高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程

大學數(shù)學(四)

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計

腳本編寫：孟益民教案制作：孟益民

本章學習要求：理解事件頻率的概念，理解概率的古典定義.

理解隨機事件的概念，掌握事件之間的關系與運算.

掌握概率的基本性質及概率加法定理.

理解條件概率的概念，掌握概率的乘法定理.

了解事件的獨立性概念.

掌握貝努利概型和二項概率的計算方法.第一章隨機事件及其概率第二節(jié)概率及其運算性質一、古典概型二、統(tǒng)計概率三、概率的公理化定義四、概率的性質

隨機事件在每次試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，具有隨機性，但在大量重復試驗中，可以發(fā)現(xiàn)它具有一定的規(guī)律性，不同的事件，有的出現(xiàn)的可能性大，有的出現(xiàn)的可能性小。隨機事件的概率就是表示事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值，它是概率論中最基本的概念之一.一、古典概型

首先討論一類最簡單又最直觀的隨機試驗,它們具有兩個特點:

（1）試驗的基本事件為有限個；（2）試驗的每個基本事件發(fā)生的可能性相同.我們把這類隨機試驗稱為古典型試驗簡稱古典概型.

設古典概型的樣本空間包含n個基本事件，事件A包含k個基本事件，則比值稱為事件A的概率，即

定義對于古典概型，事件A的概率定義如下：

例如，上節(jié)例1中的拋硬幣試驗是個古典概型，出現(xiàn)正面和出現(xiàn)反面的概率均為.

古典概型中，概率具有如下的性質：

(1)非負性對于任意事件A，有；

(2)規(guī)范性必然事件的概率等于1，即P（）=1，不可能事件的概率等于0，即P（）=0；

(3)可加性如果事件A和B互不相容（AB

=），則P（AB）=P（A）+P（B）.

定理1上述性質（3）可推廣至有限個事件的情形.例1例2例3解將n只球放入N個盒子,每種放法是一基本事件,共有N

N...N=Nn種不同放法,而每個盒子中至多放一只球共有N(N-1)...[N-(n-1)]種不同放法,因而所求概率為例4將n只球隨機地放入N(N

n)個盒子中去,試求每個盒子至多有一只球的概率(設盒子的容量不限).生日問題許多問題和本例有相同的數(shù)學模型.例如,假設每人的生日在一年365天的任一天是等可能的,即都等于1/365,則隨機選取n(365)個人,他們的生日各不相同的概率為因而,n個人中至少有兩人生日相同的概率為醉漢開門問題

醉漢手中有一串外觀相似的鑰匙(共八只)，但其中只有一只是開大門的，他只好隨機地試，問他試到第三把時門試開的概率是幾？解：⒈試過還會再試：⒉試過就不再試。摸彩要爭先恐后嗎

注意在醉漢開門問題的后一種情況中，他第一次就試開了的概率到第八次才試開的概率都是1/8=0.125。這說明摸彩沒有必要爭先恐后，除了心理上的差別外，第一與最后摸的機會是均等的。二、統(tǒng)計概率

定義1

設事件A在n次重復試驗中發(fā)生nA次，比值

稱為事件A在這n次試驗中發(fā)生的頻率，nA稱為A發(fā)生的頻數(shù)可以驗證，事件A發(fā)生的頻率f(A)有如下性質：（1）（2）（3）若事件A1，A2，…Am互不相容，則有

試驗者nna蒲豐404020480.5080皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005

從上表可看出，試驗次數(shù)逐漸增多時，出現(xiàn)正面次數(shù)與試驗次數(shù)的比值穩(wěn)定于常數(shù)0.5.

三、概率的公理化定義

前面我們討論了古典概型以及事件的頻率,古典概型要求具有某種“等可能性”,所以它們適用范圍有限,而用頻率去確定概率,雖然比較實用,但試驗次數(shù)n究竟要大到什麼程度,頻率的穩(wěn)定性從理論上看,還沒有給予確切的說明,因此它們都有缺陷,而作為數(shù)學的一個分支的概率論中有必要提出一組關于隨機事件概率的公理.使以后有關的推理有所依據(jù).

設函數(shù)P(A)的定義域為所有隨機事件組成的集合,且滿足公理1、2、3,則稱函數(shù)P(A)為事件A的概率.公理1公理2公理3定義

可以直接驗證,按古典定義及幾何概率規(guī)定的概率都符合這定義中的要求,因此它們都是這個一般定義范圍內的特殊情形.

性質1(有限可加性)

若A1,A2,...,An是兩兩互不相容的事件,

即則有四、概率的性質

性質2

設是A

的對立事件，則

P（A）=1P（）.

對于任意兩個事件A與B，由對偶律,有一般地有

性質3

設A,B是兩事件,且，則且P（B

A）=P（B）P（A）

證

AB注意：

性質4

（加法公式）設A，B為兩個事件，則

P（AB）=P（A）+P（B）P（AB）.

證

AB重要推廣:

在1~2000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù),問取到的數(shù)即不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?解設A為事件"取到的數(shù)能被6整除",B為事件"取到的數(shù)能被8整除",則所求概率為例5又由于一個數(shù)同時能被6與8整除,就相當于能被24整除,因此,由經(jīng)常有一些概率論的較難的題,直接計算某事件的概率困難,因此考慮先求此事件的逆事件的概率

解:假設A={至少一次正面},則

A={全是反面},只包含一個基本事件.基本事件總數(shù)為23=8,因此例6則擲3次硬幣,求至少一次正面朝上的概率.

產(chǎn)品有一,二等品及廢品3種,若一,二等品率分別為0.63及0.35,求產(chǎn)品的合格率與廢品率.解令事件A表示產(chǎn)品為合格品,A1,A2分別表示一,二等品.顯然A1與A2互不相容,并且A=A1+A2,則

P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2) =0.63+0.35=0.98

P(A)=1-P(A)=1-0.98=0.02注意此題并非古典概型題.例7

一個袋內裝有大小相同的7個球,4個是白球,3個為黑球.從中一次抽取3個,計算至少有兩個是白球的概率.解設事件Ai表示抽到的3個球中有i個白球(i=2,3),顯然A2與A3互不相容,且例850個產(chǎn)品中有46個合格品與4個廢品,從中一次抽取3個,求其中有廢品的概率.解設事件A表示取到的3個中有廢品,則事件A的逆為取到的3個產(chǎn)品中沒有廢品更好計算一些,因此有例9(A)0.4(B)0.6(C)0.7(D)0.8(E)0.9例10解：根據(jù)狄.摩根定理例11解由已知得:例121、設隨機事件A,B及其和事件的概率分別是0.4,0.3和0.6，若表示B的對立事件，那么事件的概率。2、設A,B為隨機事件，則。

3、A,B是E中二個事件，已知求

4、設事件A,B滿足且知求

練習5、在某城市的居民中訂購報紙的情況是：訂購A報的占45%，訂