1.4角平分線第一章三角形的證明逐點(diǎn)學(xué)練本節(jié)小結(jié)作業(yè)提升本節(jié)要點(diǎn)1學(xué)習(xí)流程2角平分線的性質(zhì)定理角平分線的判定定理三角形的角平分線的性質(zhì)定理知識(shí)點(diǎn)角平分線的性質(zhì)定理11.性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.角的平分線的性質(zhì)的兩個(gè)必要條件：(1)點(diǎn)在角平分線上；(2)這個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離即點(diǎn)到角兩邊的垂線段的長(zhǎng)度.兩者缺一不可.2.幾何語(yǔ)言如圖1-4-1，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，∴PD=PE.特別提醒?角平分線的性質(zhì)是由兩個(gè)條件(角平分線，垂線)得到一個(gè)結(jié)論(線段相等).?利用角的平分線的性質(zhì)證明線段相等時(shí)，證明的線段是“垂直于角兩邊的線段”，而不是“垂直于角平分線的線段”.例1如圖1-4-2，OD平分∠EOF，在OE，OF上分別取點(diǎn)A，B，使OA=OB，P為OD

上一點(diǎn)，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.求證：PM=PN.解題秘方：在圖中找出符合角的平分線的性質(zhì)的模型，利用角的平分線的性質(zhì)證線段相等.證明：∵OD平分∠EOF，∴∠BOD=∠AOD.在△BOD和△AOD

中，OB=OA，

∠BOD=∠AOD， OD=OD，∴△BOD≌△AOD(SAS).∴∠BDO=∠ADO，即DO平分∠BDA.又∵P

為DO

上一點(diǎn)，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN.

B如圖1-4-3，在△

ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD

平分∠CAB，交BC

于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E.若AB=8cm，求△DEB的周長(zhǎng).例2解題秘方：運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，將△DEB

的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為線段AB

的長(zhǎng).解：在△ABC

中，∠C=90°，∴

DC⊥AC.又∵DE⊥AB，AD

平分∠

CAB，∴DC=DE.在Rt△ACD

和Rt△AED中，AD=AD， DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵AC=BC，∴AE=BC.∴△DEB的周長(zhǎng)=DE+DB+EB=DC+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB=8cm.2-1.如圖，在△ABC

中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB

于點(diǎn)E，有下列結(jié)論：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠

BDE=∠BAC；④DA平分∠CDE.其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4D例3如圖1-4-4，BD

是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，S△ABC=90cm2，AB=18cm，BC=12cm，求DE的長(zhǎng).解題秘方：緊扣總面積等于各部分面積的和求解.

3-1.[中考·北京]如圖，在△ABC

中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC

＝2，DE

＝1，則S△ACD

＝______.1知識(shí)點(diǎn)角平分線的判定定理21.判定定理在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.2.幾何語(yǔ)言如圖1-4-5，∵點(diǎn)P

為∠AOB

內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P

在∠AOB

的平分線OC

上.3.角的平分線的判定定理與性質(zhì)定理的關(guān)系(1)如圖1-4-5，都與距離有關(guān)，即條件PD⊥OA，PE⊥OB都具備；(2)點(diǎn)在角的平分線上(角的內(nèi)部的)點(diǎn)到角兩邊的距離相等.性質(zhì)判定特別提醒1.使用該判定定理的前提是這個(gè)點(diǎn)必須在角的內(nèi)部.2.角的平分線的判定是由兩個(gè)條件(垂線，線段相等)得到一個(gè)結(jié)論(角平分線).3.角的平分線的判定定理是證明兩角相等的重要依據(jù)，它比利用三角形全等證兩角相等更方便快捷.如圖1-4-6，BE=CF，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF和CE交于點(diǎn)D.求證：AD

平分∠BAC.例4解題秘方：利用角的平分線的判定定理證明角平分線時(shí)，緊扣點(diǎn)在角的內(nèi)部且點(diǎn)到角兩邊的距離相等進(jìn)行證明.證明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB=∠DFC=90°.在△BDE

和△CDF

中，

∠BDE=∠CDF，∠DEB=∠DFC，BE=CF，∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE=DF.又∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴AD

平分∠

BAC.4-1.如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC

三邊上的點(diǎn)，CE=BF，△DCE

和△DBF的面積相等.求證：AD平分∠BAC.如圖1-4-7，∠

MAC和∠NCA是△ABC

的外角，∠ABC

的平分線BD與∠MAC

的平分線AD

交于點(diǎn)D.求證：CD

平分∠

ACN.例5解題秘方：緊扣“到CA，CN的距離相等的點(diǎn)在∠ACN

的平分線上”進(jìn)行證明.證明：如圖1-4-7，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BM于點(diǎn)E，DF⊥BN

于點(diǎn)F，DG⊥AC于點(diǎn)G.∵BD

平分∠ABC，∴DE=DF.∵AD平分∠MAC，∴DE=DG.∴DG=DF.∴CD平分∠ACN.由此例的結(jié)論可知，三角形的一條內(nèi)角平分線與兩條外角平分線也相交于一點(diǎn).5-1.如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CE與內(nèi)角∠ABC的平分線BE

交于點(diǎn)E.若∠BAC=70°，則∠CAE=_______°.55知識(shí)點(diǎn)三角形的角平分線的性質(zhì)定理31.性質(zhì)定理三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.2.幾何語(yǔ)言如圖1-4-8，在△

ABC中，AD，BM，CN

分別是∠BAC，∠ABC，∠ACB

的平分線，AD，BM，CN交于一點(diǎn)O，且點(diǎn)O到三邊BC，AB，AC

的距離(OE，OG，OF

的長(zhǎng))相等，即OE=OG=OF.要點(diǎn)解讀三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，且該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是三角形三條角平分線的交點(diǎn).如圖1-4-9，在△ABC

中，點(diǎn)O是∠ABC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)，AB+BC+AC=20.過(guò)O

作OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD=3,求△ABC的面積.例6解題秘方：緊扣三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是內(nèi)心到三邊的距離相等.

6-1.如圖，有一塊三角形的空地ABC.其三邊長(zhǎng)AB，AC，BC分別為30m，40m，50m.現(xiàn)要把它分成面積比為3∶4∶5的三部分種植三種不同的花，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.解：方案如圖．分別作∠ABC和∠ACB的平分線，兩線交于點(diǎn)P，連接AP