PAGEPAGE1遼寧省大連市2024屆高三上學(xué)期雙基測(cè)試數(shù)學(xué)試題第I卷一?單項(xiàng)選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，所以.故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗，.故選：D.3.在中，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，則，則，，故、，故.故選：A.4.在財(cái)務(wù)審計(jì)中，我們可以用“本?福特定律”來(lái)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否造假.本福特定律指出，在一組沒(méi)有人為編造的自然生成的數(shù)據(jù)（均為正實(shí)數(shù)）中，首位非零的數(shù)字是這九個(gè)事件不是等可能的.具體來(lái)說(shuō)，隨機(jī)變量是一組沒(méi)有人為編造的首位非零數(shù)字，則.則根據(jù)本?福特定律，首位非零數(shù)字是1與首位非零數(shù)字是8的概率之比約為（）（保留至整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）.A.4 B.6 C.7 D.8〖答案〗B〖解析〗由題意可得.故選：B.5.已知曲線“表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的一個(gè)充分非必要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則有，即，即，故A、D選項(xiàng)為既不充分也不必要條件，B選項(xiàng)為充要條件，C選項(xiàng)為充分非必要條件，故C選項(xiàng)符合要求.故選：C.6.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)滿足，且，則的值是（）A.3 B.6 C.8 D.12〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，且函數(shù)在上的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，如圖，觀察圖象知，，于是，，整理得，所以.故選：A7.設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，設(shè)，，則，則在上單調(diào)遞增，則，則在上恒成立，則，即，設(shè)，，則在上恒成立，則，則在上恒成立，令，則，則，設(shè)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，令，則，則，即，故，故選：B.8.已知函數(shù)滿足下列條件：①對(duì)任意恒成立；②在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)；③經(jīng)過(guò)點(diǎn)的任意一條直線與函數(shù)圖像都有交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗方法一：由函數(shù)可知函數(shù)周期是，因?yàn)棰賹?duì)任意恒成，所以函數(shù)的一條對(duì)稱軸是，又因?yàn)樵趨^(qū)間是單調(diào)函數(shù)，所以，所以，所以為0或1.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由已知得，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)的任意一條直線與函數(shù)圖像都有交點(diǎn)，所以，所以.因?yàn)棰賹?duì)任意恒成立，所以.所以，由或，得或，所以或.方法二：由①可知：，即（*）由②可知：，因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)函數(shù)，所以，，將（*）帶入化簡(jiǎn)可得：，所以，由已知得，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)的任意一條直線與函數(shù)圖像都有交點(diǎn)，所以，所以.因?yàn)棰賹?duì)任意恒成立，所以.所以，由或，得或，所以或.二?多項(xiàng)選擇題9.在中，角的對(duì)邊分別是，若，，則（）A. B.C. D.的面積為〖答案〗AC〖解析〗由余弦定理可得，解得，故A正確；由及正弦定理，可得,化簡(jiǎn)可得.因?yàn)椋?，所以，?因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以且，代入，可得，解得?因?yàn)椋?，，所以由正弦定理可得，由，可得，化?jiǎn)可得，解得或（舍），故C正確；.故選:AC.10.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，則（）A.平面截正方體所得截面為等腰梯形B.三棱錐的體積為C.異面直線與所成角的余弦值為D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于，在正方體中，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以，在正方體中，，所以，又因?yàn)?，所以平面截正方體所得截面為等腰梯形，A正確；對(duì)于B，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋援惷嬷本€與所成角即為直線與所成角，設(shè)所成角為，則，C正確；對(duì)于，在正方體中易知平面平面，所以正確.故選：ACD11.已知，，三個(gè)盒子，其中盒子內(nèi)裝有2個(gè)紅球，1個(gè)黃球和1個(gè)白球；盒子內(nèi)裝有2個(gè)紅球，1個(gè)白球；盒子內(nèi)裝有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球.若第一次先從盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，若取出的球是紅球放入盒子中；若取出的球是黃球放入盒子中；若取出的球是白球放入盒子中，第二次從第一次放入盒子中任取一個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在第一次抽到黃球的條件下，第二次抽到紅球的概率為B.第二次抽到紅球的概率為C.如果第二次抽到的是紅球，則它來(lái)自號(hào)盒子的概率最大D.如果將5個(gè)不同的小球放入這三個(gè)盒子內(nèi)，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，則不同的放法有150種〖答案〗AD〖解析〗記第一次抽到紅?黃?白球的事件分別為，，，則有，，對(duì)于，在第一次抽到黃球的條件下，則黃球放入盒子內(nèi)，因此第二次抽到紅球的概率為，正確；記第二次在第，，號(hào)盒內(nèi)抽到紅球的事件分別為，而，，兩兩互斥，和為，，，，記第二次抽到紅球的事件為，，不正確；若取出的球是紅球放入盒子中，若取出的球是黃球放入盒子中，若取出的球是白球放入盒子中，第二次從第一次放入盒子中任取一個(gè)球，，，，即第二次抽到的是紅球，則它來(lái)自盒子的概率最大，不正確；把5個(gè)不同的小球分成3組的不同分組方法數(shù)是種，將每一種分組方法分成的小球放在3個(gè)盒子中有種不同放法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的方法種數(shù)是種，正確.故選：AD.12.已知橢圓左焦點(diǎn)，左頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)直線交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則的斜率B.的最小值為C.以為直徑的圓與圓相切D.若直線的斜率為，則〖答案〗BCD〖解析〗易知：，對(duì)于A，若，顯然直線的斜率存在且大于0，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，化簡(jiǎn)整理得，顯然又，故，由，解得，又，故，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由點(diǎn)在軸的上方，顯然，又，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，B正確；對(duì)于C，設(shè)，的中點(diǎn)為，則，又，由橢圓定義知：，即，又的圓心為，半徑為2，故以（）為直徑的圓與圓相切，C正確；對(duì)于D，，，D正確.