核心素養(yǎng)測評四十四空間幾何體(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.下列命題中正確的個數是 ()①由五個面圍成的多面體只能是四棱錐;②用一個平面去截棱錐便可得到棱臺;③僅有一組對面平行的五面體是棱臺;④棱錐的側棱長都相等.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【解析】選A.對于①,五個面圍成的多面體也可以是三棱柱或三棱臺,故①錯;對于②,當平面與棱錐底面不平行時,截得的幾何體不是棱臺,故②錯;對于③,僅有一組對面平行的五面體也可能是三棱柱,故③錯;對于④,根據棱錐的結構特征知,棱錐的側棱長不一定都相等,故④錯.2.(2020·濮陽模擬)如圖,O1,O2是棱長為a的正方體的上、下底面中心,若正方體以O1O2為軸順時針旋轉,則該正方體的所有主視圖中最大面積是 ()A.a2 B.QUOTEa2 C.QUOTEa2 D.2a2【解析】選B.所有主視圖中面積最大的是長為QUOTEa,寬為a的矩形,面積為QUOTEa2.3.如圖,矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,其中O′A′=6cm,C′D′=2cm,則原圖形是 ()A.正方形B.矩形C.菱形 D.一般的平行四邊形【解析】選C.如圖,在原圖形OABC中,應有OD=2O′D′=2×2QUOTE=4QUOTE(cm),CD=C′D′=2cm.所以OC=QUOTE=QUOTE=6(cm),所以OA=OC,所以四邊形OABC是菱形.4.某幾何體的三視圖如圖所示,圖中的四邊形都是邊長為1的正方形,其中主視圖、左視圖中的兩條虛線互相垂直,則該幾何體的體積是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選A.由三視圖可知:該幾何體是一個正方體,挖去一個四棱錐所得的組合體,正方體的體積為1,四棱錐的體積為:QUOTE×1×1×QUOTE=QUOTE,故組合體的體積V=1QUOTE=QUOTE.5.(2020·撫州模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示,主視圖與左視圖是兩個全等的等腰直角三角形,直角邊長為1,俯視圖是正方形,則該三棱錐的四個面的面積中最大的是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選C.該多面體為一個三棱錐DABC,是正方體的一部分,如圖所示,其中3個面是直角三角形,1個面是等邊三角形,S△BCD=QUOTE×(QUOTE)2=QUOTE,S△BAD=S△ACD=QUOTE×1×QUOTE=QUOTE,S△BCA=QUOTE×1×1=QUOTE,所以,該三棱錐的四個面的面積中最大的是QUOTE.6.《算術書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數學典著,其中記載有求“囷蓋”的術:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,該術相當于給出圓錐的底面周長l與高h,計算其體積V的近似公式V=QUOTEl2h,它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3,那么,近似公式V≈QUOTEl2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取 導學號()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.V=QUOTEπr2h=QUOTEπ×QUOTEh=QUOTEl2h,由QUOTE≈QUOTE,得π≈QUOTE.7.已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點,若三棱錐OABC體積的最大值為36,則球O的表面積為 ()導學號A.36π B.64π C.144π D.256π【解析】選C.如圖所示,當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐OABC的體積最大,設球O的半徑為R,此時VOABC=VCAOB=QUOTE×QUOTER2×R=QUOTER3=36,故R=6,則球O的表面積為S=4πR2=144π.二、填空題(每小題5分,共15分)8.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面為直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=QUOTE,P是BC1上一動點,則CP+PA1的最小值是________________.

【解析】連接A1B,沿BC1將△CBC1展開與△A1BC1在同一個平面內,連接A1C,則A1C的長度就是所求的最小值.通過計算可得∠A1C1B=90°,又∠BC1C=45°,所以∠A1C1C=135°,由余弦定理可求得A1C=5QUOTE.答案:5QUOTE9.(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB互相垂直,SA與圓錐底面所成角為30°,若△SAB的面積為8,則該圓錐的體積為________________.

【解析】設底面圓的半徑為r,底面圓心為O,因為SA與圓錐底面所成角為30°,所以SA=QUOTE,SO=QUOTEr,又直角△SAB的面積為8,所以QUOTE=8,解得r=2QUOTE.所以V=QUOTEπr2·SO=QUOTEπ(2QUOTE)2·QUOTE·2QUOTE=8π.答案:8π10.已知兩個圓錐有公共底面,且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上.若圓錐底面面積是這個球面面積的QUOTE,則這兩個圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為________________. 導學號

【解析】如圖,設球的半徑為R,圓錐底面半徑為r.由題意得πr2=QUOTE×4πR2.所以r2=QUOTER2,根據球的截面的性質可知兩圓錐的高線必過球心O,過兩圓錐的頂點的截面大圓上AB⊥O1C.所以OO1=QUOTE=QUOTER,因此體積較小的圓錐的高AO1=RQUOTER=QUOTE,體積較大的圓錐的高BO1=R+QUOTE=QUOTER.則這兩個圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比為QUOTE.答案:QUOTE(15分鐘35分)1.(5分)“牟合方蓋”是我國古代數學家劉徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個曲面構成,相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上,好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋),其直觀圖如圖,圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當其主視圖和左視圖完全相同時,它的俯視圖可能是 ()【解析】選B.外輪廓為正方形,邊界交線在俯視圖中為正方形的對角線.2.(5分)(2020·西安模擬)祖暅是南北朝時代的偉大科學家,他在5世紀末提出體積計算原理,即祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截,如果截得的兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.圖①是從圓柱中挖去一個圓錐所得的幾何體,圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺和半球,則滿足祖暅原理的兩個幾何體為 ()A.①②B.①③C.②④D.①④【解析】選D.設截面與下底面的距離為h,則①中截面內的圓半徑為h,則截面圓環(huán)的面積為π(R2h2);②中截面圓的半徑為Rh,則截面圓的面積為π(Rh)2;③中截面圓的半徑為RQUOTE,則截面圓的面積為πQUOTE;④中截面圓的半徑為QUOTE,則截面圓的面積為π(R2h2).所以①④中截面的面積相等,滿足祖暅原理,故選D.3.(5分)三棱錐ABCD的所有頂點都在球O的表面上,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,AB=1,BC=2,CD=3,則球O的表面積為____________________.

【解析】根據題意及邊長關系得到BC=2,CD=3,BD=QUOTE,因為AB⊥平面BCD,AB=1,故得到AD=QUOTE,AC=QUOTE,△ABC為直角三角形,△ACD也為直角三角形,故球心在AD的中點上,球的半徑為QUOTE,S=4π×QUOTE=14π.答案:14π4.(10分)已知正三棱臺(上、下底面是正三角形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)的上、下底面邊長分別是2cm與4cm,側棱長是QUOTEcm,試求該幾何體的體積. 導學號【解析】如圖O′,O是上、下底面中心,連接OO′,O′B′,OB,在平面BAA′B′內過B′作B′D⊥BA于點D,在平面BOO′B′內作B′E⊥OB于點E.△A′B′C′是邊長為2的等邊三角形,O′是中心,所以O′B′=QUOTE×2×QUOTE=QUOTE,同理OB=QUOTE,則BE=OBO′B′=QUOTE,在Rt△B′EB中,BB′=QUOTE,BE=QUOTE,所以B′E=QUOTE,即棱臺高為QUOTEcm,所以三棱臺的體積為V棱臺=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTEcm3.5.(10分)已知某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm).(1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法).(2)求這個幾何體的表面積及體積. 導學號【解析】(1)這個幾何體的直觀圖如圖所