購哪一款套餐更經(jīng)濟(jì)？

29.（2019?豐臺(tái)區(qū)一模）隨著經(jīng)濟(jì)全球化、信息化的發(fā)展，企業(yè)之間的競爭從資源的爭奪轉(zhuǎn)向人才的競爭.吸引、

留住培養(yǎng)和用好人才成為人力資源管理的戰(zhàn)略目標(biāo)和緊迫任務(wù)，在此背景下，某信息網(wǎng)站在15個(gè)城市中對(duì)剛畢

業(yè)的大學(xué)生的月平均收入薪資和月平均期望薪資做了調(diào)查，數(shù)據(jù)如圖所示.

（I）若某大學(xué)畢業(yè)生從這15座城市中隨機(jī)選擇一座城市就業(yè)，求該生選中月平均收入薪資高于8500元的城市

的概率；

（II）現(xiàn)有2名大學(xué)畢業(yè)生在這15座城市中各隨機(jī)選擇一座城市就業(yè)，且2人的選擇相互獨(dú)立記X為選中月平

均收入薪資高于8500元的城市的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；

（III）記圖中月平均收入薪資對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為S/，月平均期望薪資對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為S22,判斷sj與s22的大

小.（只需寫出結(jié)論）

30.（2019?門頭溝區(qū)一模）在某區(qū)“創(chuàng)文明城區(qū)”（簡稱“創(chuàng)城”）活動(dòng)中，教委對(duì)本區(qū)A,B,C,。四所高中校按各

校人數(shù)分層抽樣調(diào)查，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成如表:

學(xué)校ABCD

抽查人數(shù)50151025

“創(chuàng)城”活動(dòng)中參4010915

與的人數(shù)

（注：參與率是指：一所學(xué)?！皠?chuàng)城”活動(dòng)中參與的人數(shù)與被抽查人數(shù)的比值）

假設(shè)每名高中學(xué)生是否參與“創(chuàng)城”活動(dòng)是相互獨(dú)立的.

（I）若該區(qū)共2000名高中學(xué)生，估計(jì)A學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的人數(shù)；

（II）在隨機(jī)抽查的100名高中學(xué)生中，從A,C兩學(xué)校抽出的高中學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名學(xué)生，求恰有1人參

與“創(chuàng)城”活動(dòng)的概率；

（III）若將表中的參與率視為概率，從A學(xué)校高中學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求這3人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)人數(shù)的分布列

及數(shù)學(xué)期望.

31.（2020?海淀區(qū)一模）科技創(chuàng)新能力是決定綜合國力和國際競爭力的關(guān)鍵因素，也是推動(dòng)經(jīng)濟(jì)實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展的

重要支撐，而研發(fā)投入是科技創(chuàng)新的基本保障.如圖是某公司從2010年到2019年這10年研發(fā)投入的數(shù)據(jù)分布

201420152016201720182019

一研發(fā)投入一研發(fā)投入占營收

圖:

其中折線圖是該公司研發(fā)投入占當(dāng)年總營收的百分比，條形圖是當(dāng)年研發(fā)投入的數(shù)值（單位：十億元）.

（I）從2010年至2019年中隨機(jī)選取一年，求該年研發(fā)投入占當(dāng)年總營收的百分比超過10%的概率；

（II）從2010年至2019年中隨機(jī)選取兩個(gè)年份，設(shè)X表示其中研發(fā)投入超過500億元的年份的個(gè)數(shù)，求X的

分布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）根據(jù)圖中的信息，結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，判斷該公司在發(fā)展的過程中是否比較重視研發(fā)，并說明理由.

32.（2020?朝陽區(qū)一模）某科研團(tuán)隊(duì)研發(fā)了一款快速檢測某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測的準(zhǔn)確性，質(zhì)檢

部門從某地區(qū)（人數(shù)眾多）隨機(jī)選取了80位患者和100位非患者，用該試劑盒分別對(duì)他們進(jìn)行檢測，結(jié)果如表：

患者的檢測結(jié)果人數(shù)

陽性76

陰性4

非患者的檢測結(jié)果人數(shù)

陽性1

陰性99

(I)從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一人，對(duì)其檢測一次，估計(jì)此患者檢測結(jié)果為陽性的概率；

(H)從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取3人，各檢測一次，假設(shè)每位患者的檢測結(jié)果相互獨(dú)立，以X表示檢測結(jié)果為陽

性的患者人數(shù)，利用(I)中所得概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)假設(shè)該地區(qū)有10萬人，患病率為0.01.從該地區(qū)隨機(jī)選取一人，用該試劑盒對(duì)其檢測一次.若檢測結(jié)果

為陽性，能否判斷此人患該疾病的概率超過0.5?并說明理由.

33.(2020?石景山區(qū)一模)2020年，北京將實(shí)行新的高考方案，新方案規(guī)定：語文、數(shù)學(xué)和英語是考生的必考科目，

考生還需從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目.若一個(gè)學(xué)生從六個(gè)科

目中選出了三個(gè)科目作為選考科目，則稱該學(xué)生的選考方案確定：否則，稱該學(xué)生選考方案待確定，例如，學(xué)生

甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個(gè)選考科目，則學(xué)生甲的選考方案確定.“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案.

某校為了解高一年級(jí)840名學(xué)生選考科目的意向，隨機(jī)選取60名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計(jì)選性別考科目人數(shù)

如表：

性別選考方案確定情況物理化學(xué)生物歷史地理政治

男生選考方案確定的有16人16168422

選考方案待確定的有12人860200

女生選考方案確定的有20人610201626

選考方案待確定的有12人2810002

(I)估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人？

(II)從選考方案確定的16名男生中隨機(jī)選出2名，求恰好有一人選“物理、化學(xué)、生物”的概率;

(III)從選考方案確定的16名男生中隨機(jī)選出2名.