專(zhuān)題06四點(diǎn)共圓（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）1．（2023秋?渝北區(qū)期末）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的外角∠ABE為80°，則∠ADC度數(shù)為（）A．80° B．40° C．100° D．160°2．（2023秋?濱湖區(qū)期中）如圖，AB＝AD＝6，∠A＝60°，點(diǎn)C在∠DAB內(nèi)部且∠C＝120°，則CB+CD的最大值（）A．4 B．8 C．10 D．63．（2022?靖江市二模）如圖，AB⊥BC，AB＝5，點(diǎn)E、F分別是線(xiàn)段AB、射線(xiàn)BC上的動(dòng)點(diǎn)，以EF為斜邊向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，連接AD，則AD的最小值為．4．如圖，△ABC和△BCD均為直角三角形，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝2，連接AD．若∠ADB＝30°，則AC的長(zhǎng)為．5．如圖，在四邊形ABCD中，BD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，則四邊形ABCD面積的最大值為．6．如圖，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，則AD的最大值為．7．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝90°，連接EF，則∠DEF的度數(shù)為．8．（2022秋?蕭山區(qū)月考）如圖，以C為公共頂點(diǎn)的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上，則∠ABE＝30°，若AC＝10，CD＝9，則BE＝．9．（2023秋?寬城區(qū)期末）【問(wèn)題原型】如圖①，在⊙O中，弦BC所對(duì)的圓心角∠BOC＝90°，點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)B、C重合），連結(jié)AB、AC．（1）在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠A的度數(shù)是否發(fā)生變化？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．【問(wèn)題拓展】如圖②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，則線(xiàn)段MN的最大值為．10．（2022秋?儀征市期中）【問(wèn)題提出】蘇科版九年級(jí)（上冊(cè)）教材在探究圓內(nèi)接四邊形對(duì)角的數(shù)量關(guān)系時(shí)提出了兩個(gè)問(wèn)題：1．如圖（1），在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，BD是⊙O的直徑．∠A與∠C、∠ABC與∠ADC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？2．如圖（2），若圓心O不在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)上，問(wèn)題（1）中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？（1）小明發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1中的∠A與∠C、∠ABC與∠ADC都滿(mǎn)足互補(bǔ)關(guān)系，請(qǐng)幫助他完善問(wèn)題1的證明：∵BD是⊙O的直徑，∴，∴∠A+∠C＝180°，∵四邊形內(nèi)角和等于360°，∴．（2）請(qǐng)回答問(wèn)題2，并說(shuō)明理由；【深入探究】如圖（3），⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD恰有一個(gè)內(nèi)切圓⊙I，切點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F、G、H，連接GH，EF．（3）直接寫(xiě)出四邊形ABCD邊滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系；（4）探究EF、GH滿(mǎn)足的位置關(guān)系；（5）如圖（4），若∠C＝90°，BC＝3，CD＝2，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中陰影部分的面積．10．（2022?遵義）綜合與實(shí)踐“善思”小組開(kāi)展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問(wèn)題：如圖1，在線(xiàn)段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上反思?xì)w納：（1）上述探究過(guò)程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：；依據(jù)2：．（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為．拓展探究：（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接AE，DE．①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；②若AB＝2，AD?AF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，CE＝BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，F(xiàn)E的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，連接DE．（1）求證：FG是⊙O的切線(xiàn)；（2）求證：EG2＝AG?BG；（3）若BG＝1，EG＝，求sin∠CDE的值．專(zhuān)題06四點(diǎn)共圓（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）1．（2023秋?渝北區(qū)期末）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的外角∠ABE為80°，則∠ADC度數(shù)為（）A．80° B．40° C．100° D．160°【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABE＝80°，故選：A．2．（2023秋?濱湖區(qū)期中）如圖，AB＝AD＝6，∠A＝60°，點(diǎn)C在∠DAB內(nèi)部且∠C＝120°，則CB+CD的最大值（）A．4 B．8 C．10 D．