模型介紹模型介紹平面內一定的D和O上動點M的連線中，當連線過圓心O時，線段DM有最大值和最小值。分以下情況討論：（設OD=d，O的半徑為r）點D在O外時，d＞r，如圖：①當D、M、O三點共線時，線段DM出現最值，DM的最大值為d+r，DM的最小值為d-r;②當點D在O上時，d=r，如圖：當D、O、M三點共線時，線段DM有最值；DM最大值為d+r，DM最小值為d-r=0(即點D與點M重合）③當點D在O內時，d＜r，如圖當點D、O、M三點共線時，DM有最值；DM最大值為d+r，DM最小值為|d-r|=r-d;點圓最值：平面內一定點到圓上一點的距離的最值問題.方法：求出該定點到圓心的距離d，則最大值為d+r,最小值為|d-r|例題精講例題精講【例1】．如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝4，AD＝6．點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點．將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△GEF．則GC長的最小值是（）A． B． C．2 D．2變式訓練【變式1-1】.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠A＝45°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是．【變式1-2】．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D為圓心，3為半徑作⊙D，E為⊙D上一動點，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，則點F與點C的最小距離為．【例2】.如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于點D，AD＝5，P是半徑為3的⊙A上一動點，連結PC，若E是PC的中點，連結DE，則DE長的最大值為_______變式訓練【變式2-1】.如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，F是BD邊上的一個動點，連接AF，過點B作BE⊥AF于E，在點F變化的過程中，線段DE的最小值是．【變式2-2】．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在半圓的中點，且BC＝4cm，點D是上的一個動點，連接BD，過C點作CH⊥BD于H，連接AH，在點D的運動過程中，AH長度的最小值是．1．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點P是線段BC上一動點，點M為線段AP上一點，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為（）A． B． C．﹣ D．﹣22．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝3．若P為△ABC內一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP，則線段PB長度的最小值為（）A．1.5 B． C． D．23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，點D為線段AB的中點，將線段BC繞點B順時針旋轉90°，得到線段BE，連接DE，則DE最大值是．4．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F分別是邊DC，CB上的動點，且始終滿足DE＝CF，AE，DF交于點P，則∠APD的度數為；連接CP，線段CP的最小值為．5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊DC，DA上的動點，且DE：DF＝4：3，射線AE與BF相交于點M，若連接CM，則線段CM的最小值為．6．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝3，以B為圓心，半徑為1的弧交BC于M，E是線段CD上一動點，EG⊥AD，垂足為G，F是弧AM上一動點，則EG+EF的最小值為．7．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，點O是AB的中點，以BC為直角邊向外作等腰Rt△BCD，連接OD，當OD取最大值時，則∠ODB的度數是．8．如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E為正方形外一個動點，∠AED＝45°，P為AB中點，線段PE的最大值是．9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．（1）如圖①，點E是AB的中點，點F是BC邊上一點，將△BEF沿EF折疊，點B的對應點為點P，求CP的最小值；（2）如圖②，若點P是矩形ABCD內部一點，且∠BPC＝90°，求PD取得最小值時，BP的長；（3）如圖③，若點P是矩形ABCD內部一點，且∠PAD+∠PBC＝60°，求AP+BP的最大值.10．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，△AEF為等腰直角三角形，∠AEF＝90°，連接FC，G為FC的中點，連接GD，ED．（1）如圖①，當點E在AB邊上時，請直接寫出DE，DG的數量關系；（2）如圖②，將圖①中的△AEF繞點A逆時針旋轉，其他條件不變．①探究（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；②若AD＝4，AE＝1，求DG的最大值和最小值．11．（1）如圖1，A、B是?O上的兩個點，點P在?O上，且△APB是直角三角形，?O的半徑為1①請在圖1中畫出點P的位置；②當AB＝1時，∠APB＝°；（2）如圖2，?O的半徑為5，A、B為?O外固定兩點（O、A、B三點不在同一直線上），且OA＝9，P為⊙O上的一個動點（點P不在直線AB上），以PA和AB為作平行四邊形PABC，求BC的最小值并確定此時點P的位置；（3）如圖3，A、B是⊙O上的兩個點，過A點作射線AM⊥AB，AM交?O于點C，若AB＝3，AC＝4，點D是平面內的一個動點，且CD＝2，E為BD的中點，在D的運動過程中，求線段AE長度的最大值與最小值．12．【問題提出】（1）如圖①，四邊形ABCD為正方形，以BC邊為直徑在BC上方作半圓O，P是上一點，若AB＝6，則DP的最小值為；【問題探究】（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，CD是中線，將△ACD沿CD折疊，得到△ECD，點A的對應點為E，連接AE，求AE的長；【問題解決】（3）如圖③是一塊矩形ABCD的場地，AB＝300m，AD＝600m，D為場地的出人口，點E在AD邊上，且A