專題13.圓與正多邊形

一、單選題

1.（2021?四川成都市?中考真題）如圖，正六邊形A8CDEF的邊長(zhǎng)為6,以頂點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半

徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為（）

A.4乃B.6兀C.8%D.12兀

2.（2021?云南中考真題）如圖，等邊△MC的三個(gè)頂點(diǎn)都在0。上，AD是。。的直徑.若。4=3,則

劣弧B。的長(zhǎng)是（）

A.—B.萬(wàn)C.—D.2兀

22

3.（2021?廣西玉林市?中考真題）學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)后，小銘與小熹就討論起來(lái)，小銘說：“被直徑平分的弦也

與直徑垂直''，小熹說：“用反例就能說明這是假命題”.下列判斷正確的是（）

A.兩人說的都對(duì)B.小銘說的對(duì)，小燕說的反例不存在

C.兩人說的都不對(duì)D.小銘說的不對(duì)，小熹說的反例存在

4.（2021?青海中考真題）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交

于A,3兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，AB=16厘米.若從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出

海平面的時(shí)間為16分鐘，貝廣圖上”太陽(yáng)升起的速度為（）.

A.1.0厘米/分B.0.8厘米分C.12厘米/分D.1.4厘米/分

5.（2021?山東聊城市?中考真題）如圖，4,8,C是半徑為1的。。上的三個(gè)點(diǎn)，若AB=72，ZCAB=30a,

則NABC的度數(shù)為（)

A.95°B.100°C.105°D.110°

6.（2021?山東泰安市?中考真題）如圖,四邊形458是的內(nèi)接四邊形，4=9（）。，ZBCD=nO0,

AB=2，。。=1，則AD的長(zhǎng)為（）

7.（2021?四川廣元市?中考真題）如圖，從一塊直徑是2的圓形鐵片上剪出一個(gè)圓心角為90。的扇形，將剪

下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐.那么這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是（）

71V2

A.B.C.D.1

742

8.（2021?四川南充市?中考真題）如圖，是0。的直徑，弦于點(diǎn)E,CD=2OE,則/BCD

的度數(shù)為（）

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

9.（2021?四川廣元市?中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形A3CD中，AE是以BC為直徑的半圓的切線,

則圖中陰影部分的面積為（）

3+乃

A.-----B.兀一2

2

10.（2021?湖北荊州市?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，NO=60°,AB=2,以B為圓心、3。長(zhǎng)

為半徑畫AC，點(diǎn)P為菱形內(nèi)一點(diǎn)，連接Q4，PB,PC.當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，圖中陰影部

分的面積為（）

A.耳WB.2萬(wàn)—包C.2〃D.2%—以

32322

11.（2021?浙江衢州市?中考真題）已知扇形的半徑為6,圓心角為150°.則它的面積是（）

3

A.—nB.3兀C.57D.157

2

12.（2021?江蘇連云港市?中考真題）如圖，正方形ABCO內(nèi)接于0。，線段MN在對(duì)角線8D上運(yùn)動(dòng)，若

0。的面積為2兀，MN=1,則AAMN周長(zhǎng)的最小值是（）

13.（2021?湖南懷化市?中考真題）以下說法錯(cuò)誤的是（）

A.多邊形的內(nèi)角大于任何一個(gè)外角B.任意多邊形的外角和是360°

C.正六邊形是中心對(duì)稱圖形D.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)

14.（2021?四川廣安市?中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)半徑為18米的圓形草坪，從A地走到5地有觀賞路

（劣弧A3）和便民路（線段AB）.已知A、5是圓上的點(diǎn)，。為圓心，403=120。，小強(qiáng)從A走到8,

走便民路比走觀賞路少走（）米.

