首先說(shuō)下我的感覺(jué)，

假如高等數(shù)學(xué)是棵樹木得話，那么極限就是他的根，

函數(shù)就是他的皮。樹沒(méi)有跟，活不下去，沒(méi)有皮，只能枯萎，

可見(jiàn)這一章的重要性。

為什么第一章如此重要？

各個(gè)章節(jié)本質(zhì)上都是極限，

是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來(lái)的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個(gè)方面

首先

對(duì)

極限的總結(jié)

如下

極限的保號(hào)性很重要

就是說(shuō)在一定區(qū)間內(nèi)

函數(shù)的正負(fù)與極限一致

1

極限分為

一般極限

，

還有個(gè)數(shù)列極限，

（區(qū)別在于數(shù)列極限時(shí)發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來(lái)的全部列出來(lái)了?。。。?！你還能有補(bǔ)充么？？？）

1等價(jià)無(wú)窮小的轉(zhuǎn)化，

（只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說(shuō)一定在加減時(shí)候不能用

但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1

或者（1+x）的a次方-1等價(jià)于Ax

等等。

全部熟記

（x趨近無(wú)窮的時(shí)候還原成無(wú)窮?。?/p>

2落筆他法則

（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示

要你使用這個(gè)方法）

首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提?。。。。?！

必須是

X趨近而不是N趨近?。。。。。。。ㄋ悦鎸?duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，

當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點(diǎn)

數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無(wú)窮的

不可能是負(fù)無(wú)窮?。?/p>

必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在！?。。。。。。。偃绺嬖V你g（x）,

沒(méi)告訴你是否可導(dǎo)，直接用無(wú)疑于找死?。。?/p>

必須是

0比0

無(wú)窮大比無(wú)窮大！?。。。。。。?！

當(dāng)然還要注意分母不能為0

落筆他法則分為3中情況

10比0

無(wú)窮比無(wú)窮

時(shí)候

直接用

2

0乘以無(wú)窮

無(wú)窮減去無(wú)窮

（應(yīng)為無(wú)窮大于無(wú)窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以無(wú)窮大都寫成了無(wú)窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后

這樣就能變成1中的形式了

3

0的0次方

1的無(wú)窮次方無(wú)窮的0次方

對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，

這樣就能把冪上的函數(shù)移下來(lái)了，就是寫成0與無(wú)窮的形式了，（

這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無(wú)窮時(shí)候他的冪移下來(lái)趨近于0

當(dāng)他的冪移下來(lái)趨近于無(wú)窮的時(shí)候

LNX趨近于0）

3泰勒公式

(含有e的x次方的時(shí)候

，尤其是含有正余旋

的加減的時(shí)候要特變注意

?。。。。?/p>

E的x展開(kāi)

sina

展開(kāi)

cos

展開(kāi)

ln1+x展開(kāi)

對(duì)題目簡(jiǎn)化有很好幫助

4面對(duì)無(wú)窮大比上無(wú)窮大形式的解決辦法

取大頭原則

最大項(xiàng)除分子分母?。。。。。。。。。?！

看上去復(fù)雜處理很簡(jiǎn)單?。。。。。。。。?！

5無(wú)窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。

面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù)可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來(lái)了?。?！

6夾逼定理（主要對(duì)付的是數(shù)列極限！）

這個(gè)主要是看見(jiàn)極限中的函數(shù)是方程相除的形式

，放縮和擴(kuò)大。

7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限）（q絕對(duì)值符號(hào)要小于1）

8各項(xiàng)的拆分相加（來(lái)消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)函數(shù)

9求左右求極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，

xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化

102個(gè)重要極限的應(yīng)用。

這兩個(gè)很重要?。。。。?duì)第一個(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值

。

地2個(gè)就如果x趨近無(wú)窮大無(wú)窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式

（地2個(gè)實(shí)際上是用于

函數(shù)是1的無(wú)窮的形式

）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1的時(shí)候要特別注意可能是用地2個(gè)重要極限）

11還有個(gè)方法

，非常方便的方法

就是當(dāng)趨近于無(wú)窮大時(shí)候

不同函數(shù)趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的?。。。。。。。。。。。。。?！

x的x次方快于

x！

快于

指數(shù)函數(shù)

快于

冪數(shù)函數(shù)

快于

對(duì)數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）

!!!!!!

