機(jī)電一體化系統(tǒng)建模本章內(nèi)容CONTENTS

機(jī)電一體化系統(tǒng)建模方法1

機(jī)械系統(tǒng)模型2

電路系統(tǒng)模型3

液壓與氣壓系統(tǒng)模型4

機(jī)電一體化系統(tǒng)建模實(shí)例53

6.1機(jī)電一體化系統(tǒng)建模方法

6.1.1建模基本步驟

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式、程序、圖形等對實(shí)際問題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的描述，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略等。機(jī)電一體化系統(tǒng)的建?；静襟E包括：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、建立模型、模型求解、模型分析等。4

6.1.1建?；静襟E

圖6-1機(jī)電一體化系統(tǒng)的建模步驟5

6.1.1建模基本步驟（1）建模準(zhǔn)備

在建立數(shù)學(xué)模型前，首先要了解機(jī)電一體化系統(tǒng)對象，包括它的應(yīng)用背景，環(huán)境、工作要求、需要解決的問題；掌握機(jī)電一化對象的各種信息，有哪些影響因素；掌握它的輸入與輸出，有那些可知的變量。用數(shù)學(xué)語言來描述所研究的問題，并且要求符合數(shù)學(xué)理論，符合數(shù)學(xué)習(xí)慣，要清晰準(zhǔn)確。6

6.1.1建模基本步驟（2）模型假設(shè)

由于機(jī)電一體化系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行過程比較復(fù)雜，很難建立與實(shí)際情況完全一致的數(shù)學(xué)模型。在實(shí)際應(yīng)用中，通常對機(jī)電一體系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行簡化，忽略一些次要因素等，這樣使數(shù)學(xué)模型變得簡單。（3）建立模型

在假設(shè)的基礎(chǔ)上，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來描述輸入與輸出之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。機(jī)電一體化系統(tǒng)的建模要運(yùn)用到運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)、電路、力學(xué)、流體力學(xué)等基本定律，借助于數(shù)學(xué)工具描述輸入與輸出之間的相互關(guān)系。7

6.1.1建?；静襟E（4）模型求解利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)進(jìn)行計(jì)算或近似計(jì)算。對于簡單的數(shù)學(xué)模型可以直接求解，對復(fù)雜實(shí)際問題而言，有可能采用解析法求解，但更多的是采用數(shù)值法求解。（5）模型分析

對所要建立模型的思路進(jìn)行闡述，對所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。通過分析對模型的求解結(jié)果精確性、可行性、可實(shí)施性進(jìn)行了解。

8

6.1.1建模基本步驟（6）模型檢驗(yàn)

將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。（7）模型應(yīng)用

建立機(jī)電一體化系統(tǒng)模型的目的是為了更好的應(yīng)用它，通過數(shù)學(xué)模型求解，獲得到可信的數(shù)據(jù)，據(jù)此對機(jī)電一體化系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析、改進(jìn)、優(yōu)化，獲得更好的性能。9

6.1.2建?；痉椒▓D6-2機(jī)電一體化系統(tǒng)的建模方法10

6.1.2建模基本方法1.機(jī)理分析法機(jī)理是指事物發(fā)生變化的原因或道理。機(jī)理分析法是根據(jù)客觀事物的特性，分析其內(nèi)部的機(jī)理，分清因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，在適當(dāng)抽象的條件下，利用合適的數(shù)學(xué)工具得到描述事物屬性的建模方法。機(jī)理分析法建模常用基礎(chǔ)方法有常微分方程、偏微分方程、邏輯方法、比例方法、代數(shù)方法等。機(jī)理分析法又分為封閉矢量法、D-H法、拉格朗日法、凱恩方程、動(dòng)力學(xué)普遍方程等方法。11

6.1.2建?；痉椒?.試驗(yàn)測試法

試驗(yàn)測試法是指如果不能得到事物的特征機(jī)理，采用某種方法測試或?qū)嶒?yàn)得到一些輸入與輸出之間的試測結(jié)果數(shù)據(jù)，即求解問題的部分?jǐn)?shù)據(jù)，再利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而得到控制對象數(shù)學(xué)模型的建模方法。測試法建模又稱為系統(tǒng)辨識，分為經(jīng)典系統(tǒng)辨識和現(xiàn)代系統(tǒng)辨識兩大類。12

6.2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型1.平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)

封閉矢量法是機(jī)械原理中用于分析平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的一種方法，它可以分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，確定機(jī)構(gòu)中其他構(gòu)件上某些點(diǎn)的位移、速度、加速度和角位移、角速度、角加速度等運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

圖6-3所示為平面四連桿機(jī)構(gòu)，四個(gè)連桿分別定義為矢量

、

、

、

，因此四連桿機(jī)構(gòu)的閉環(huán)矢量方程為

（6-1）

6.2機(jī)械系統(tǒng)模型13

6.2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型圖6-3平面四連桿機(jī)構(gòu)14

6.2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

建立矢量投影方程，將式（6-1）式中矢量分別沿x、y方向分解，

分別代表四根桿的長度，

分別代表為桿

與X軸夾角，得到閉環(huán)矢量方程的分量表達(dá)式為

對式（6-2）求一階和二階導(dǎo)數(shù)，得速度與加速度方程，分別用矩陣形式表示為（6-2）（6-3）15

6.2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

（6-4）圖6-4為四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真的流程框圖。圖6-4閉環(huán)矢量法求解16

6.2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型2.機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

工業(yè)機(jī)器人是典型的機(jī)電一體化系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)一般為多關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)是研究末端執(zhí)行器或夾持器的空間運(yùn)動(dòng)與各個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。它包括正運(yùn)動(dòng)和逆運(yùn)動(dòng)求解，正運(yùn)動(dòng)求解是已知關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)求手的運(yùn)動(dòng)，逆運(yùn)動(dòng)求解是已知手的運(yùn)動(dòng)求關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的一般模型為（6-5）17

6.2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型2.機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

工業(yè)機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)問題求解常用D-H法。首先要在機(jī)器人的每個(gè)連桿上都固定一個(gè)坐標(biāo)系，再用4×4的齊次變換矩陣來描述相鄰兩連桿的空間關(guān)系，通過依次變換最終推導(dǎo)出末端執(zhí)行器相對于基坐標(biāo)系的位姿，從而建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。D-H矩陣由4個(gè)矩陣構(gòu)成，即旋轉(zhuǎn)矩陣R、位置矩陣P、透視矩陣O、比例變換I。D-H法建立運(yùn)動(dòng)方程步驟包括建立坐標(biāo)系、確定參數(shù)、建立相鄰桿件的位姿矩陣和建立方程四步。18

6.2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

圖6-5所示為三自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人，由桿R1、R2、R3及手組成，桿的長度為r1，r2，r3，要求采用D-H法建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程。（a）結(jié)構(gòu)示意圖

