-2024學(xué)年安徽省五市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷2024年1月試卷滿(mǎn)分：150分考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)．2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清晰．3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效．4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．直線(xiàn)的傾斜角為（

）A．45° B．60° C．135° D．150°2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，若向量與向量共線(xiàn)，則的值為（

）A．0 B． C．1 D．3．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，則（

）A．10 B．8 C．6 D．44．如圖，三棱柱中，，，，點(diǎn)為四邊形的中心點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．5．已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（

）A．， B．，C．， D．，6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，滿(mǎn)足，則（

）A．45 B．50 C．55 D．607．已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足為.若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．58．已知函數(shù)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．673 B．747 C．769 D．821二、選擇題：共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)向量的坐標(biāo)為B．若，則C．若，則D．若且，則，10．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若橢圓的離心率為，則C．當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)被橢圓所截得的弦長(zhǎng)的最小值為D．若直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，，則11．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，現(xiàn)將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列可以得到新數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為12．點(diǎn)，為圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)，且為圓的直徑時(shí)，面積的最大值為3B．從點(diǎn)向圓引兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，的最小值為C．，為圓上的任意兩點(diǎn)，在直線(xiàn)上存在一點(diǎn)，使得D．當(dāng)，時(shí)，的最大值為三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．13．已知直線(xiàn)，，則直線(xiàn)，之間距離的最大值為．14．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)被圓：所截得的弦長(zhǎng)的最小值為．15．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為4，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)在第一象限上的點(diǎn)，記直線(xiàn)、的斜率分別為、，且，若的面積為，記直線(xiàn)、的斜率分別為、，則．16．已知拋物線(xiàn)，過(guò)該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為時(shí)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為．四、解答題：共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)．(1)若直線(xiàn)在軸上的截距是在軸上的截距的3倍，求直線(xiàn)的方程；(2)若直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線(xiàn)的方程．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．如圖，三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，．(1)證明：；(2)若，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的余弦值．20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到距離的最大值為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)的兩條不同的直線(xiàn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)，與橢圓在軸上方分別交于、兩點(diǎn)．直線(xiàn)是否過(guò)軸上一定點(diǎn)？若過(guò)，求出此定點(diǎn)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，滿(mǎn)足．(1)求，和；(2)證明：．22．已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，點(diǎn)為曲線(xiàn)上一點(diǎn)且在軸右側(cè)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)，的傾斜角分別為．(1)求曲線(xiàn)的方程；(2)求的值．1．C【分析】根據(jù)直線(xiàn)的方程，算出直線(xiàn)的斜率，利用即可算出所求的傾斜角大小．【詳解】根據(jù)題意：，所以該直線(xiàn)的斜率為，設(shè)該直線(xiàn)的傾斜角為，且，可得．故選：C2．B【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系直接求解可得.【詳解】根據(jù)題意：，，與共線(xiàn)，所以，可得，．故選：B3．D【分析】根據(jù)條件，利用等差數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，即，所以，故選：D.4．A【分析】根據(jù)條件，利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，又，所以，故選：A.5．B【分析】由漸近線(xiàn)、的關(guān)系以及焦點(diǎn)的概念即可求解.【詳解】已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，對(duì)照，可得，所以，所以該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．故選：B.6．D【分析】根據(jù)可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義可知是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出即可求解.【詳解】根據(jù)題意：，兩式作差可得，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故選：D．7．B【分析】先運(yùn)用中位線(xiàn)定理，將轉(zhuǎn)化得到兩點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離和，再用拋物線(xiàn)的定義得到的值.【詳解】根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)分別向該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為，所以，所以，設(shè)，，根據(jù)定義可得，聯(lián)立，．故選：B.8．A【分析】用特殊值法，根據(jù)對(duì)數(shù)得運(yùn)算對(duì)進(jìn)行分類(lèi)，從而求出前100項(xiàng)的和.【詳解】根據(jù)題意分析可得：，，，，，，，，，所以．故選：A9．AC【分析】根據(jù)向量的對(duì)稱(chēng)可判斷A;根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷B;根據(jù)空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示可判斷C;結(jié)合題意聯(lián)立，,計(jì)算即可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:根據(jù)題意可知向量關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)向量的坐標(biāo)為,故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B:若，則，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C:若，則，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:若且，或，故D錯(cuò)誤．故選：AC.10．ABD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，易得等腰直角三角形,則，即得；對(duì)于B項(xiàng)，由離心率公式和易得；對(duì)于C項(xiàng)，由橢圓中過(guò)焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)即通徑，易得；對(duì)于D項(xiàng)，利用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程計(jì)算即得.