A.6?！?下）B.6萬(wàn)一9gC.12萬(wàn)一96D.127一18百

15.（2021?重慶中考真題）如圖，AB是。。的直徑，AC,BC是。O的弦，若NA=20°,則D8的度數(shù)為

16.（2021?四川瀘州市?中考真題）如圖，。。的直徑AB=8,AM,BN是它的兩條切線，OE與。O相切于

點(diǎn)、E,并與AM,8N分別相交于。，C兩點(diǎn)，BD,0c相交于點(diǎn)凡若C￡>=10,則8尸的長(zhǎng)是

A8V17dlog871561OV15

9999

17.（2021?四川遂寧市?中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。分別與8C,AC交于點(diǎn)

D,E,過點(diǎn)。作DFJMC,垂足為點(diǎn)凡若。。的半徑為4百，NCDF=15。,則陰影部分的面積為（）

18.（2021?浙江中考真題）如圖，已知點(diǎn)。是5c的外心，NA=4（）°,連結(jié)30,CO,則ZBOC的

度數(shù)是（）.

A.60°B.70°C.80°D.90°

19.（2021?浙江麗水市?中考真題）如圖，AB是0。的直徑，弦CD_LQ4于點(diǎn)E,連結(jié)OC,OO.若。。

的半徑為加,NAQD=Nc,則下列結(jié)論一定成立的是（）

2

A.OE=mtanaB.CD=2msinaC.AE=mcosaD.S^COD=m-sina

A.80°B.100°C.110°D.120°

21.（2021?浙江金華市?中考真題）如圖，在中，ZACB=90°,以該三角形的三條邊為邊向形外

S,

作正方形，正方形的頂點(diǎn)E,￡G,4,M,N都在同一個(gè)圓上.記該圓面積為號(hào)，AMC面積為S2,則在

的值是（)

5%1\7t

A.一B.3兀C.57D.——

22

22.（2021?山東泰安市?中考真題）如圖，在AABC中，AB=6,以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓與邊BC相

切于點(diǎn)。，與AC,AB分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)G,點(diǎn)廠是優(yōu)弧GE上一點(diǎn)，ZCDE=18°,則/GFE的度數(shù)是

()

23.（2021?浙江紹興市?中考真題）如圖，正方形4BCD內(nèi)接于。。，點(diǎn)P在A3上，則NP的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

24.（2021?四川涼山彝族自治州?中考真題）點(diǎn)P是。。內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)尸的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)為10cm,最短弦的

長(zhǎng)為6cm,則OP的長(zhǎng)為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

25.（2021?浙江嘉興市?中考真題）已知平面內(nèi)有和點(diǎn)A,B,若。。半徑為2cm,線段。4=3cm,

08=2cm,則直線AB與0。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

26.（2021?四川瀘州市?中考真題）在銳角△ABC中，NA,NB,NC所對(duì)的邊分別為“，b,c,有以下結(jié)

論：，一=——=’一=2H（其中R為"BC的外接圓半徑）成立.在“BC中，若乙4=75。，NB=45。，

sinAsinBsinC

c=4,則△ABC的外接圓面積為（）

16冗64萬(wàn),,,,

A.-----B.-----C.16乃D.647r

33

27.（2（）21?四川自貢市?中考真題）如圖,48為。。的直徑,弦。。，鈣于點(diǎn)下,?！阓1_4。于點(diǎn)￡,若。七=3,

。8=5,則8的長(zhǎng)度是（）

A.9.6B.475C.573D.19

28.（2020?廣西貴港市?中考真題）如圖，動(dòng)點(diǎn)M在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)，且P是CD

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是AZ）邊的中點(diǎn)，則線段PE+RW的最小值為（）

29.（2020?四川廣安市?中考真題）如圖，點(diǎn)A,B,C,D四點(diǎn)均在圓O上，ZAOD=68°,AO//DC,則NB

的度數(shù)為（）

A.40°B.60°C.56°D.68°

30.（2019?廣西玉林市?中考真題）如圖，在RtA鉆C中，NC=90°，AC=4,BC=3,點(diǎn)O是AB的三

等分點(diǎn)，半圓。與AC相切，M,N分別是BC與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值和最大值之和是（）

A.5B.6C.7D.8

二、填空題

31.（2021?青海中考真題）點(diǎn)p是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)p到。。上的點(diǎn)的最小距離是4cm,最大距離是9m,

則。。的半徑是.