（b）第一種坐標(biāo)系

（c）第二種坐標(biāo)系圖6-5三自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人19

6.2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型采用D-H法建立運(yùn)動(dòng)方程，首先建立坐標(biāo)系，將機(jī)器人手部在空間的位姿用齊次坐標(biāo)變換矩陣描述出來，然后建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。具體步驟如下：（1）建立坐標(biāo)系機(jī)座坐標(biāo)系建立原則為：y軸垂直，x軸水平，方向指向手部所在平面。桿件坐標(biāo)系{i}的建立原則為：z軸與關(guān)節(jié)軸線重合，x軸與兩關(guān)節(jié)軸線的距離連續(xù)重合，方向指向下一個(gè)桿件。20

6.2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

桿件坐標(biāo)系有兩種方法，第一種方法是z軸與i+1關(guān)節(jié)軸線重合，如圖6-5（b）所示；第二種方法是z軸與i關(guān)節(jié)軸線重合，如圖6-5（c）所示。在本例中按第一種坐標(biāo)系建立，桿件坐標(biāo)系｛3｝與手部坐標(biāo)系｛h｝重合。（2）確定關(guān)節(jié)參數(shù)對于該機(jī)器人確定的參數(shù)有：相鄰坐標(biāo)系x軸之間的距離，相鄰坐標(biāo)系x軸之間的夾角，相鄰坐標(biāo)系z軸之間的距離，相鄰坐標(biāo)系z軸之間的夾角。

21

6.2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

（3）建立相鄰桿位姿矩陣

根據(jù)各個(gè)桿件之間的關(guān)系，建立位姿矩陣，具體步驟如下:表6-1關(guān)節(jié)參數(shù)22

6.2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

（6-6）（6-7）（6-8）23

6.2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型將式（6-6）、式（6-7）、式（6-8）組合到一起得到機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為式中：（6-9）

24

6.2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型公式（6-9）用矩陣形式表示為（6-10）

25

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型

動(dòng)力學(xué)是理論力學(xué)的一個(gè)分支，它主要研究作用于物體的力與物體運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，研究對象是運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速的宏觀物體。動(dòng)力學(xué)的研究以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為基礎(chǔ)，基本內(nèi)容包括質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)、剛體動(dòng)力學(xué)，達(dá)朗伯原理等。1.基本原理與方法(1)牛頓第二定律

（6-11）26

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型（2）動(dòng)力學(xué)普遍方程

（6-13）（6-12）（6-14）（6-15）27

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型（3）牛頓-歐拉方程

歐拉方程是歐拉運(yùn)動(dòng)定律的定量描述，該方程是建立在角動(dòng)量定理的基礎(chǔ)上的描述剛體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)剛體所受外力矩

與角加速度

的關(guān)系式，可簡寫成式中：

為剛體的角速度，

為剛體的角加速度；

為剛體上的作用力矩；

為剛體相對于原點(diǎn)通過質(zhì)心C并與剛體固連的剛體坐標(biāo)系的慣性張量。

（6-16）28

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型（4）拉格朗日方程拉格朗日方程是拉格朗日力學(xué)的主要方程，可以用來描述物體的運(yùn)動(dòng)，它是動(dòng)力學(xué)普遍方程在廣義坐標(biāo)下的具體表現(xiàn)形式。拉格朗日方程表示為式中：為拉格朗日函數(shù)；為廣義坐標(biāo)；為廣義力；。

（6-17）29

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型2.機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)

(1)轉(zhuǎn)動(dòng)負(fù)載基本類型如圖6-6所示，

為輸入力矩；

為輸入、輸出轉(zhuǎn)角；

為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

為粘性阻尼系數(shù)；

為彈簧扭轉(zhuǎn)剛度。（a）慣性負(fù)載

（b）阻尼負(fù)載

（c）彈性負(fù)載圖6-6機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)負(fù)載基本類型30

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型慣性負(fù)載數(shù)學(xué)模型為阻尼負(fù)載數(shù)學(xué)模型為彈性負(fù)載數(shù)學(xué)模型為（6-18）（6-19）（6-20）

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型（2）絲杠螺母傳動(dòng)

圖6-7為絲杠螺母傳動(dòng)系統(tǒng)，絲杠的輸入轉(zhuǎn)矩為

，轉(zhuǎn)角為

，絲杠轉(zhuǎn)速為

，工作臺重為

，粘性阻尼系數(shù)為

，絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

，下面建立它的數(shù)學(xué)模型。

圖6-7絲杠螺母傳動(dòng)機(jī)構(gòu)32

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型通過計(jì)算得到工作臺折算到絲杠上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

工作臺直線運(yùn)動(dòng)阻尼折算到絲杠上的等效阻尼為彈性負(fù)載數(shù)學(xué)模型為對上式拉普拉斯變換，整理得到的傳遞函數(shù)為（6-21）（6-22）（6-23）（6-24）

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型（3）齒輪傳動(dòng)

圖6-8為一齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，已知輸入轉(zhuǎn)矩為

，轉(zhuǎn)角為

，、

、

、

分別為聯(lián)聯(lián)軸器、齒輪

、齒輪

、

負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

為齒輪傳動(dòng)比，

、

為I軸與II軸扭轉(zhuǎn)剛度，建立它的數(shù)學(xué)模型。（a）傳動(dòng)簡圖

（b）等效圖圖6-8齒輪傳動(dòng)3334

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型對于齒輪，為它的輸出轉(zhuǎn)矩，對于齒輪，為它的輸入轉(zhuǎn)矩。根據(jù)傳動(dòng)關(guān)系，傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

工作臺直線運(yùn)動(dòng)阻尼折算到絲杠上的等效阻尼為（6-25）（6-26）35

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型軸II折算到I軸的等效剛度系數(shù)為則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為對式（6-28）進(jìn)行拉普拉斯換，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（6-27）（6-29）（6-28）36

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型根據(jù)式（6-29）畫出傳動(dòng)系統(tǒng)的方框圖為系統(tǒng)傳遞函數(shù)為圖6-9齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)方框圖（6-30）

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型（4）同步齒形帶傳動(dòng)

圖6-10為打印機(jī)中的步進(jìn)電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)簡化模型，采用同步齒形帶驅(qū)動(dòng)，

、

分別為同步齒形帶的彈性和阻尼系數(shù)，

為步進(jìn)電動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩，

和

分別表示步進(jìn)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子和負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

和

分別表示輸入軸和輸出軸角位移。37圖6-10打印機(jī)同步齒形帶傳動(dòng)簡圖38

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型輸入軸的動(dòng)力方程為輸出軸的動(dòng)力方程為對式（6-31）和式（6-32）拉普拉斯變換，則有（6-31）（6-32）（6-33）39

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型根據(jù)式（6-33）可以畫出系統(tǒng)方框圖，如圖6-11所示。對系統(tǒng)方框圖進(jìn)行化簡，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（6-34）圖6-11同步齒輪形的系統(tǒng)方框圖

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型3.機(jī)械移動(dòng)系統(tǒng)

（1）負(fù)載基本類型

機(jī)械移動(dòng)負(fù)載類型也分為質(zhì)量負(fù)載、阻尼負(fù)載、彈性負(fù)載幾種形式，分別建立

它們的運(yùn)動(dòng)微分學(xué)方程。40（a）質(zhì)量負(fù)載

（b）阻尼負(fù)載

（c）彈性負(fù)載圖6-12機(jī)械移動(dòng)負(fù)載基本類型41

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型慣性負(fù)載數(shù)學(xué)模型為阻尼負(fù)載為數(shù)學(xué)模型為阻尼負(fù)載為數(shù)學(xué)模型為（6-35）（6-36）（6-37）