6【答案】A【解答】解：如圖，連接AC，BD，在AC上取點(diǎn)M使DM＝DC，∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴A，B，C，D，四點(diǎn)共圓，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴∠ABD＝∠ACD＝60°，∵DM＝DC，∴△DMC是等邊三角形，∴∠ADB＝∠ACD＝60°，∴∠ADM＝∠BDC，∵AD＝BD，∴△ADM≌△BDC（SAS），∴AM＝BC，∴AC＝AM+MC＝BC+CD，∵四邊形ABCD的周長(zhǎng)為AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，且AD＝AB＝6，∴當(dāng)AC最大時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大，則CB+CD最大，此時(shí)C點(diǎn)在的中點(diǎn)處，∴∠CAB＝30°，∴AC的最大值＝AB×cos30°＝4，∴CB+CD最大值為AC＝4，故選：A．3．（2022?靖江市二模）如圖，AB⊥BC，AB＝5，點(diǎn)E、F分別是線(xiàn)段AB、射線(xiàn)BC上的動(dòng)點(diǎn)，以EF為斜邊向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，連接AD，則AD的最小值為．【答案】【解答】解：連接BD并延長(zhǎng)，如圖，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∠EDF＝90°，∴∠ABC+∠EDF＝180°，∴B，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∵△DEF為等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∴∠DBF＝∠DEF＝45°，∴∠DBF＝∠DBE＝45°，∴點(diǎn)D的軌跡為∠ABC的平分線(xiàn)上，∵垂線(xiàn)段最短，∴當(dāng)AD⊥BD時(shí)，AD取最小值，∴AD的最小值為AB＝，故答案為：．4．如圖，△ABC和△BCD均為直角三角形，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝2，連接AD．若∠ADB＝30°，則AC的長(zhǎng)為．【答案】【解答】解：∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∵∠ADB＝30°，AB＝2，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，∴BC＝2AB＝4，∴AC＝．故答案為：．5．如圖，在四邊形ABCD中，BD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，則四邊形ABCD面積的最大值為．【答案】18【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A，C兩點(diǎn)在以BD為直徑的圓上，∴當(dāng)AB＝AD，CB＝CD時(shí)，四邊形ABCD面積最大，∵BD＝6，∴AB＝AD＝CB＝CD＝3，∴四邊形BCD的面積為3××＝18．故答案為：18．6．如圖，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，則AD的最大值為．【答案】6【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝45°，∴A，C，D，B四點(diǎn)共圓，如圖，作⊙O經(jīng)過(guò)A，C，D，B四點(diǎn)，當(dāng)AD（D′）為直徑時(shí)，AD有最大值，∵∠ADC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OC，∴△AOC是等腰直角三角形，∵AC＝6，∴AO＝6×＝3，∴AD′＝2AO＝6，即AD的最大值為6．故答案為：6．7．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝90°，連接EF，則∠DEF的度數(shù)為．【答案】45°【解答】解：如圖，連接AD，∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，而∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF，而∠EDF＝90°，∴∠DEF＝∠DFE＝45°．故答案為：45°．8．（2022秋?蕭山區(qū)月考）如圖，以C為公共頂點(diǎn)的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上，則∠ABE＝30°，若AC＝10，CD＝9，則BE＝．【答案】【解答】解：∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，∴∠DBC＝∠DEC＝60°，∴B、C、D、E四點(diǎn)共圓，∴∠DBE＝∠DCE＝30°，∴∠ABE＝30°，設(shè)BC＝x，則AB＝2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，∵AC＝10，∴（2x）2＝102+x2，解得：x＝，∴BC＝，設(shè)DE＝a，則CE＝2a，在Rt△CED中，由勾股定理得CE2＝DE2+CD2，∵CD＝9，∴（2a）2＝a2+92，解得：a＝，∴DE＝，CE＝，∵∠ABC＝60°，∠ABE＝30°，∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，在Rt△CBE中，由勾股定理得＝．9．（2023秋?寬城區(qū)期末）【問(wèn)題原型】如圖①，在⊙O中，弦BC所對(duì)的圓心角∠BOC＝90°，點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)B、C重合），連結(jié)AB、AC．（1）在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠A的度數(shù)是否發(fā)生變化？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．【問(wèn)題拓展】如圖②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，則線(xiàn)段MN的最大值為．【解答】解：【問(wèn)題原型】（1）∠A的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下：∵，∠BOC＝90°，∴；（2）當(dāng)AC為⊙O的直徑時(shí)，AC最大，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，根據(jù)勾股定理，得OB2+OC2＝BC2，∵OB＝OC，∴，∴，即AC的最大值為；【問(wèn)題拓展】如圖，畫(huà)△ABC的外接圓⊙O，連接OB，OC，ON，則ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2，∴OB＝，∵M(jìn)、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線(xiàn)，∴MN＝AC，∴AC為直徑時(shí)，AC最大，此時(shí)AC＝2OB＝，∴MN最大值為，故答案為：．