32.（2021?北京中考真題）如圖，PAP8是。。的切線，A,8是切點(diǎn).若NP=50°,則NA03=

33.（2021?山東聊城市?中考真題）用一塊弧長(zhǎng)16兀cm的扇形鐵片，做一個(gè)高為6cm的圓錐形工件側(cè)面（接

縫忽略不計(jì)），那么這個(gè)扇形鐵片的面積為cm2

34.（2021?四川廣元市?中考真題）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格圖中，已知點(diǎn)A、B、C、D、O均在格點(diǎn)上，

其中A、B、。又在0。上，點(diǎn)E是線段。。與0。的交點(diǎn).則NBA石的正切值為.

35.（2021?四川資陽(yáng)市?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，A8=2cm,AO=Gem，以點(diǎn)B為圓心，AB

長(zhǎng)為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)、E,則圖中陰影部分的面積為cm2.

36.（2021?江蘇宿遷市?中考真題）如圖，在R3ABC中,ZABC=90°,NA=32°,點(diǎn)B、C在。。上,邊AB、

AC分別交。。于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)8是的中點(diǎn)，則NABE=

37.（2021?江蘇宿遷市?中考真題）己知圓錐的底面圓半徑為4,側(cè)面展開圖扇形的圓心角為120。，則它的

側(cè)面展開圖面積為.

38.（2021?江蘇南京市?中考真題）如圖，AB是的弦，C是A3的中點(diǎn)，0c交于點(diǎn)。.若

AB=8cm,CD=2cm,則0。的半徑為cm.

39.（2021?湖北隨州市?中考真題）如圖，。。是AA5c的外接圓，連接A。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)。，若

NC=50°,則/明。的度數(shù)為

40.（2021?湖南中考真題）如圖，方老師用一張半徑為18cm的扇形紙板，做了一個(gè)圓錐形帽子（接縫忽略

不計(jì)）.如果圓錐形帽子的半徑是10cm,那么這張扇形紙板的面積是cn?（結(jié)果用含萬(wàn)的式子表示）.

41.（20如四川成都市?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=旦x+正與0。相交于A,

33

3兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，則弦A8的長(zhǎng)為.

42.（2021?重慶中考真題）如圖，矩形ABCZ）的對(duì)角線AC,交于點(diǎn)。，分別以點(diǎn)A,C為圓心，A。長(zhǎng)

為半徑畫弧，分別交AB,CD于點(diǎn)E,F.若BD=4,NC4B=36。，則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)

果保留%）.

43.（2021?浙江寧波市?中考真題）抖空竹在我國(guó)有著悠久的歷史，是國(guó)家級(jí)的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.如示

意圖，AC,B0分別與0。相切于點(diǎn)C,D,延長(zhǎng)AC,8。交于點(diǎn)P.若NP=120。，。。的半徑為6cm,

則圖中CO的長(zhǎng)為cm.（結(jié)果保留萬(wàn)）

44.（2021?山東泰安市?中考真題）若AABC為直角三角形，AC=BC=4,以8C為直徑畫半圓如圖所示,

則陰影部分的面積為.

45.（2021?江蘇連云港市?中考真題）如圖，OA、OB是。。的半徑，點(diǎn)C在。。上，4403=30。，

NOBC=4（）°,則NQ4C=

46.（2021?浙江溫州市?中考真題）如圖，與AOAB的邊相切，切點(diǎn)為B.將AQAB繞點(diǎn)3按順時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)得到△O'AB'，使點(diǎn)。'落在。。上，邊A3交線段AO于點(diǎn)C.若NA'=25。，則NOCB=

度.

47.（2021?甘肅武威市?中考真題）如圖，從一塊直徑為4dm的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，

則此扇形的面積為dm2.

48.（2021?四川涼山彝族自治州?中考真題）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,?C的半徑為6,P為

AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作。C的切線尸。，切點(diǎn)為Q,則PQ的最小值為.

49.（2021?四川涼山彝族自治州?中考真題）如圖，將△A5C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'3'C.已知

AC=3,5C=2,則線段48掃過的圖形（陰影部分）的面積為.

50.（2021?重慶中考真題）如圖，在菱形A8CO中，對(duì)角線AC=12,BD=16,分別以點(diǎn)A,B,C,D

為圓心，,A3的長(zhǎng)為半徑畫弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留萬(wàn)）

2

51.（2021?湖南常德市?中考真題）如圖，四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，若/BOD=80。，則NBCD的

度數(shù)是.