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型（2）組合形式圖6-13所示為組合機(jī)床動(dòng)力頭銑削端面時(shí)的加工示意圖。將動(dòng)力頭簡化一個(gè)彈性系系統(tǒng)，為動(dòng)力滑臺的剛度，F(xiàn)為銑削的切削力；液壓缸簡化成一個(gè)阻尼系統(tǒng)，粘性阻尼系數(shù)為C，建立它的數(shù)學(xué)模型。42

圖6-13動(dòng)力滑臺結(jié)構(gòu)圖

圖6-14動(dòng)力滑臺簡化模型43

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型根據(jù)牛頓第二定律，建立滑臺的運(yùn)動(dòng)方程為對上式進(jìn)行拉普拉斯變換，有系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（6-38）（6-39）（6-40）

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型圖6-15所示為汽車的支撐系統(tǒng)簡化模型，為汽車質(zhì)量，為車輪質(zhì)量，為汽車減振阻尼系數(shù)，為減振器彈性剛度，為輪胎彈性剛度，求輸出、隨F變化的關(guān)系，建立它的數(shù)學(xué)模型。44圖6-15汽車支撐系統(tǒng)的簡化力學(xué)模型45

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型根據(jù)支撐系統(tǒng)的力學(xué)模型，分別對、建立運(yùn)動(dòng)微分方程為

對式（6-41）兩式拉普拉斯變換，則有（6-41）（6-42）46

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型根據(jù)式（6-42）畫出系統(tǒng)框圖，如圖6-16所示。對方框圖進(jìn)行簡化，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

圖6-16汽車支撐系統(tǒng)方框圖（6-43）（6-44）

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型

圖6-17所示為一兩關(guān)節(jié)機(jī)械手，

和

為兩關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩，

和

分別為連桿的質(zhì)量（以連桿末端的點(diǎn)質(zhì)量表示），

和

分別為兩桿的長度，

和

分別為兩桿的夾角，建立該機(jī)械手動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型。采用拉格朗日法建立該機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)模型。選擇機(jī)械手的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角、作為廣義坐標(biāo)；選擇桿的力矩為、廣義力。47圖6-17兩關(guān)節(jié)機(jī)械手

圖6-18廣義坐標(biāo)系48

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型桿1的動(dòng)能和勢能為

根據(jù)桿1桿2的關(guān)系，求得桿2質(zhì)心坐標(biāo)為質(zhì)心分速度（方程兩邊同時(shí)對時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)）（6-45）（6-46）（6-47）49

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型求得質(zhì)心速度為

桿2的動(dòng)能為桿2的勢能

為寫出拉格朗日函數(shù)為（6-48）（6-49）（6-50）（6-51）50

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型拉格朗日方程為

對拉格朗日函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求得、、、，代入式（6-52），求出機(jī)器人運(yùn)動(dòng)微分方程為（6-52）（6-53）（6-54）51

6.2.2動(dòng)力學(xué)模型將式（6-53）、（6-54）改寫成以下形式

（6-52）52

6.3電路系統(tǒng)模型

6.3.1基本定理

在電路系統(tǒng)中建立數(shù)學(xué)模型通常運(yùn)用基爾霍夫定律建立系統(tǒng)微分方程，再進(jìn)行拉普拉斯變換，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

基爾霍夫第一定律又稱基爾霍夫電流定律，簡記為KCL，是電流的連續(xù)性在集總參數(shù)電路上的體現(xiàn)，其物理背景是電荷守恒公理?；鶢柣舴螂娏鞫墒谴_定電路中任意節(jié)點(diǎn)處各支路電流之間關(guān)系的定律，因此又稱為節(jié)點(diǎn)電流定律，定義為

（6-56）53

6.3電路系統(tǒng)模型

6.3.1基本定理

基爾霍夫第二定律又稱基爾霍夫電壓定律，簡記為KVL，是電場為位場時(shí)電位的單值性在集總參數(shù)電路上的體現(xiàn)，其物理背景是能量守恒?；鶢柣舴螂妷憾墒谴_定電路中任意回路內(nèi)各電壓之間關(guān)系的定律，因此又稱為回路電壓定律。表示為式中：為第支回路的電流；為j和k回路之間的電感；為第j條回路的電動(dòng)勢；為總電阻；為總電容；為第j條回路的電荷。

（6-56）541.RC電路圖6-19為RC有源網(wǎng)絡(luò)，由一個(gè)電阻和一個(gè)電容組成，輸入電壓為，輸出電壓為，建立它的數(shù)學(xué)模型。由于輸入電壓將消耗在電阻和電容上，有

（6-58）

6.3.2基本電路55將上式進(jìn)行拉普拉斯變換，得根據(jù)式（6-59）畫出RC網(wǎng)絡(luò)的方框圖，如圖6-20所示。圖6-20（a）與圖6-20（b）分別對應(yīng)式（6-59）中的兩個(gè)微分方程，圖6-20（c）為RC網(wǎng)絡(luò)方框圖。

（6-58）

6.3.2基本電路（a）

（b）

（c）圖6-20RC網(wǎng)絡(luò)方框圖56對式（6-59）進(jìn)行整理或從方框圖6-20（c）整理，得到傳遞函數(shù)為圖6-21（a）為RC無源網(wǎng)絡(luò)，利用復(fù)阻抗概念得到如下關(guān)系：

（6-60）

6.3.2基本電路（6-61）57由以上關(guān)系可得到系統(tǒng)方框圖，如圖6-21（b）所示。a）RC無源網(wǎng)絡(luò)

（b）方框圖圖6-21RC無源網(wǎng)絡(luò)圖6-21（a）為RC無源網(wǎng)絡(luò)，利用復(fù)阻抗概念得到如下關(guān)系：

6.3.2基本電路（6-62）582.RLC串聯(lián)電路圖6-22（a）為RLC串聯(lián)電路，輸出電壓與輸入電壓關(guān)系為對式（6-63）進(jìn)行拉普拉斯變換，有對式（6-64）進(jìn)行整理，得到RLC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)為

（6-65）

6.3.2基本電路（6-63）（6-64）59根據(jù)式（6-65），畫出系統(tǒng)方框圖如圖6-22（b）所示。

6.3.2基本電路

（a）RLC網(wǎng)絡(luò)

（b）系統(tǒng)方框圖

圖6-22RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)603.比例-積分調(diào)節(jié)器圖6-23所示為比例-積分調(diào)節(jié)器電路圖，運(yùn)算放大器工作時(shí)，輸入電壓，電流，所以，輸入電路與輸出電路復(fù)數(shù)阻抗和分別為對輸入與輸出信號進(jìn)行拉普拉斯變換，則有因此，放大器傳遞函數(shù)為

