2022年高考數(shù)學(xué)考前提分題

1.如圖，在長(zhǎng)方體NBCD-38cle1中，2AB=BC=AAi，點(diǎn)M為棱上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求三棱錐。與長(zhǎng)方體488-小囪CiOi的體積比；

(2)若M為棱Cid的中點(diǎn)，求直線與平面D4M/所成角的大小.

【分析】(1)設(shè)2AB=BC=AA\=2,直接求出三棱錐D-A\B\M與長(zhǎng)方體ABCD-

小歷CD的體積,然后相比即可；

(2)求出各棱長(zhǎng)，設(shè)81到平面043的距離為肌由等體積法可知八=孥，進(jìn)而得到

所求線面角.

【解答】解：不妨設(shè)2/8=8C=44i=2,

1I2

(1)丁力-AiBiM=wX)xlx2x2=w，匕BCo-ABiCMi=1x2x2=4,

2

.D-A-yB^M31

V46

ABCD-A1B1C1D1

???三棱錐。-4向M與長(zhǎng)方體45CD-4151clz>1的體積比為1：6；

(2)易知，04=V22+22=2VLDM=J22+(1)2=孚，DB1=V12+22+22=

3,=止2+(扔=字,

?應(yīng)…=|x2V2xJ(孚1一(煙2=空

13722

設(shè)與到平面D41M的距離為h,則由％―4逮加=/「DAiM，可得］X-^―h=

?,?.八2=/下2’

設(shè)直線DB\與平面所成角的大小為0,則sin。=儡=翠=等，

直線DB\與平面D41/W所成角的大小為arcs譏竽.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查常見幾何體體積以及線面角的求法，考查等體積法的運(yùn)用，考查邏輯

推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

2.如圖，在多面體/3CDEF中，平面■尸_L平面/5CD,底面N88為直角梯形，AD//

BC,ABLBC,AB=AD=3BC=2,與EE平行并且相等，AF=y[2BF=2A/2.

(1)證明：COJ_8/：

V3

(2)在線段CE上是否存在點(diǎn)〃，使得二面角F-BD-M的平面角余弦值為若存

在，求出絲的值；若不存在，說明理由.

【分析】(1)由勾股定理證明結(jié)合面面垂直的判定定理，即可得到8尸，平面

ABCD,進(jìn)一步證明CDLBF；

(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)cG=ack求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然

后利用待定系數(shù)法求出平面BDF和平面的法向量，由向量的夾角公式建立等式，

求解入即可.

【解答】解(1)證明：：43=2,BF=2,AF=2衣,

：.AB2+BF2=AF2,：.BFLAB,

又平面平面ABCD,平面ABEFC平面ABCD=AB,8尸u平面ABEF,

.?.8F_L平面ABCD,又CZ)u平面ABCD,

；.CDLBF；

(2)由(1)可知，8/口_平面/BCD,S.ABA.BC,

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，以B4BC,8F所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

則B(0,0,0),D(2,2,0),F(0,0,2),E(-2,0,2),C(0,4,0),

：.BD=(2,2,0),BF=(0,0,2),

設(shè)￡=(x,y,z)是平面8DF的法向量,

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