當(dāng)x趨近無(wú)窮的時(shí)候

他們的比值的極限一眼就能看出來(lái)了

12換元法

是一種技巧，不會(huì)對(duì)模一道題目而言就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中

13假如要算的話

四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的

14還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，

就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒(méi)有辦法

走投無(wú)路的時(shí)候可以考慮轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用

證明單調(diào)性?。。。。?！

16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求極限，

（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減麼個(gè)值）加減f（x）的形式，

看見(jiàn)了有特別注意）

（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候

f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候

就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義?。。。。┖瘮?shù)

是表皮

函數(shù)的性質(zhì)也體現(xiàn)在積分微分中

例如他的奇偶性質(zhì)

他的周期性。還有復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)

1奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱

偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣

（奇函數(shù)相加為0）

2周期性也可用在導(dǎo)數(shù)中

在定積分中也有應(yīng)用

定積分中的函數(shù)是周期函數(shù)

積分的周期和他的一致

3

復(fù)合函數(shù)之間是

自變量與應(yīng)變量互換

的

關(guān)系

4還有個(gè)單調(diào)性。(再求0點(diǎn)的時(shí)候可能用到這個(gè)性質(zhì)?。?/p>

（可以導(dǎo)的函數(shù)的單調(diào)性和他的導(dǎo)數(shù)正負(fù)相關(guān)）

:o再就是總結(jié)一下間斷點(diǎn)的問(wèn)題

（應(yīng)為一般函數(shù)都是連續(xù)的

所以間斷點(diǎn)是對(duì)于間斷函數(shù)而言的）

間斷點(diǎn)分為第一類

和第二類剪斷點(diǎn)

1

第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等

跳躍的的間斷點(diǎn)

或者左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點(diǎn)的值

可取的間斷點(diǎn)

地二類間斷點(diǎn)是

震蕩間斷點(diǎn)

或者是

無(wú)窮極端點(diǎn)

（這也說(shuō)明極限即是

不存在也有可能是有界的）

:o下面總結(jié)一下

求極限的一般題型

1

求分段函數(shù)的極限

當(dāng)函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，就很有可能是有分情況討論的了?。。。。。?！

當(dāng)X趨近無(wú)窮時(shí)候

存在e的x次方的時(shí)候

，

就要分情況討論

應(yīng)為E的x次方的函數(shù)正負(fù)無(wú)窮的結(jié)果是不一樣的?。。。。。。。?/p>

2極限中含有變上下限的積分

如何解決類？？？？

說(shuō)白了

就是說(shuō)函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號(hào)，這么個(gè)符號(hào)在極限中太麻煩了

你要想辦法把它搞掉?。。。。。。。。。。。。。?！

解決辦法：

1求導(dǎo)，邊上下限積分求導(dǎo)，

當(dāng)然就能得到結(jié)果了

這不是很容易么？

但是?。。。?！有2個(gè)問(wèn)題要注意！?。?！

問(wèn)題1

積分函數(shù)能否求導(dǎo)？

題目沒(méi)說(shuō)積分可以導(dǎo)的話，直接求導(dǎo)的話是錯(cuò)誤的?。。?！

問(wèn)題2

被積分函數(shù)中既含有T又含有x的情況下如何解決？？？？？？

解決1的方法：

就是方法2

微分中值定理?。。。。。。。。?！

微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系！

更重要的是他能去掉積分符號(hào)?。。。。?！

解決2的方法：當(dāng)x與t的函數(shù)是相互乘的關(guān)系的話，

把x看做常數(shù)提出來(lái)

，再求導(dǎo)數(shù)?。。。。。?/p>

當(dāng)x與t是除的關(guān)系

或者是加減的關(guān)系

，

就要換元了?。。。。。。。。。〒Q元的時(shí)候積分上下限也要變化?。。。。?/p>

3求的是數(shù)列極限的問(wèn)題時(shí)候

夾逼或者分項(xiàng)求和定積分

都不可以的時(shí)候

就考慮x趨近的時(shí)候函數(shù)值，

數(shù)列極限也滿足這個(gè)極限的

當(dāng)所求的極限是遞推數(shù)列的時(shí)候

首先：判斷數(shù)列極限存在極限的方法

是用的單調(diào)有界的定理

。判斷單調(diào)性不能用導(dǎo)數(shù)定義?。。?/p>

應(yīng)為是離散的

只能用

前后項(xiàng)的比較

（前后項(xiàng)相除相減），數(shù)列極限是否有界

可以使用歸納法

最后對(duì)xn與xn+1兩邊同時(shí)求極限，就能出結(jié)果了?。。。。?！

4涉及到極限已經(jīng)出來(lái)了

讓你求未知數(shù)和位置函數(shù)的問(wèn)題

解決辦法：主要還是運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小

或者是同階無(wú)窮小。應(yīng)為

例如

當(dāng)x趨近0時(shí)候

f（x）比x=3

的函數(shù)