6.3.2基本電路

（6-66）（6-67）（6-68）式中:，。61根據(jù)式（6-65），畫出系統(tǒng)方框圖如圖6-22（b）所示。

6.3.2基本電路（a）調(diào)節(jié)器電路

（b）方框圖圖6-23比例-積分調(diào)節(jié)器624.比例-微分調(diào)節(jié)器圖6-24所示為比例微分調(diào)節(jié)器電路圖，根據(jù)復(fù)阻抗比，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

6.3.2基本電路（6-69）圖6-24比例-積分調(diào)節(jié)器635.濾波器圖6-25所示為一種有源帶通濾波器，各支路電流分別為、、、，按復(fù)數(shù)阻抗比關(guān)系，可得到如下方程組：在式（6-70）中消去和，經(jīng)整理得到傳遞函數(shù)為

6.3.2基本電路（6-70）64

6.3.2基本電路（6-71）圖6-25有源帶通濾波器651.直流伺服電動(dòng)機(jī)圖6-26所示為電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的等效電路圖，該系統(tǒng)由一個(gè)電動(dòng)機(jī)和一套由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及旋轉(zhuǎn)阻尼組成。電動(dòng)機(jī)電樞電阻和電感不可忽略，考慮串聯(lián)在電回路中。機(jī)械系統(tǒng)中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與阻尼具有相同的運(yùn)動(dòng)速度，按并聯(lián)處理。

6.3.3伺服電動(dòng)機(jī)圖6-26電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的等效電路66

設(shè)電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的輸入電壓為

，輸出為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角為

，

為通過電樞繞阻電流，

為電動(dòng)機(jī)感應(yīng)電動(dòng)勢，

為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩。在電動(dòng)機(jī)的電樞中，根據(jù)基爾霍夫電壓定律，則有設(shè)電動(dòng)機(jī)的力矩常數(shù)為，由前面直流電動(dòng)機(jī)的特性可知，電動(dòng)機(jī)輸出力矩與電樞輸入電流成正比，有

6.3.3伺服電動(dòng)機(jī)（6-73）（6-72）67

設(shè)電動(dòng)機(jī)的反電動(dòng)勢常數(shù)為

，則電動(dòng)機(jī)感應(yīng)電動(dòng)勢與電動(dòng)機(jī)的磁通常量成正比，則感應(yīng)電動(dòng)勢為

電動(dòng)機(jī)負(fù)載有電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子本身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以阻尼負(fù)載，設(shè)電動(dòng)機(jī)負(fù)載折算到電動(dòng)機(jī)軸粘性阻尼系數(shù)為，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，根據(jù)牛頓第二定律，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)微分方程為將式（6-73）代入式（6-75），有6.3.3伺服電動(dòng)機(jī)（6-75）（6-74）（6-76）68將式（6-74）、（6-75）代入式（6-72），則有

對式（6-77）進(jìn)行拉普拉斯變換，電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)為6.3.3伺服電動(dòng)機(jī)（6-75）（6-74）692.交流伺服電動(dòng)機(jī)交流電動(dòng)機(jī)的形式較多，有同步與異步之分，異步電動(dòng)機(jī)又分為繞線式和籠型，同步電動(dòng)機(jī)又分為永磁式和勵(lì)磁式。不同類型的交流電動(dòng)機(jī)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型不相同，但是各類交流電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程都是一樣的，即

式中:為轉(zhuǎn)子角速度

，

為轉(zhuǎn)子角位移，

為電動(dòng)機(jī)的極對數(shù)，

為轉(zhuǎn)動(dòng)部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

為機(jī)械阻尼系數(shù)。6.3.3伺服電動(dòng)機(jī)（6-79）70圖6-27所示是一臺凸極式三相同步電動(dòng)機(jī)的定、轉(zhuǎn)子繞組分布示意圖，定子三相繞組分別用A、B、C表示，轉(zhuǎn)子上有勵(lì)磁繞組f，定子A相繞組軸線與轉(zhuǎn)子d軸方向夾角為，轉(zhuǎn)子以角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。6.3.3伺服電動(dòng)機(jī)圖6-27凸極式三相同步電動(dòng)機(jī)示意圖71三相同步電動(dòng)機(jī)各繞組的電壓平衡方程為式中：為定子各相繞組的磁鏈；-轉(zhuǎn)子勵(lì)磁繞組的磁鏈；-定子每相繞組的電阻；-勵(lì)磁繞組的電阻。6.3.3伺服電動(dòng)機(jī)（6-79）72對于定子三相繞組和轉(zhuǎn)子勵(lì)磁繞組，磁鏈方程為式中，定子各相繞組的自感和定子各相繞組間的互感

均為轉(zhuǎn)子角位移θ的函數(shù)，即6.3.3伺服電動(dòng)機(jī)（6-80）73式中：和分別為定子繞組自感和互感的恒值分量；和分別為定子繞組自感和互感二倍頻分量的幅值。6.3.3伺服電動(dòng)機(jī)（6-81）74為轉(zhuǎn)子勵(lì)磁繞組的自感，當(dāng)不計(jì)齒槽效應(yīng)時(shí)，定子鐵心內(nèi)圓為光滑圓柱，故無論轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)到什么位置，轉(zhuǎn)子磁動(dòng)勢所遇磁阻不變，因而的大小與轉(zhuǎn)子位置無關(guān)，為常值。是勵(lì)磁繞組與定子繞組間的互感，按氣隙磁場為正弦分布的假定，則有上式中，為勵(lì)磁繞組軸線與定子相繞組軸線重合時(shí)的互感。6.3.3伺服電動(dòng)機(jī)（6-82）75可見，三相同步電動(dòng)機(jī)的電壓方程（6-80）也是一組變系數(shù)的微分方程，該方程可以簡化為上式中，

分別為電壓向量、電流向量和磁鏈向量。分別為電阻矩陣和電感矩陣，分別為6.3.3伺服電動(dòng)機(jī)（6-85）（6-84）76電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩為式中，電感矩陣的偏導(dǎo)數(shù)中，僅，其余元素仍為轉(zhuǎn)子角位移θ的函數(shù)。

將式（6-79）與式（6-87）聯(lián)立方程，消去中

，則得到電動(dòng)機(jī)角位移與電動(dòng)機(jī)繞組電流之間的方程為6.3.3伺服電動(dòng)機(jī)（6-87）（6-86）（6-88）776.4液壓與氣壓系統(tǒng)模型6.4.1閥控液壓缸

閥控液壓缸是指用調(diào)節(jié)滑閥輸出流量的大小和方向來控制液壓缸的運(yùn)動(dòng)速度和方向的液壓傳動(dòng)系統(tǒng)，具有響應(yīng)快、控制精度高的優(yōu)點(diǎn)。閥控液壓缸由滑閥和液壓缸組成，按閥和缸的結(jié)構(gòu)形式不同分為對稱與非對稱性缸、對稱與非對稱性閥。786.4.1閥控液壓缸在此介紹其中一種類型，即對稱閥-非對稱缸的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)組成如圖6-28所示。圖6-28閥控液壓缸原理圖796.4.1閥控液壓缸由滑閥的基本公式可知，液壓缸兩腔的流量連續(xù)性方程分別為式中，為流量系數(shù)；為滑閥窗口孔寬度；為滑閥進(jìn)口壓力；為液壓缸無桿腔進(jìn)口壓力；為液壓缸有桿腔出口壓力；為滑閥出口壓力；為液壓油密度。穩(wěn)態(tài)時(shí)，，，，由式（6-89）可以得到（6-89）806.4.1閥控液壓缸

