7.1.2全概率公式 1.結(jié)合古典概型，理解全概率公式，會利用全概率公式計算概率； 2.了解貝葉斯公式.知識點一：全概率公式的概念

問題1從有a個紅球和b個藍(lán)球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為.那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計算這個概率呢？因為抽簽具有公平性，所以第二次摸到紅球的概率也應(yīng)該是

用Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到藍(lán)球”，i=1，2.事件R2可按第1次可能的摸球結(jié)果(紅球或藍(lán)球)表示為兩個互斥事件的并，即R2=R1R2∪B1R2.利用概率的加法公式和乘法公式，得P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)追問(1)：如何證明第2次摸到紅球的概率是. 按照某種標(biāo)準(zhǔn)，將一個復(fù)雜事件表示為兩個互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復(fù)雜事件的概率.追問(2)：將以上問題一般化，你能得到什么結(jié)果？

上述過程采用的方法：概念生成

稱上面的公式為全概率公式.A1A1BA2A2BA3BA3AnAnB......ΩB

例1某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8，計算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率.

解：設(shè)A1=“第1天去A餐廳用餐”，

B1=“第1天去B餐廳用餐”，

A2=“第2天去A餐廳用餐”，則Ω=A1∪B1,且A1與B1互斥，根據(jù)題意得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7因此，王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為0.7.由全概率公式，得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.8.知識點二：全概率公式的運用P(A2|A1)=()P(A2|B1)=()歸納總結(jié)運用全概率公式求概率的解題步驟：(1)用符號表示隨機事件；(2)劃分樣本空間；(3)分別計算概率；(4)由全概率公式求出概率.

例2有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%. (1)任取一個零件，計算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，計算它是第i(i=1，2，3)臺車床加工的概率.解：設(shè)B=“任取一個零件為次品”，Ai=“零件為第i臺車床加工”(i=1，2，3)，則Ω=

A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥.A1A2A3A3BA1BA2BΩBP(A1)=0.25，P(A2)=0.3，P(A3)=0.45，P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.根據(jù)題意得：(1)由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525 (2)“如果取到的零件是次品，計算它是第i(i=1，2，3)臺車床加工的概率”，就是計算在B發(fā)生的條件下，事件Ai發(fā)生的概率.

同理可得

問題2：在上面的例題解答中，概率P(Ai)，P(Ai|B)的實際意義是什么？你能梳理出解決問題(2)過程中的關(guān)鍵等式嗎？

解決問題的關(guān)鍵等式：概念生成

貝葉斯公式：設(shè)A1，A2，...，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，...，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)>0，有注意：貝葉斯公式一般適用于已知事件的結(jié)果，求某一種情況發(fā)生的概率.

例3在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的.（1）分別求接收的信號為0和1的概率；（2）已知接收的信號為0，求發(fā)送的信號是1的概率.發(fā)送0(A)

接收0(B)

練一練 同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠供應(yīng)．由長期的經(jīng)驗知，三家的正品率分別為0.95，0.90，0.80，三家產(chǎn)品數(shù)按2∶3∶5的比例混合在一起． (1)從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率； (2)現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、乙、丙三個廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性大？＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86，(1)由全概率公式得：

解：設(shè)事件A表示“取到的產(chǎn)品為正品”，B1，B2，B3分別表示“產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)”，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P