，分子必須是無(wú)窮小

否則極限為無(wú)窮

還有落筆他

法則的應(yīng)用

，

主要是應(yīng)為

當(dāng)未知數(shù)有幾個(gè)時(shí)候，

使用

落筆他法則可以消掉模些未知數(shù)，求其他的未知數(shù)

5極限數(shù)列涉及到的證明題，

只知道是要構(gòu)造新的函數(shù)

但是不太會(huì)?。。。。。。。。。。。。。。。。。。?/p>

:o

最后總結(jié)一下間斷點(diǎn)

的

題型

首先遇見(jiàn)間斷點(diǎn)的問(wèn)題連續(xù)性的問(wèn)題

復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題，在莫個(gè)點(diǎn)是否可導(dǎo)的問(wèn)題。

主要解決辦法是3

個(gè)

一個(gè)是

畫圖，

你能畫出反例來(lái)

當(dāng)然不可以了

你實(shí)在畫不出反例，

就有可能是對(duì)的，

尤其是那些考概念的題目，

難度不小，

對(duì)我而言證明很難的！我就畫圖??！我要能畫出來(lái)當(dāng)然是對(duì)的，在這里就要很好的理解一階導(dǎo)的性質(zhì)

2階導(dǎo)的性質(zhì)，函數(shù)圖形的凹凸性，

函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)的奇偶性在圖形中的反應(yīng)?。。。。。?！

（在這里尤其要注意分段函數(shù)?。。。。。。。?！

）（例如分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在還相等

但是卻不連續(xù)

這個(gè)性質(zhì)就比較特殊?。。?/p>

應(yīng)為一般的函數(shù)都是連續(xù)的）

方法2

就是舉出反例?。ㄔ谶@里也是尤其要注意分段函數(shù)！?。。。。。。。。。?/p>

例如一個(gè)函數(shù)是個(gè)離散函數(shù)

還有個(gè)也是離散函數(shù)

他們的復(fù)合函數(shù)是否一定是離散的類？？

答案是NO

舉個(gè)反例就可以了

方法3

上面的都不行那就只好用定義了

主要是寫出公式，

連續(xù)性的公式

求在抹一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的公式

:o

最后了

總結(jié)一下函數(shù)在抹一點(diǎn)是否可導(dǎo)的問(wèn)題

1首先函數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo)，分段函數(shù)x絕對(duì)值函數(shù)在（0，0）不可導(dǎo)，

我的理解就是：不可導(dǎo)=在這點(diǎn)上圖形不光滑。

可導(dǎo)一定連續(xù)，應(yīng)為他有個(gè)前提，在點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)有定義，

假如沒(méi)有這個(gè)前提，分段函數(shù)左右的導(dǎo)數(shù)也能相等

1

主要考點(diǎn)1

函數(shù)在抹一點(diǎn)可導(dǎo)，他的絕對(duì)值函數(shù)

在這點(diǎn)是否可導(dǎo)？

解決辦法：

記住函數(shù)絕對(duì)值的導(dǎo)數(shù)等于

f（x）除以（絕對(duì)值（f（x）））

再乘以F（x）的導(dǎo)數(shù)。

所以判斷絕對(duì)值函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)，首先判斷函數(shù)等于0的點(diǎn)，

找出這些點(diǎn)之后，

這個(gè)導(dǎo)數(shù)并不是百分百不存在，原因很簡(jiǎn)單

分母是無(wú)窮小，假如分子式無(wú)窮小的話，絕對(duì)值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)依然存在啊，

所以還要找出f（a）導(dǎo)數(shù)的值，不為0的時(shí)候，絕對(duì)值函數(shù)在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是無(wú)窮

，所以絕對(duì)值函數(shù)在這些點(diǎn)上是不可導(dǎo)的啊

考點(diǎn)2

處處可導(dǎo)的函數(shù)與在抹一些點(diǎn)不可以導(dǎo)但是連續(xù)的