令，可推出滑閥輸出的負(fù)載流量與負(fù)載壓力的關(guān)系為（6-90）（6-91）（6-92）816.4.1閥控液壓缸對式（6-92）進(jìn)行線性化，則式中，為流量增益；為流量-壓力系數(shù)。假設(shè)閥與液壓缸的連接管道對稱，管道中的壓力損失和管道動(dòng)態(tài)可以忽略；液壓缸每個(gè)工作腔內(nèi)各處壓力相等，油溫和體積彈性模量為常數(shù)；液壓缸內(nèi)外泄漏均為層流流動(dòng)。根據(jù)流量計(jì)算公式，液壓缸進(jìn)口流量與出口流量分別為（6-93）826.4.1閥控液壓缸式中：為是有效體積彈性模量；為是液壓缸無桿腔的容積；為液壓缸有桿腔的容積；為壓缸內(nèi)泄漏系數(shù)；為液壓缸外泄漏系數(shù)。液壓缸運(yùn)動(dòng)時(shí)，工作腔的容積可寫為式中：為是液壓缸無桿腔的初始容積；為是液壓缸無桿腔的初始容積；為液壓缸無桿腔面積；為液壓缸有桿腔面積。（6-94）（6-95）6.4.1閥控液壓缸負(fù)載流量連續(xù)性方程為對（6-91）進(jìn)行求導(dǎo)得如果忽略內(nèi)泄漏流量和外泄漏流量，再假設(shè)兩腔的壓縮流量為，因?yàn)?/p>

，，在此忽略與影響，則有（6-96）（6-97）6.4.1閥控液壓缸將式（6-95）、（6-97）代入（6-96），并進(jìn)行簡化，得式中：；為液壓慶缸總泄漏系數(shù)，液壓缸和負(fù)載的力平衡方程為（6-98）（6-99）（6-100）6.4.1閥控液壓缸對式（6-93）、（6-99）、（6-100）進(jìn)行拉普拉斯變換，可得到三個(gè)基本方程為由公式（6-101）可以畫出對稱閥-非對稱缸的方框圖，如圖6-29所示，為總壓力-流量系數(shù)，；；。由系統(tǒng)方框圖6-29，得到對稱閥–非對稱缸的傳遞函為（6-101）6.4.1閥控液壓缸如果負(fù)載不是彈性負(fù)載和阻尼情況下，即=0，，公式（6-102）簡化為式中：為系統(tǒng)固有頻率，；為液壓阻尼比，。

（6-102（6-103）6.4.1閥控液壓缸

圖6-29閥控液壓缸的系統(tǒng)方框圖886.4.2閥控液壓馬達(dá)

閥控液壓馬達(dá)是利用閥控制液壓馬達(dá)的轉(zhuǎn)速、位移或力矩一種控制系統(tǒng)。在此以直動(dòng)式比例方向閥為例控制液壓馬達(dá)的運(yùn)行，控制原理如圖6-30所示。工作時(shí)比例電磁鐵直接推動(dòng)方向閥閥芯產(chǎn)生位移，其位移量的大小與電磁鐵控制電壓值有關(guān)，改變電磁鐵控制電壓的大小可改變比例方向閥開口的大小，以期得到所需的轉(zhuǎn)速度、角位移或力矩。直動(dòng)式比例方向閥控液壓馬達(dá)有工作原理圖如圖6-31所示，為流入液壓馬達(dá)左腔的流量，為由液壓馬達(dá)右腔流回油箱的流量，為供油流量，為液壓馬達(dá)左腔液體的壓力，為液壓馬達(dá)右腔液體的壓力，為供油壓力，為液壓馬達(dá)左腔的有效容積，為液壓馬達(dá)右腔的有效容積。896.4.2閥控液壓馬達(dá)圖6-30閥控液壓馬達(dá)控制原理圖

圖6-31液壓原理圖906.4.2閥控液壓馬達(dá)（1）直動(dòng)比例閥模型

在工作區(qū)域內(nèi)，電磁鐵推力的近似線性表達(dá)式為式中：為電磁鐵的電流力增益，；為電磁鐵的位移力增益，；為電磁銜鐵位移。

比例電磁鐵控制線圈的電壓平衡方程為式中:為控制電壓；為線圈電感;為線圈內(nèi)阻；為放大器內(nèi)阻；為線圈感應(yīng)反電動(dòng)勢系數(shù)。（6-104）（6-105）916.4.2閥控液壓馬達(dá)對式（6-105）進(jìn)行拉普拉斯變換，有令，，對式（6-106）進(jìn)行整理得閥芯受力平衡方程式為式中：為閥芯-銜鐵組件的質(zhì)量；為阻尼系數(shù)；為銜鐵組件的彈簧剛度；為穩(wěn)態(tài)液動(dòng)力。（6-106）（6-107）（6-108）926.4.2閥控液壓馬達(dá)穩(wěn)態(tài)液動(dòng)力的線性化增量表達(dá)式為式中：為流量增益；為流量-壓力系數(shù)。把式（6-104）和式（6-109）代入式（6-108），則有對式（6-110）進(jìn)行拉普拉斯變換，有令，對式（6-111）進(jìn)行整理得（6-109）（6-110）（6-111）（6-112）936.4.2閥控液壓馬達(dá)（2）閥控液壓馬達(dá)模型比例閥流量方程為式中：為流量系數(shù)；為滑閥窗口孔寬度；為為液壓油密度。其流量連續(xù)方程為式中：

；

。對式（6-114）進(jìn)行拉普拉斯變換，則有（6-113）（6-114）（6-115）946.4.2閥控液壓馬達(dá)液壓馬達(dá)流量連續(xù)方程為式中:為有效體積彈性模量；為液壓內(nèi)泄漏系數(shù)；為液壓馬達(dá)外泄漏系數(shù)。式中:為工作時(shí)進(jìn)油腔初始容積；為馬達(dá)角位移。對

求導(dǎo)可得式中:為馬達(dá)每弧度的體積排量；為馬達(dá)轉(zhuǎn)速。（6-116）（6-117）（6-118）956.4.2閥控液壓馬達(dá)將式（6-118）代入式（6-116），可得對式（6-119）式取增量，設(shè)為定值對式（6-120）進(jìn)行拉普拉斯變換，可得由式（6-115）和式（6-121），經(jīng)整理后得（6-119）（6-120）（6-121）（6-122）966.4.2閥控液壓馬達(dá)液壓馬達(dá)力矩平衡方程為式中：為馬達(dá)輸出力矩；為外干擾力矩;為馬達(dá)輸出軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為粘性阻尼系數(shù)；為負(fù)載壓力，，為常數(shù)，。由式（6-123）可得令，則有（6-123）（6-124）（6-125）976.4.2閥控液壓馬達(dá)由式(6-122)和式(6-124)，得令，則式（6-126）可表示為（6-126）（6-127）986.4.2閥控液壓馬達(dá)由式（6-107）、式（6-112）、式（6-125）和式（6-127）可得閥控液壓馬達(dá)的系統(tǒng)方框圖如圖6-32所示。圖6-32閥控液壓馬達(dá)系統(tǒng)的框圖996.4.3泵控液壓馬達(dá)