52.（2020?貴州黔西南布依族苗族自治州?中考真題）如圖，在AABC中，CA=CB,NACB=90。，AB=2,

點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心作圓心角為90。的扇形。EF,點(diǎn)C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積

為.

53.（2020?廣西中考真題）如圖，在Rt^ABC?中，4B=AC=4,點(diǎn)E,尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是

扇形AEF的夕？上任意一點(diǎn)，連接BP,CP,則3BP+CP的最小值是.

54.（2020?江蘇鹽城市?中考真題）如圖，在。。中，點(diǎn)A在上，=100°,則N84C=。

O\

'B

三、解答題

55.（2021?甘肅武威市?中考真題）如圖，AABC內(nèi)接于是00的直徑A3的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

ZDCB=ZOAC.過圓心。作的平行線交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）求證：CO是。。的切線；（2）

若C0=4,CE=6,求。。的半徑及tanNOCB的值；

BD

56.（2021?四川資陽(yáng)市?中考真題）如圖，在AABC中，AB^AC,以AB為直徑的。。交于點(diǎn)。，

3

DE，AC交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸.（1）求證：是。。的切線；（2）若AC=6,tanE=—,

求AF的長(zhǎng).

57.（2021?四川涼山彝族自治州?中考真題）如圖，在RhABC中，NC=90°,AE平分㈤C交BC于點(diǎn)

E,點(diǎn)。在AB上，DE是用"OE的外接圓，交AC于點(diǎn)F.（1）求證：8c是0。的切

線；（2）若。。的半徑為5,AC=S,求

'D

ER

58.（2021?四川瀘州市?中考真題）如圖，AABC是。。的內(nèi)接三角形，過點(diǎn)C作。。的切線交84的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)F,4E是。O的直徑，連接EC,（1）求證：NACF=NB；（2）若AB=BC,ADLBC于點(diǎn)。，

FC=4,E4=2,求AT>.AE的值

59.（2021?江蘇連云港市?中考真題）如圖，R/AABC中，NA8C=90°,以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑作

。為OC上一點(diǎn)，連接A。、CD,AB=AD，AC平分

（1）求證：A。是。。的切線；（2）延長(zhǎng)A。、BC相交于點(diǎn)E,若S.EDC=2S.ABC，求tan/B4c的值.

60.（2021?云南中考真題）如圖，AB是0。的直徑，點(diǎn)C是0。上異于4、8的點(diǎn)，連接AC、BC,點(diǎn)

。在84的延長(zhǎng)線上，且NOC4=NA3C,點(diǎn)E在。。的延長(zhǎng)線上，且3E_L￡>C.

（1）求證：DC是。0的切線：（2）若J=—,BE=3,求ZM的長(zhǎng).

OD3

61.（2021?四川南充市?中考真題）如圖,A,B是O。上兩點(diǎn)，且A3=。4,連接08并延長(zhǎng)到點(diǎn)C,使BC=03,

連接AC.（1）求證：4c是。。的切線.（2）點(diǎn)力，E分別是AC,OA的中點(diǎn)，力E所在直線交0。于點(diǎn)凡

G,。4=4,求GF的長(zhǎng).

62.（2021?浙江金華市?中考真題）在扇形4OB中，半徑。4=6,點(diǎn)尸在。4上，連結(jié)PB,將屋如「沿

P8折疊得到AO'BP.（1）如圖1,若NO=75°,且BO'與AB所在的圓相切于點(diǎn)艮①求NAP。的度

數(shù).②求4P的長(zhǎng).（2）如圖2,30'與AB相交于點(diǎn)。，若點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，PD//OB,求的長(zhǎng).

圖1圖2

63.(2021?四川廣元市?中考真題)如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,A。是44C的平分線，以AO

為直徑的。。交A3邊于點(diǎn)E,連接CE，過點(diǎn)。作//CE,交A3于點(diǎn)E

3

(1)求證：。尸是0。的切線；(2)若8D=5,sinZB=-,求線段。尸的長(zhǎng).

64.(2021?江蘇宿遷市?中考真題)如圖，在R3AOB中，ZAOB=90°,以點(diǎn)。為圓心，0A為半徑的圓交

AB于點(diǎn)C,點(diǎn)。在邊OB上，且CC=8D(1)判斷直線CQ與圓。的位置關(guān)系，并說明理由：

24

(2)已知tanN0OC=—，AB=40,求0。的半徑.