故選：BCD.第II卷三?填空題13.如圖所示是一個(gè)樣本容量為100的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可知其分位數(shù)為_(kāi)__________.〖答案〗14〖解析〗由圖可知第一組的頻率為，前兩組的頻率之和為，則可知其分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為，則，解得.故〖答案〗為：1414.十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作：再將剩下的兩個(gè)區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：...，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長(zhǎng)度之和小于，則操作的次數(shù)的最大值為_(kāi)_________.（參考數(shù)據(jù)：）〖答案〗5〖解析〗記表示第次去掉的長(zhǎng)度，，第2次操作，去掉的線段長(zhǎng)為，第次操作，去掉的線段長(zhǎng)度為，，則，由的最大值為5.故〖答案〗為：515.已知，若點(diǎn)是拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則最小值是_____.〖答案〗〖解析〗由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為．又點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，∴，∴．令，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值為．故〖答案〗為．16.如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)球，它們都與圓錐相切（即與圓錐的每條母線相切，切點(diǎn)圓分別為.這兩個(gè)球都與平面相切，切點(diǎn)分別為，丹德林（G.Dandelin）利用這個(gè)模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，這兩個(gè)球也稱為G.Dandelin雙球.若圓錐的母線與它的軸的夾角為，的半徑分別為2，5，點(diǎn)為上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則從點(diǎn)沿圓錐表面到達(dá)的路線長(zhǎng)與線段的長(zhǎng)之和的最小值是__________.〖答案〗6〖解析〗在橢圓上任取一點(diǎn)，連接交球于點(diǎn)，交球于點(diǎn)，連接，在與中有：，（為圓的半徑，為圓的半徑，），，為公共邊，所以，所以，設(shè)點(diǎn)沿圓錐表面到達(dá)的路線長(zhǎng)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)為直線與橢圓交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，，所以最小值為6.故〖答案〗為：6.四?解答題17.已知函數(shù)，其中，__________.請(qǐng)從以下二個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題干的橫線上，并解答下列問(wèn)題：①是的一個(gè)零點(diǎn)；②.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，若曲線與直線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）選條件①由題設(shè)所以.因?yàn)?，所?所以.所以.選條件②.由題設(shè).，，，，，整理得.因?yàn)椋?所以.所以.（2）由（1）.令，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.又，即時(shí)，.所以取值范圍是.18.如圖，多面體，四邊形是矩形，梯形平面，為中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求平面和平面所成角的余弦值.（1）證明：連接交與于點(diǎn)，連接，四邊形是矩形，點(diǎn)是線段中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，，平面平面，平面.（2）解：，平面平面，三條直線兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，令，則，設(shè)平面與平面所成角為，則，平面與平面所成角的余弦值為.19.已知數(shù)列滿足：.設(shè).（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由題意可知：，，故，得，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，且，故；（2）由（1）知，，即，由題意知：，故，故數(shù)列的前項(xiàng)和.20.某農(nóng)場(chǎng)2021年在3000畝大山里投放一大批雞苗，雞苗成年后又自行繁育，今年為了估計(jì)山里成年雞的數(shù)量，從山里隨機(jī)捕獲400只成年雞，并給這些雞做上標(biāo)識(shí)，然后再放養(yǎng)到大山里，過(guò)一段時(shí)間后，從大山里捕獲1000只成年雞，表示捕獲的有標(biāo)識(shí)的成年雞的數(shù)目.（1）若，求的數(shù)學(xué)期望；（2）已知捕獲的1000只成年雞中有20只有標(biāo)識(shí)，試求的估計(jì)值（以使得最大的的值作為的估計(jì)值）.解：（1）以服從超幾何分布，且，故.（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或20000時(shí)，最大，所以的值為19999或20000.21.已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)作拋物線的切線相交于點(diǎn)，為線段（兩點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)，直線與拋物線交兩點(diǎn).（1）若的的面積為，求直線方程；（2）求證：.（1）解：已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以拋物線設(shè)，由題意可知直線斜率存在，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，可得，所以，所以弦長(zhǎng)，，所以切線方程：，即①，同理可得切線方程：②，聯(lián)立①和②方程組，解得：，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線距離，所以，可得，即，所以直線方程為.（2）證明：方法一：設(shè)，設(shè)，所以，所以，代入拋物線方程得：，化簡(jiǎn)得同理，即是方程的兩根，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，即，所以方程化為，可得，即成立.方法二：設(shè)，由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，聯(lián)立方程組，可得，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以③，由兩條直線聯(lián)立：，可得，代入③可知，即成立.22.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）證明：；（3）對(duì)恒成立，求取值范圍.（1）解：，令，對(duì)任意恒成立，對(duì)于函數(shù)，，由，可得，由，可得，所以時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以時(shí)，函數(shù)取得最小值0，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，不等式恒成立；綜上，實(shí)數(shù)的值為1；（2）證明：由（1）知，