泵控液壓馬達(dá)是通過改變泵的排量即改變泵的輸出功率來控制傳送給負(fù)載的動(dòng)力。圖6-33所示為采用變量泵控制液壓馬達(dá)的原理圖，系統(tǒng)由變量泵、先導(dǎo)式溢流閥、液壓馬達(dá)、單向閥等組成。1–液壓泵；2–液壓馬達(dá)；3–先導(dǎo)式溢流閥；4–單向閥；5–濾油器；6–補(bǔ)油泵圖6-33泵控馬達(dá)系統(tǒng)1006.4.3泵控液壓馬達(dá)根據(jù)變量泵的工作原理，泵的流量連續(xù)方程式中：為泵排量；為泵內(nèi)泄漏系數(shù)；為泵外泄漏系數(shù)；為高壓側(cè)壓力；為低壓側(cè)壓力。通常認(rèn)為補(bǔ)油壓力為常數(shù)，為工作時(shí)的低腔壓力，即=常數(shù)，將式（6-128）拉普拉斯變換為式中，為變量泵斜盤傾角系數(shù)；為變量泵流量增益，；為泵的總泄漏系數(shù)，。（6-128）（6-129）1016.4.3泵控液壓馬達(dá)

液壓馬達(dá)高壓腔的流量連續(xù)性方程為對式（6-130）進(jìn)行拉普拉斯變換，有式中：

為馬達(dá)外泄漏系數(shù)；

為馬達(dá)內(nèi)泄漏系數(shù)；

為馬達(dá)軸轉(zhuǎn)角；

為馬達(dá)排量；

為泵和馬達(dá)的工作腔以及連接管道的總?cè)莘e；

為馬達(dá)的總泄漏系數(shù)，

。馬達(dá)和負(fù)載的轉(zhuǎn)矩平衡方程為（6-130）（6-131）（6-132）1026.4.3泵控液壓馬達(dá)對式（6-132）進(jìn)行拉普拉斯變換，有式中，為馬達(dá)和負(fù)載折算到馬達(dá)軸上的總慣量；為馬達(dá)和負(fù)載折算到馬達(dá)上的總粘性阻尼系數(shù)；為負(fù)載剛度；為作用在馬達(dá)軸上的任意外負(fù)載轉(zhuǎn)矩。公式（6-129）、式（6-131）、式（6-133）是泵控馬達(dá)系統(tǒng)所列寫的基本方程，由此可以畫出泵控馬達(dá)系統(tǒng)的方框圖如圖6-34所示。（6-133）1036.4.3泵控液壓馬達(dá)在圖6-34中，

為系統(tǒng)總泄漏系數(shù)，

。通常阻尼系數(shù)比大得多，假設(shè)彈性負(fù)載，則由方框圖得圖6-34液壓泵控馬達(dá)系統(tǒng)的方框圖1046.4.3泵控液壓馬達(dá)式中：為阻尼比；為液壓固有頻率。以液壓泵的擺角作為輸入的傳遞函數(shù)為式中：,（6-134）（6-135）1056.4.3泵控液壓馬達(dá)

如果以負(fù)載轉(zhuǎn)矩為輸入的傳遞函數(shù)為（6-136）1066.4.4閥控氣缸圖6-35所示為閥控氣缸原理圖，系統(tǒng)由兩個(gè)比例伺服閥、單出桿氣缸、負(fù)載等組成。氣動(dòng)位置伺服系統(tǒng)是利用比例閥將其連續(xù)的電信號輸人轉(zhuǎn)換成連續(xù)的氣動(dòng)信號輸出,進(jìn)而控制進(jìn)入或排出氣缸兩腔的空氣質(zhì)量。

圖6-35閥控氣缸原理圖1076.4.4閥控氣缸

壓力型比例閥的質(zhì)量流量是比例閥的輸人電壓

和輸出壓力

的函數(shù)，其流量方程可以描述為

令，，對式（6-137）進(jìn)行拉普拉斯變換，有式中：

為比例閥的質(zhì)量流量，當(dāng)某一比例閥的輸人電壓固定時(shí)，=0（6-137）（6-138）1086.4.4閥控氣缸

根據(jù)熱力學(xué)第一定律和理想氣體狀態(tài)方程可得氣缸容腔的壓力微分方程為

式中：r為氣體比熱比；R為氣體常數(shù)；T為氣體絕對溫度；A為容腔橫截面積；x為活塞桿的位移，規(guī)定向外運(yùn)動(dòng)為正方向。在工作點(diǎn)處對上式作拉普拉斯變換，可得式中：和分別代表在工作點(diǎn)k處氣缸容腔的壓力和體積。（6-139）（6-140）1096.4.4閥控氣缸式中：

為阻尼系數(shù)；

為彈性剛度。對式（6-141）進(jìn)行拉普拉斯變換，有根據(jù)方框圖,化簡相關(guān)系數(shù)可以推導(dǎo)出由下式描述的氣動(dòng)位置伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為式中：、、為替換后的系數(shù)。（6-141）（6-142）（6-143）1106.4.4閥控氣缸

由以上系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性基本方程的拉普拉斯變換，可以畫出氣動(dòng)位置伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方框圖，如圖6-36所示。圖6-36閥控氣缸系統(tǒng)方框圖1116.4.5電液伺服閥電液伺服閥的類型較多，在此以力反饋兩級電液伺服閥為例介紹它的數(shù)學(xué)模型建立過程。圖6-37為力反饋兩級電液伺服閥的工作原理圖，主要由力矩馬達(dá)與滑閥組成。圖6-37電液伺服閥工作原理圖1126.4.4電液伺服閥1.力矩馬達(dá)運(yùn)動(dòng)方程（1）電壓平衡方程當(dāng)放大器工作時(shí)，輸入每個(gè)線圈輸入電壓為式中：