7

65.（2021?湖北隨州市?中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法.它是利用“同一個(gè)圖形的

面積相等“、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相

等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過

程簡(jiǎn)便快捷.（1）在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4,則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為,

其內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為；（2）①如圖1,P是邊長(zhǎng)為"的正AABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為的中

心，設(shè)點(diǎn)尸到AABC各邊距離分別為九，h2,為，連接AP，BP,CP.由等面積法，易知

—a{hx+h2+hy）=S^ABC=3S^OAB,可得4+//2+%=；（結(jié)果用含”的式子表示）

②如圖2,P是邊長(zhǎng)為。的正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸到五邊形ABCDE各邊距離分別為%,%,

Q

力3,4，力5,參照①的探索過程，試用含。的式子表示4+%+%+%+%的值.（參考數(shù)據(jù)：tan36°?—,

tan54°?—）

8

（3）①如圖3,已知0。的半徑為2,點(diǎn)A為。。外一點(diǎn)，Q4=4,AB切0。于點(diǎn)B,隴BCHOA,

連接AC,則圖中陰影部分的面積為；（結(jié)果保留乃）

②如圖4,現(xiàn)有六邊形花壇A8CDM,由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造.若要將花壇形狀改造成五邊形

ABCDG,其中點(diǎn)G在AE的延長(zhǎng)線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)G的位置，并說明

理由.

（圖3）（圖4）

66.（2021?湖北隨州市?中考真題）如圖，。是以45為直徑的。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)。的切線OE交A3的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)5作交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，垂足為點(diǎn)b.（1）求證：AB=BCx（2）若0。

的直徑A5為9,sinA=1.①求線段的長(zhǎng)；②求線段3E的長(zhǎng).

67.（2021?河北中考真題）如圖，。。的半徑為6,將該圓周12等分后得到表盤模型，其中整鐘點(diǎn)為4（〃

為1~12的整數(shù)），過點(diǎn)為作。。的切線交AA1延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

（1）通過計(jì)算比較直徑和劣弧A,Ai長(zhǎng)度哪個(gè)更長(zhǎng)；（2）連接4A”，則和PR有什么特殊位置關(guān)系？

請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；（3）求切線長(zhǎng)P4的值.

小

■

68.（2021?山東荷澤市?中考真題）如圖，在中，A8是直徑，弦CDJ_AB,垂足為“，E為BC上

一點(diǎn)，尸為弦。。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EE并延長(zhǎng)交直徑A5的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AE交CO于點(diǎn)P,

3

若FE=FP.⑴求證：FE是的切線；（2）若。。的半徑為8,sinF=-,求8G的長(zhǎng).

69.（2020?內(nèi)蒙古呼和浩特市?中考真題）某同學(xué)在學(xué)習(xí)了正多邊形和圓之后，對(duì)正五邊形的邊及相關(guān)線段

進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)多處出現(xiàn)者名的黃金分割比避二0.618.如圖，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE,圓心為O,

2

0A與BE交于點(diǎn)H,AC,AD與BE分別交于點(diǎn)M、N.根據(jù)圓與正五邊形的對(duì)稱性，只對(duì)部分圖形進(jìn)

行研究.（其它可同理得出）（1）求證：AABM是等腰三角形且底角等于36。，并直接說出ABAN的形狀；

（2）求證：——,且其比值2=工^—；

BNBE2

（3）由對(duì)稱性知由（1）⑵可知絲生也是一個(gè)黃金分割數(shù)，據(jù)此求sinl8°的值.

BM

CD

70.（2019?山西中考真題）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)地任務(wù)：萊昂哈德?歐拉（Leonard是瑞

士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理，下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理：在

△ABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，。和I分別為其外心和內(nèi)心，則。/2=穴2_26.

如圖1,。。和。1分別是AABC的外接圓和內(nèi)切圓，。［與AB相切分于點(diǎn)F,設(shè)。O的半徑為R,的

半徑為r,外心O（三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點(diǎn)）之間的距離01

=d,則有d2=R2-2Rr.

下面是該定理的證明過程（部分）：

延長(zhǎng)AI交于點(diǎn)D,過點(diǎn)I作。O的直徑MN,連接DM,AN.