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若，因,可得，則，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由可解得：，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，時(shí)，橢圓，因過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)被橢圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為通徑長(zhǎng)，即，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，如圖，因?yàn)?，，設(shè)點(diǎn)，由可得，解得：，代入橢圓中，可得，即，解得：，故D項(xiàng)正確．故選：ABD.11．ACD【分析】根據(jù)題設(shè)條件求出數(shù)列的公差，易得通項(xiàng)和前項(xiàng)和，易于判斷A,B兩項(xiàng)；對(duì)于新數(shù)列，可以通過(guò)項(xiàng)的列舉找到公共項(xiàng)，易得其通項(xiàng)，判斷C項(xiàng)；對(duì)于D項(xiàng)，因數(shù)列的通項(xiàng)易于裂項(xiàng)，故運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和即得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，由解得：，故，，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；將數(shù)列列舉出來(lái)為：數(shù)列列舉出來(lái)為：故共同項(xiàng)依次有：,即，故，則，C項(xiàng)正確；因，其前10項(xiàng)和為．故D項(xiàng)正確.故選：ACD.12．ABD【分析】利用圓的性質(zhì)及三角形面積公式計(jì)算可判定A；利用切線(xiàn)性質(zhì)及余弦函數(shù)的單調(diào)性可判定B；由B項(xiàng)可判定C項(xiàng)；根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式確定中點(diǎn)軌跡，結(jié)合平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算及圓的特征可判定D.【詳解】對(duì)A：當(dāng)，為直徑時(shí)，（其中為點(diǎn)的縱坐標(biāo)），所以當(dāng)點(diǎn)為或時(shí)，三角形的面積最大，，所以A正確；對(duì)B：設(shè)，交與點(diǎn)，由圓的切線(xiàn)性質(zhì)，則，所以，越大，越小，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，最大，此時(shí)，，，即，B正確；對(duì)C：當(dāng)點(diǎn)在處，且，為切線(xiàn)時(shí)，最大，此時(shí)，即，，所以不存在符合的點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)D：設(shè)的中點(diǎn)，則，，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，，設(shè)小圓半徑為，則，則的最大值為，D正確．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：選項(xiàng)D中根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式求出點(diǎn)D軌跡為圓，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓外一定點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)距離的最大值.13．【分析】根據(jù)題意可知：兩直線(xiàn)平行，且均過(guò)定點(diǎn)，分析可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：直線(xiàn)的斜率為，過(guò)定點(diǎn)；直線(xiàn)的斜率為，過(guò)定點(diǎn)；可知，所以?xún)芍本€(xiàn)之間距離的最大值為．故答案為：.14．【分析】首先分類(lèi)討論得圓心到直線(xiàn)的距離最大值，結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，判斷可知點(diǎn)在圓內(nèi)，而圓，若直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)，圓心到直線(xiàn)的距離為，所以，若，則，若，則，解得或，直線(xiàn)斜率存在時(shí)，，此時(shí)，若直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，即，圓心到直線(xiàn)的距離為，綜上所述，圓心到直線(xiàn)的距離最大值為，所以所截的弦長(zhǎng)的最小值為．故答案為：.15．【分析】首先聯(lián)立，由韋達(dá)定理結(jié)合得，進(jìn)一步得雙曲線(xiàn)方程，由的面積為得坐標(biāo)，由斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)，，，根據(jù)題意，可得，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，，所以，所以，又，可得，，所以雙曲線(xiàn)，的面積為，可得，代入雙曲線(xiàn)的方程可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以．故答案為：.16．【分析】結(jié)合題意求出,設(shè)直線(xiàn)，結(jié)合韋達(dá)定理表示出面積，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】如圖所示，分別過(guò)向準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為、，過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為時(shí)，結(jié)合題意易得，所以，即，設(shè)，，滿(mǎn)足，，設(shè)直線(xiàn)，代入拋物線(xiàn)方程，可得，，所以，當(dāng)時(shí)，三角形面積取最小值，此時(shí)最小值為．故答案為：．17．(1)或(2)【分析】（1）分直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)，利用截距式直線(xiàn)方程解題即可；（2）利用點(diǎn)斜式直線(xiàn)方程以及基本不等式解題即可.【詳解】（1）根據(jù)題意：直線(xiàn)在軸上的截距是在軸上的截距的3倍，當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)為，將代入可得，所以直線(xiàn)的方程為；當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為即．綜上，直線(xiàn)的方程為或；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，（舍），所以直線(xiàn)的方程為即．18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系易得，需要檢驗(yàn)首項(xiàng)是否符合；（2）利用錯(cuò)位相減法求“差比數(shù)列”的前項(xiàng)和即得.【詳解】（1）根據(jù)題意：，當(dāng)時(shí)，，兩式相減即得：，因時(shí)，，滿(mǎn)足上式，故；（2），則，，兩式相減可得：，故．19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，證明平面即得；（2）先證明平面，建系后，求出相關(guān)點(diǎn)和空間向量的坐標(biāo)，計(jì)算出兩平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，又平面，可得平面，又平面，所以.（2）因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，由可得：，又，平面，所以平面，如圖，以分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，因，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，，則，又，，設(shè)平面的法向量，則取，得，，則.設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面的夾角的余弦值為．20．(1)(2)是，【分析】（1）根據(jù)題意列出的關(guān)系式運(yùn)算得解；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為與橢圓方程聯(lián)立得根與系數(shù)關(guān)系，由對(duì)稱(chēng)性可知：，直線(xiàn)的方程為，設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，利用坐標(biāo)化代入根與系數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)求得的值得解.【詳解】（1）根據(jù)題意，，，解得，，又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）根據(jù)題意可得：設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為，，可得：，由對(duì)稱(chēng)性可知：，直線(xiàn)的方程為，設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，所以，可得：，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．21．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意計(jì)算出，將條件中的變?yōu)?，然后化?jiǎn)可得是等比數(shù)列，計(jì)算可得；（2）由（1）可得，采用放縮法可得，根據(jù)數(shù)列求和公式計(jì)算即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵數(shù)列的前項(xiàng)積為，滿(mǎn)足，∴時(shí)，，化為，變形為，時(shí)，，數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，∴，時(shí)，亦滿(mǎn)足上式，即；（2）先證明左邊：即證明，，又由，解得，又，所以，再證明右邊：，∴．22．(1)(2)【分析】（1）由雙曲線(xiàn)定義即可求