為放大器控制電壓；

為放大器放大系數(shù)。

兩個(gè)線圈回路的電壓平衡方程式中：

為線圈共用邊的阻抗；

為每個(gè)線圈的電阻；

為每個(gè)線圈回路中放大器內(nèi)阻；

為每個(gè)線圈的匝數(shù)；

為銜鐵磁通。（6-144）（6-145）1136.4.4電液伺服閥將上式中兩個(gè)等式相減，則有線圈電流銜鐵的磁通為將式（6-147）代入式（6-146）中，有令，，則有（6-147）（6-146）（6-148）（6-149）1146.4.4電液伺服閥將式（6-149）進(jìn)行拉普拉斯變換為將式（6-150）改寫為式中：（2）銜鐵擋板組件的運(yùn)動(dòng)方程力矩馬達(dá)輸出的電磁力矩包括電磁彈簧力矩和中位電磁力矩。中位電磁力矩即銜鐵處于中位時(shí)，控制產(chǎn)生的電磁力矩。電磁彈簧力矩為銜鐵偏離中位時(shí)，氣隙發(fā)生變化產(chǎn)生的附加電磁力矩。（6-150）（6-151）1156.4.4電液伺服閥力矩馬達(dá)輸出的電磁力矩方程為電磁力矩作用下，銜鐵擋板組件的運(yùn)動(dòng)方程為式中：為銜鐵擋板組件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為粘性阻尼系數(shù)；為彈簧管剛度，為噴嘴對擋板的液流力產(chǎn)生的負(fù)載力矩；為反饋桿變形對銜鐵擋板組件產(chǎn)生的負(fù)載力矩。作用在擋板上的液流力對銜鐵擋板組件產(chǎn)生的負(fù)載力矩為式中：為噴嘴孔的面積，為兩噴嘴腔壓力差，為噴嘴中心至彈簧管回轉(zhuǎn)中心的距離。（6-154）（6-152）（6-153）1166.4.4電液伺服閥作用在反饋桿變形對銜鐵擋板組件產(chǎn)生的負(fù)載力矩為式中：為反饋桿小球中心到噴嘴中心的距離，為反饋桿剛度。將式（6-152）、式（6-153）、式（6-154）、式（6-155）聯(lián)立，有將上式進(jìn)行拉普拉斯變換，得銜鐵擋板組件的力矩平衡方程為（6-155）（6-156）（6-157）1176.4.4電液伺服閥即有式中：為力矩馬達(dá)的總剛度，，因此，可得把式整理成標(biāo)準(zhǔn)形式為式中：為力矩馬達(dá)固有頻率，；為阻尼系數(shù)，。（6-158）（6-159）（6-160）（6-161）1186.4.4電液伺服閥由式（6-151）和式（6-161），得到力矩馬達(dá)環(huán)節(jié)的方框圖如圖6-38所示。圖6-38力矩馬達(dá)方框圖1196.4.4電液伺服閥2.擋板位移與銜鐵轉(zhuǎn)角的關(guān)系根據(jù)擋板結(jié)構(gòu)，當(dāng)銜鐵轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)過角時(shí)，則擋板位移為式中：為旋轉(zhuǎn)半徑。因此，上述力矩馬達(dá)環(huán)節(jié)的方框圖變換后如圖6-39所示。圖6-39變換后的力矩馬達(dá)方框圖（6-162）1206.4.4電液伺服閥3.噴嘴擋板至滑閥的傳遞函數(shù)認(rèn)為噴嘴擋板閥的綜合特性是線性的，其線性化方程為同時(shí)，忽略滑閥的內(nèi)外泄漏、摩擦力和失靈區(qū)，近似認(rèn)為滑閥上的液動(dòng)力是線性變化的，其穩(wěn)態(tài)液動(dòng)力為根據(jù)上述假設(shè)，考慮液體可壓縮性時(shí)，滑閥運(yùn)動(dòng)所需的流量為式中：為滑閥處于中位時(shí)左右腔的容積。（6-163）（6-164）（6-165）1216.4.4電液伺服閥閥芯上作用的力平衡方程為

為簡化，忽略實(shí)際數(shù)值較小的量，即，，則有聯(lián)立式（6-165）、式（6-166）、式（6-167），得式中：,,（6-166）（6-167）1226.4.4電液伺服閥因此，得傳遞函數(shù)為由于，很小，近似為，則有因此，得到伺服閥的方框圖如圖6-40所示。（6-168）（6-169）1236.4.4電液伺服閥

圖6-40伺服閥系統(tǒng)方框圖1246.5機(jī)電一體化系統(tǒng)建模實(shí)例6.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模圖6-41所示為數(shù)控機(jī)床工作臺的傳動(dòng)系統(tǒng)，由伺服電動(dòng)機(jī)、減速器、絲杠螺母及工作臺組成。伺服電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)通過連軸器、減速器及絲杠螺母機(jī)構(gòu)副驅(qū)動(dòng)工作臺做直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)減速器為兩級傳動(dòng)，總傳動(dòng)比為

，、、為分別為I、II、III軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，、、分別為I、II、III軸的扭轉(zhuǎn)剛度，為聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)剛度，為絲杠螺母副的軸向剛度，為工作臺質(zhì)量，為工作臺與導(dǎo)軌之間的粘性阻尼系數(shù)，T1、T2、T3分別為I、II、III軸的輸入轉(zhuǎn)矩，為電動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩，為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子角位移。1256.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模

圖6-41數(shù)控機(jī)床工作臺傳動(dòng)系統(tǒng)1266.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模

在建立機(jī)電一體化系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型過程中，經(jīng)常會(huì)用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)等基本物理量。為了方便建模，通常采取的方法是把整個(gè)系統(tǒng)中的物理量折算其中的一個(gè)部件上，以它為中心建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。因此，在建模前需要進(jìn)行基本物理量的等效折算。1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等效折算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等效折算就是將傳動(dòng)系統(tǒng)中I、II、III軸上所有零件以及工作臺質(zhì)量都折算到I軸上，作為系統(tǒng)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)、、分別為I、II、III軸的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；、、分別為I、II、III軸的角速度；為工作臺的直線位移。1276.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模根據(jù)牛頓第二定律，I軸的轉(zhuǎn)矩平衡方程為II軸的轉(zhuǎn)矩平衡方程為由I、II兩軸的傳動(dòng)關(guān)系可知，II軸的輸入轉(zhuǎn)矩

是由I軸輸出轉(zhuǎn)矩

傳遞得到的，且與傳動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)速成反比，即有

式中：

為I軸與軸II的傳動(dòng)比，且有

。（6-171）（6-172）（6-173）1286.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模將式（6-172）代入（6-173）中，經(jīng)整理得又根據(jù)II與III軸的傳動(dòng)關(guān)系，III軸的力矩平衡方程為同理，又有式中：為I軸與軸II的傳動(dòng)比，。（6-174）（6-175）（6-176）1296.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模將式（6-175）代入式（6-176），經(jīng)整理得根據(jù)能量相等原則，在此不考慮能量損失，則絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)一轉(zhuǎn)所做的功應(yīng)等于工作臺前移動(dòng)一個(gè)導(dǎo)程時(shí)慣性力所做的功，則有式中：為絲杠導(dǎo)程。如果齒輪

旋轉(zhuǎn)一圈，工作臺前進(jìn)一個(gè)導(dǎo)程

，根據(jù)兩者傳動(dòng)關(guān)系，則有（6-177）（6-178）（6-179）1306.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模將式（6-179）求導(dǎo)后，代入式（6-178）得依次將式（6-180）代入式（6-177），式6-177）代入式（6-174），式（6-174）代入式（6-171），整理得