VZD-ZN,NDMI=NNAI（同弧所對(duì)的圓周角相等），

:.AMDlsAANI,：."=9IA」D=IM.IN①,

1AIN

如圖2,在圖1（隱去MD,AN）的基礎(chǔ)上作。0的直徑DE,連接BE,BD,BLIF,

VDE是。O的直徑，；./DBE=90。，

OI與AB相切于點(diǎn)F,ZAFI=90°,，NDBE=NIFA,

NBAD=/E（同弧所對(duì)圓周角相等），.?.△AIFS/\EDB,

,MIF三

??----=----->?,IA,BD=DE?IF②,

DEBD

任務(wù)：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：1M=R+d,IN=（用含R,d的代數(shù)式表示）；

（2）請(qǐng)判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）請(qǐng)觀察式子①和式子②，并利用任務(wù)（1）,（2）的結(jié)論，按

照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；（4）應(yīng)用：若AABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半

徑為2cm,則aABC的外心與內(nèi)心之間的距離為cm.

專題13.圓與正多邊形

一、單選題

1.（2021?四川成都市?中考真題）如圖，正六邊形A3COE尸的邊長(zhǎng)為6,以頂點(diǎn)A為圓心，A3的長(zhǎng)為半

徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為（）

A.4萬(wàn)B.6兀C.8"D.12萬(wàn)

【答案】D

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出/出8,利用扇形面積公式求出扇形A2F的面積計(jì)算即可.

【詳解】解：；六邊形A8COEF是正六邊形，.?./硝8=（6二2）><180_=120°,48=6,

6

二扇形ABF的面積=12儂,故選擇D

360

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、扇形面積計(jì)算，掌握多邊形內(nèi)角的計(jì)算公式、扇形面積公式是解題

的關(guān)鍵.

2.（2021?云南中考真題）如圖，等邊AAbC的三個(gè)頂點(diǎn)都在00上，AO是0。的直徑.若04=3,則

劣弧8。的長(zhǎng)是（）

D

A.—B.乃C.—D.2%

22

【答案】B

【分析】連接OB,OC,根據(jù)圓周角定理得到NBOC=2N3AC,證明“08四zMOC,得到/3AO=NC4O=30。,

得到NBOD,再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算.

【詳解】解：連接。8,OC,「△A8C是等邊三角形，：.ZBOC=2ZBAC=\20°,

)L-：AB=AC,OB=OC,OA=OA,.?.△A08絲△AOC(SSS),/.ZBAO=ZCAO=30°,

6（）XXa

ZBOD=60°,；.劣弧8。的長(zhǎng)為巴一~=乃，故選B.

180

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是求出圓心角/B。。的度數(shù).

3.（2021?廣西玉林市?中考真題）學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)后，小銘與小熹就討論起來(lái)，小銘說：“被直徑平分的弦也

與直徑垂直''，小熹說：“用反例就能說明這是假命題”.下列判斷正確的是（）

A.兩人說的都對(duì)B.小銘說的對(duì)，小燕說的反例不存在

C.兩人說的都不對(duì)D.小銘說的不對(duì)，小熹說的反例存在

【答案】D

【分析】根據(jù)垂徑定理可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).

【詳解】解：由垂徑定理的推論“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧”可知：

小銘忽略了垂徑定理中的“弦不能是直徑”這一條件，因?yàn)橐粋€(gè)圓中的任意兩條直徑都互相平分，但不垂直,

所以小銘說法錯(cuò)誤，小熹所說的反例即為兩條直徑的情況下；故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?青海中考真題）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交

于A,B兩點(diǎn),他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，AB=16厘米.若從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出

海平面的時(shí)間為16分鐘，則“圖上”太陽(yáng)升起的速度為（）.

A.1.0厘米/分B.0.8厘米分C.12厘米/分D.1.4厘米/分

【答案】A

【分析】首先過。。的圓心。作CO_LA8于C,交。。于D,連接04,由垂徑定理，即可求得OC的長(zhǎng),

繼而求得CC的長(zhǎng)，又由從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海面的時(shí)間為10分鐘，即可求得“圖上”太陽(yáng)

升起的速度.