10．（2022秋?儀征市期中）【問(wèn)題提出】蘇科版九年級(jí)（上冊(cè)）教材在探究圓內(nèi)接四邊形對(duì)角的數(shù)量關(guān)系時(shí)提出了兩個(gè)問(wèn)題：1．如圖（1），在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，BD是⊙O的直徑．∠A與∠C、∠ABC與∠ADC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？2．如圖（2），若圓心O不在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)上，問(wèn)題（1）中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？（1）小明發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1中的∠A與∠C、∠ABC與∠ADC都滿(mǎn)足互補(bǔ)關(guān)系，請(qǐng)幫助他完善問(wèn)題1的證明：∵BD是⊙O的直徑，∴，∴∠A+∠C＝180°，∵四邊形內(nèi)角和等于360°，∴．（2）請(qǐng)回答問(wèn)題2，并說(shuō)明理由；【深入探究】如圖（3），⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD恰有一個(gè)內(nèi)切圓⊙I，切點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F、G、H，連接GH，EF．（3）直接寫(xiě)出四邊形ABCD邊滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系；（4）探究EF、GH滿(mǎn)足的位置關(guān)系；（5）如圖（4），若∠C＝90°，BC＝3，CD＝2，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中陰影部分的面積．【解答】解：【問(wèn)題提出】（1）∵BD是⊙O的直徑，∴∠A＝∠C＝90°，∴∠A+∠C＝180°，∵四邊形內(nèi)角和等于360°，∴∠ABC+∠ADC＝180°；故答案為：∠A＝∠C＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°；（2）成立，理由如下：連接AC、BD，∵∠DAC＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，∴∠DAC+∠ACD＝∠DBC+∠ABD＝∠ABC，∵∠DAC+∠ACD+∠ADC＝180°，∴∠ABC+∠ADC＝180°；同理，∠BAD+∠BCD＝180°；【深入探究】（3）AD+BC＝AB+CD，理由如下：連接AI、BI、CI、DI，∵圓I是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，∴AG＝AE，DE＝DH，CH＝CF，BF＝BG，∴AD+BC＝AE+ED+BF+CF＝AG+DH+BG+CH＝AB+CD，即AD+BC＝AB+CD，故答案為：AD+BC＝AB+CD；（4）EF⊥GH，理由如下：連接EH、IH、IG、IF、GF，∵四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠D＝180°，∵BG⊥IG，IF⊥BF，∴∠BGI＝∠IFB＝90°，∴∠B+∠GIF＝180°，∴∠GIF＝∠D，∵GI＝IF，∴∠GFI＝90°﹣∠GIF，∵ED＝DH，∴∠DEH＝90°﹣∠D，∴∠GFI＝∠DEH，∵＝，∴∠GFE＝∠GHE，∴∠GHE＝∠GFI+∠IFE，∵IF＝IE，∴∠IFE＝∠IEF，∴∠FEH+∠EHG＝∠FEH+∠IEF+∠DEH＝∠EID＝90°，∴EF⊥GH；（5）連接BD，∵∠C＝90°，∴∠A＝90°，∵ABCD是圓O的內(nèi)接圓，∴BD是圓O的直徑，連接IF、IH，∵I是四邊形ABCD的內(nèi)切圓圓心，∴∠ADI＝∠IDH，∠ABI＝∠FBI，∵IH⊥CD，IF⊥BC，∴∠BIF＝90°﹣∠IBF，∠DIH＝90°﹣∠IDH，∴∠BIF+∠DIH＝180°﹣（∠IBF+∠IDH）＝180°﹣（∠ADC+∠ABC），∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BIF+∠DIH＝90°，∵IF⊥FC，IH⊥CD，∠C＝90°，IH＝IF，∴四邊形IHCF是正方形，∴∠HIF＝90°，∴I點(diǎn)在BD上，∵BC＝3，CD＝2，∴S四邊形ABCD＝3×2＝6，∵∠DIH+∠IDH＝90°，∠IBF+∠IDH＝90°，∴∠DIH＝∠IBF，∵∠IHD＝∠IFB＝90°，∴△DHI∽△IFB，∴＝，即＝，解得IH＝，∴S⊙I＝π，∴陰影部分的面積＝6﹣π．10．（2022?遵義）綜合與實(shí)踐“善思”小組開(kāi)展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問(wèn)題：如圖1，在線(xiàn)段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上反思?xì)w納：（1）上述探究過(guò)程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：；依據(jù)2：．（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為．拓展探究：（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接AE，DE．①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；②若AB＝2，AD?AF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（1）解：依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；依據(jù)2：過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，故答案為：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；（2）解：∵∠1＝∠2，∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∴∠3＝∠4，∵∠3＝45°，∴∠4＝45°，故答案為：45°；（3）①證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)，∴AE＝AC，DE＝DC，∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，∴∠AED＝∠ACB，∴∠