I、II、III軸部件及工作臺等效到I軸上的總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（6-180）（6-181）（6-182）1316.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模2.粘性阻尼系數(shù)等效折算在機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模過程中，粘性阻尼同樣需要折算到某一部件上，求出系統(tǒng)的當(dāng)量阻尼系數(shù)。其基本方法是將摩擦阻力、流體阻力及負(fù)載阻力折算成與速度有關(guān)的粘性阻尼力，再利用摩擦阻力與粘性阻尼力所消耗的功相等這一原則，求出粘性阻尼系數(shù)，最后進(jìn)行相應(yīng)的當(dāng)量阻尼系數(shù)折算。在本例中只考慮工作臺運(yùn)動(dòng)之間的摩擦，其它各環(huán)節(jié)的摩擦損失相對較小，在此忽略不計(jì)。當(dāng)只考慮阻尼力時(shí)，根據(jù)工作臺和絲杠之間動(dòng)力關(guān)系，即絲杠旋轉(zhuǎn)一周所做的功等于工作臺前進(jìn)一個(gè)導(dǎo)程時(shí)其阻尼力所做的功，有

1326.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模根據(jù)它們的傳動(dòng)關(guān)系以有將式（6-179）、式（6-183）代入式（6-185），并整理得式中：為工作臺折算到I軸上的粘性阻尼系數(shù)。

（6-183）（6-186）（6-184）（6-185）1336.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模3.剛度折算機(jī)械系統(tǒng)中各元件在工作時(shí)受到力或力矩作用，將產(chǎn)生伸長(壓縮）或扭轉(zhuǎn)等彈性變形，這些變形將影響整個(gè)系統(tǒng)的精度和動(dòng)態(tài)性能。在機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模中，需要將其折算成相應(yīng)的當(dāng)量扭轉(zhuǎn)剛度和彈性剛度。在本例中，將所有軸的扭轉(zhuǎn)角折算到I軸上，絲杠與工作臺之間的軸向彈性變形會(huì)使III軸產(chǎn)生一個(gè)附加扭轉(zhuǎn)角，所以也要折算到軸I上，然后求出折算到軸I上的系統(tǒng)等效剛度。

1346.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模(1)軸向剛度折算當(dāng)系統(tǒng)受到載荷作用時(shí)，絲杠螺母副和螺母座都會(huì)產(chǎn)生軸向彈性變形，設(shè)絲杠的輸入轉(zhuǎn)矩為T3，絲杠和工作臺之間的彈性變形為，對應(yīng)的絲杠附加轉(zhuǎn)角為。根據(jù)動(dòng)力平衡和傳動(dòng)關(guān)系，對于絲杠軸III有

（6-187）（6-188）1356.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模將式（6-188）代入（6-187）有式中：為附加扭轉(zhuǎn)剛度。（2）扭轉(zhuǎn)剛度折算設(shè)、、分別為軸I、II、III在輸入轉(zhuǎn)矩、、作用下產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角，為聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)角、根據(jù)動(dòng)力平衡和傳動(dòng)關(guān)系有（6-189）（6-190）1366.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模

因?yàn)榻z杠和工作臺之間的軸向彈性變形，要使得工作動(dòng)變形前的位置，則需要Ⅲ軸多旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，即為附加扭轉(zhuǎn)角，所以軸上的實(shí)際扭轉(zhuǎn)角為將和式（6-189）代入式（6-192）得（6-191）（6-192）（6-193）1376.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模將III、III軸的扭轉(zhuǎn)角折算到I軸上，得到系統(tǒng)的等效扭轉(zhuǎn)角為將式（6-191）、（6-193）代入式（6-194）得式中：

為折算到I軸上的當(dāng)量扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)。（6-194）（6-195）（6-196）1386.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模4.系統(tǒng)傳遞函數(shù)將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剛度、粘性阻尼等效算到I軸后，可以外按單一部件對系統(tǒng)進(jìn)行建模。設(shè)輸入量為軸I的轉(zhuǎn)角，輸出量為工作臺的線位移，傳動(dòng)系統(tǒng)的等效圖6-42所示。圖6-42傳動(dòng)系統(tǒng)等效計(jì)算圖1396.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建?？梢缘玫綌?shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為式中：為中不包括I軸的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由于，，系統(tǒng)等效到I軸的力矩平衡方程為（6-198）（6-199）1406.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模根據(jù)式（6-199）畫出系統(tǒng)的方框圖如圖6-5所示。根據(jù)方框圖，工作臺輸出對地I軸輸入的傳遞函數(shù)為式中：-固有頻率，；-阻尼比，。圖6-43進(jìn)給系統(tǒng)方框圖（6-200）1416.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模根據(jù)系統(tǒng)方框圖，工作臺輸出對地I軸輸入轉(zhuǎn)矩的傳遞函數(shù)為令，將式（6-201）改造成式中：-固有頻率；；-阻尼比，。（6-201）（6-201）1426.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模和是二階系統(tǒng)的兩個(gè)特征參數(shù)，對于不同的系統(tǒng)可由不同的物理量確定，對于機(jī)械系統(tǒng)而言，它們是由質(zhì)量、阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)等結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的。機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的性能與系統(tǒng)本身的阻尼比、固有頻率有關(guān)。和又與機(jī)械系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān)。因此，機(jī)械系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)對伺服系統(tǒng)的性能有很大影響。一般的機(jī)械系統(tǒng)均可簡化為二階系統(tǒng)，系統(tǒng)中阻尼的影響可以由二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線來說明，如圖6-44所示。1436.5.1數(shù)控機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)建模①當(dāng)=0時(shí)，系統(tǒng)處于等幅持續(xù)振蕩狀態(tài)，因此系統(tǒng)不能無阻尼。②當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)為臨界阻尼或過阻尼系統(tǒng)。此時(shí),過渡過程無振蕩,但響應(yīng)時(shí)間較長。③當(dāng)0<<1時(shí)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)。此時(shí)，系統(tǒng)在過渡過程中處于減幅振蕩狀態(tài)，其幅值衰減的快慢取決于衰減系數(shù)。在確定以后,愈小，其振蕩愈劇烈，過渡過程越長。圖6-44二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線1446.5.2數(shù)控伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)建模伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)是數(shù)控機(jī)床、工業(yè)機(jī)器人等機(jī)電一體化系統(tǒng)的重要組成部分，以西門子S120驅(qū)動(dòng)單元為例，且X、Y、Z直線軸采用西門子交流同步伺服電動(dòng)機(jī)，通過矢量變換的方法對伺服電動(dòng)機(jī)進(jìn)行線性化解耦控制。為保證運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)精確性，伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中包括了電流環(huán)、速度環(huán)、位置環(huán)，分別用于力矩、速度、位置控制，三環(huán)通過PID調(diào)節(jié)器控制。圖6-45為閉環(huán)伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制框圖。1456.5.2數(shù)控伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)建模

圖6-45閉環(huán)伺服控制系統(tǒng)框圖1466.5.2數(shù)控伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)建模1.伺服電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型通常情況下，可以通過矢量變換的方法將三相永磁式同步電動(dòng)機(jī)等效為二相d-p旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的直流電動(dòng)機(jī)模型，其數(shù)學(xué)模型如下：永磁式同步電動(dòng)機(jī)在二相d-p坐標(biāo)系下電壓方程為式中:、為q、d軸的等效電壓；、為q、d軸的等流；為定子的相電阻；、為q、d軸的磁鏈；為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。（6-203）147