【詳解】解：過。。的圓心。作CDLA8于C,交。。于。，連接OA,

海平線

AAC=—-X16-8（厘米）,

22

在R3AOC中，0c=JQ42_.C2=J102_82=6（厘米），，CO=OC+O￡>=16（厘米）,

???從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海面的時(shí)間為16分鐘，，16口6=1（厘米/分）.

，“圖上”太陽(yáng)升起的速度為1.0厘米/分.故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解.

5.（2021?山東聊城市?中考真題）如圖，A,B,C是半徑為1的。。上的三個(gè)點(diǎn)，若AB=0,ZCAB=30°,

C.105°D.110°

【答案】C

【分析】連接。8,OC,根據(jù)勾股定理逆定理可得NAO8=90。，/48。=NA4O=45。，根據(jù)圓周角定理可

得NCQB=2NCAB=60。，ZOBC=ZOCB=60°,由此可求得答案.

【詳解】解：如圖，連接。B,OC,

?：OA=OB^\,AB=O,：.OA2+OB2^AB2,：.ZAOB=900,

又=.,./ABO=/BAO=45°,,；/CA8=30°,/COB=2/CA8=60°,

又,：OC=OB,：.ZOBC=ZOCB=60°,：.ZABC=ZABO+ZOBC=105°,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決本

題的關(guān)鍵.

6.（2021?山東泰安市?中考真題）如圖，四邊形ABCD是00的內(nèi)接四邊形，NB=90°,ZBCD=120°.

AB=2,CD=\,則A。的長(zhǎng)為（）

A.273-2B.3-百C.4一百D.2

【答案】C

【分析】如圖，延長(zhǎng)AD,BC,二線交于點(diǎn)E,可求得/E=30。，在RsCDE中,利用柩“30。計(jì)算。E,在

RSABE中，利用si〃30。計(jì)算AE,根據(jù)AD=AE-DE求解即可；

【詳解】如圖，延長(zhǎng)AZ）,BC,二線交于點(diǎn)E,

：N8=90°,ZBCD=120°,AZA=60°,/E=30°,ZADC=90°,：.ZADC=ZEDC=90°,

1

.,DC-f=^r-

在RmCDE中，熊〃30°=——，DE=（3=6

DE——

3

2

在Rf△ABE中，si〃30°=—AB,：.AB=1=4,，A￡）=4E-￡>E=4—百，故選C

卜於2

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，特殊角的三角函數(shù)值，延長(zhǎng)構(gòu)造直角三角形，靈活運(yùn)用直

角三角形特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?四川廣元市?中考真題）如圖，從一塊直徑是2的圓形鐵片上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，將剪

下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐.那么這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是（）

【答案】B

【分析】先計(jì)算的長(zhǎng)度，然后圍成的圓錐底面周長(zhǎng)等同于8c的長(zhǎng)度，根據(jù)公式計(jì)算即可.

【詳解】解：如下圖：連接8C,AO,84c=90°，是直徑，且BC=2,

乂：AB=AC,NABC=NAC8=45°，AO±BC,

???BC的長(zhǎng)度為：—x^-xV2=—...圍成的底面圓周長(zhǎng)為巫乃，

18022

設(shè)圓錐的底面圓的半徑為廣，則：2仃=叵兀,：.r=—7rx—=^-.故選：B

222萬(wàn)4

【點(diǎn)睛】本題考查扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓錐底面半徑的計(jì)算，解直角三角形等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)條件計(jì)算出

扇形的半徑是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?四川南充市?中考真題）如圖，AB是0。的直徑，弦。。_LA8于點(diǎn)E,CD=2OE,則/BCD

的度數(shù)為（）

D

B

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

【答案】B

【分析】連接OD,據(jù)垂徑定理得C0=2￡>E,從而得AODE是等腰直角三角形，根據(jù)圓周角定理即可求解.

【詳解】解：連接OD,

是0。的直徑，弦8,43于點(diǎn)旦，。￡>=2力￡

???CZ）=2QE，.?.CE=OE,△?！辏晔堑妊苯侨切危?8。。=45。，

ZBCD=—NBOD=22.5°,故選B.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理和圓周角定理，是解題的關(guān)鍵.

9.（2021?四川廣元市?中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，AE是以8C為直徑的半圓的切線,

則圖中陰影部分的面積為（）

BA

CED

3+萬(wàn)一

A.----B.冗一2C.1

2

【答案】D

【分析】取8c的中點(diǎn)O,設(shè)AE與。。的相切的切點(diǎn)為凡連接0尸、OE,OA,由題意可得O8=OC=OA=1,

NO砌=NOFE=90。，由切線長(zhǎng)定理可得AB=AF^2,CE=CF,然后根據(jù)割補(bǔ)法進(jìn)行求解陰影部分的面積即可.

【詳解】解：取BC的中點(diǎn)O,設(shè)AE與。。的相切的切點(diǎn)為F,連接OF、OE、0A,如圖所示:

,四邊形48CD是正方形，且邊長(zhǎng)為2,；.BC=AB=2,48c=NBCD=90。，

；AE是以8C為直徑的半圓的切線，：.OB=OC=OF=\,ZOFA=ZOFE=9Q°,：.AB=AF=2,CE=CF,

?：OA=OA,:.RmABOgRmAFO（HL）,同理可證

ZAOB=ZAOF,ZCOE=/FOE，:.ZAOB+NCOE=90。=NAOB+NBAO,

OCCET1

:.NCOE=NBAO,：.AABO^QCE,：.——=——.；.CE=—,

ABOB2

,?S陰影一S四邊形A8CE一S半圓=2S?ABO+2S-OCE—S半圓=2+---=2；故選D-

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理、正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌

握切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理、正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?湖北荊州市?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，NO=60°,AB=2,以3為圓心、BC長(zhǎng)為

半徑畫AC，點(diǎn)P為菱形內(nèi)一點(diǎn)，連接R4，PB,PC.當(dāng)△3PC為等腰直角三角形時(shí)，圖中陰影部分

的面積為（）

上空B|乃-牛1C.2兀

D.2”曲二

2

【答案】A

【分析】以點(diǎn)8為原點(diǎn)，8c邊所在直線為x軸，以過點(diǎn)8且與8c垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

判斷出NP3C<90°，再根據(jù)/8CP=90。和/BPC=90。兩種情況判斷出點(diǎn)P的位置，啟動(dòng)改革免費(fèi)進(jìn)行求解

即可.

【詳解】解：以點(diǎn)8為原點(diǎn)，BC邊所在直線為x軸，以過點(diǎn)8且與3c垂直的直線為)，軸建立平面直角坐

標(biāo)系，如圖，

???△8PC為等腰直角三角形，且點(diǎn)P在菱形A8C4的內(nèi)部，很顯然，ZPBC<90°

①若NBCP=90。，則CP=BC=2這C作CELAD^AD于點(diǎn)E,

'：四邊形ABCD是菱形：.AB=BC=CD=DA=2,ND=NABC=60。

:.CE=CDsin/D=2xg=6<2二點(diǎn)尸在菱形ABC。的外部，.?.與題設(shè)相矛盾，故此種情況不存在;

2

?ZBPC=90°過尸作PFLBC交BC于點(diǎn)F,

???△8PC是等腰直角三角形，.?.PF=BF=g8C=l；.P(l,l),F(1,O)

過點(diǎn)A作AG_LBC于點(diǎn)G,在RmABG中，N48G=60。NBAG=30。

；.8G=；AB=1,AG=W)BG=^>AA(1,73),G(1,O).?.點(diǎn)八與點(diǎn)G重合

...點(diǎn)A、P、尸三點(diǎn)共線AP=A尸一PF=百一1???SZUpp=gxlx(g—1)=心?

60乃x2_2兀

,^ABPC=~X2xl=lq

“扇形A4c360-3-

yfi-12萬(wàn)V3+1

,?百月影二S扇形朋C_SgBP_S'BPC---------1=—故選：A.

232

【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及求不規(guī)則圖形的面

積等知識(shí)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.

H.(2021?浙江衢州市?中考真題)已知扇形的半徑為6,圓心角為150。.則它的面積是()

3

A.-71B.3%C.54D.15%

2

【答案】D

【分析】已知扇形的半徑和圓心角度數(shù)求扇形的面積，選擇公式5=生毛■直接計(jì)算即可.