結(jié)構(gòu)動力學(xué)研究對象求解桿系結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的變形和內(nèi)力。本章重點單自由度體系的自振頻率及在簡諧荷載作用下的動力響應(yīng)。2§10.1概述動力計算研究結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的變形和內(nèi)力，即研究結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)。動力荷載：大小、方向、作用點隨時間變化的荷載。結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)不但與動力荷載的性質(zhì)有關(guān)，還與結(jié)構(gòu)本身的動力特性直接相關(guān)。結(jié)構(gòu)本身的動力特性是結(jié)構(gòu)本身固有的，如自振頻率及振型。動力計算的特點：動力計算不能忽略慣性力，這是動力計算與靜力計算的本質(zhì)區(qū)別。內(nèi)力和變形都是時間的函數(shù)。

一、動力計算的特點返回輸入input輸出Output結(jié)構(gòu)體系靜力響應(yīng)靜荷載位移內(nèi)力應(yīng)力剛度、約束桿件尺寸截面特性大小方向作用點結(jié)構(gòu)體系動力響應(yīng)輸入input輸出Output動荷載動位移加速度速度動應(yīng)力動力系數(shù)隨時間變化質(zhì)量、剛度阻尼、約束頻率、振型大小方向作用點時間變化數(shù)值唯一時間函數(shù)

一、動力計算的特點與結(jié)構(gòu)靜力學(xué)相比，動力學(xué)的復(fù)雜性表現(xiàn)在：動荷載隨時間而變化，結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的響應(yīng)，如任意截面的位移、變形、內(nèi)力、速度、加速度等都是時間的函數(shù)，解不再是單一數(shù)值。結(jié)構(gòu)的動力計算不但要考慮動力荷載的性質(zhì)，還要考慮結(jié)構(gòu)本身的動力特性：剛度分布、質(zhì)量分布、阻尼特性分布的影響；

一、動力計算的特點（1）

計算中考慮慣性力（2）利用達朗伯原理原理，把慣性力視為外力參與瞬時的平衡，將動力問題轉(zhuǎn)化為靜力問題來處理。動力計算與靜力計算的本質(zhì)區(qū)別：不能忽略慣性力5（3）動力方程是二階微分方程，方程求解復(fù)雜困難。動力計算有時還要考慮阻尼的影響

一、動力計算的特點動荷載的定義荷載在大小、方向或作用點方面隨時間變化，使得質(zhì)量運動加速度所引起的慣性力與荷載相比大到不可忽略時，則把這種荷載稱為動荷載。問題：你知道有哪些動荷載？概念：動荷載是時間的函數(shù)！二、動力荷載的分類周期荷載7確定性荷載：荷載的變化是時間的確定性函數(shù)。非周期荷載沖擊荷載突加荷載簡諧荷載Ptp(t)tdtPp(t)td非確定性荷載：荷載隨時間的變化是不確定的或具有偶然性，又稱為隨機荷載。例如：風(fēng)荷載地震作用平均風(fēng)脈動風(fēng)動荷載分類動荷載確定荷載不確定荷載風(fēng)荷載地震荷載其它無法確定變化規(guī)律的荷載周期非周期簡諧荷載非簡諧荷載沖擊荷載突加荷載其它確定規(guī)律的動荷載9二、動力荷載的分類10三、動力計算中體系的自由度質(zhì)點（質(zhì)量）的位移就是動力計算的基本未知數(shù)。確定運動過程中任一時刻所有質(zhì)量的位置所需的獨立幾何參數(shù)的數(shù)目，稱為該體系的自由度?；炯俣ǎ汉雎粤菏綏U軸向變形，認為桿長不變。一、集中質(zhì)量法。把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個質(zhì)點，轉(zhuǎn)化為有限自由度問題。二、廣義坐標法。用有限個廣義坐標參數(shù)及給定函數(shù)組合來描述無限自由度問題。結(jié)構(gòu)動力計算模型的簡化方法三、有限元法。把結(jié)構(gòu)離散為若干單元和自由度計算。11三、動力計算中體系的自由度使每個質(zhì)點不發(fā)生線位移所施加的附加鏈桿數(shù)，即為體系動力計算的自由度。質(zhì)點體系的振動自由度確定方法—附加鏈桿法集中質(zhì)量法——假定忽略桿的軸向變形和質(zhì)點的轉(zhuǎn)動。平面內(nèi)每個質(zhì)點最多有兩個線位移。三、動力計算中體系的自由度2個自由度1個自由度2個自由度4個自由度2個自由度結(jié)論：體系自由度數(shù)與集中質(zhì)量數(shù)和超靜定次數(shù)沒有固定的關(guān)系。自由度數(shù)目與計算假定有關(guān)。單自由度13四、阻尼阻尼對結(jié)構(gòu)的作用：一類是材料的非彈性變形，使變形能損失。一類是阻尼力，包括介質(zhì)阻力和摩擦阻力。阻尼是振動的一個重要因素，而且很復(fù)雜，需化簡;把各種阻尼綜合作用假定為受一個阻尼力作用。并且假定阻尼力的大小與質(zhì)點的運動速度成正比，這一假定稱為粘滯阻尼理論。即：R——阻尼力；方向與運動速度的方向相反。c——阻尼系數(shù)；v——質(zhì)點運動的速度；返回五、動力方程的建立在結(jié)構(gòu)動力分析中，描述體系質(zhì)量運動規(guī)律的數(shù)學(xué)方程，稱為體系的運動微分方程，簡稱運動方程。動靜法：將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為任一時刻的靜力學(xué)問題：根據(jù)達朗貝爾原理，把慣性力作為附加的虛擬力，并考慮阻尼力、彈性力和作用在結(jié)構(gòu)上的外荷載，使體系處于動力平衡狀態(tài)，按照靜力學(xué)思路，直接寫出運動方程。2.柔度法：以結(jié)構(gòu)為分析對象，利用質(zhì)點的變形協(xié)調(diào)條件1.剛度法：以質(zhì)點為分析對象，利用質(zhì)點的平衡條件單自由度體系計算模型：m動靜法質(zhì)量塊m，用來表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和慣性特性自由度只有一個：水平位移y(t)無重彈簧，剛度為k，提供結(jié)構(gòu)的約束力（恢復(fù)力）無重阻尼器，阻尼系數(shù)c，表示結(jié)構(gòu)的能量耗散，提供結(jié)構(gòu)的阻尼力隨時間變化的動荷載F(t)或P(t)；16剛度法建立動力方程1）確定動力計算自由度；2）取質(zhì)點為隔離體畫平衡力系和加速度方向相反慣性力：結(jié)構(gòu)約束作用，相當于彈簧，力與位移方向相反。約束力：阻尼力：動荷載：干擾力、受迫力、激勵和速度方向相反17剛度法建立動力方程質(zhì)點平衡方程：剛度法的運動方程：（2-1）慣性力：約束力（恢復(fù)力)：阻尼力：結(jié)論：結(jié)構(gòu)的約束力、阻尼力、慣性力共同平衡外荷載的作用。為阻尼比系數(shù)

。動力方程標準型：其中：加速度的系數(shù)項為1，動位移的系數(shù)項：——無阻尼振動；動力方程:——自由振動；——無阻尼自由振動；速度的系數(shù)項：剛度法建立動力方程阻尼力：動荷載：阻尼力和動荷載：——受迫振動；剛度法的運動方程：（2-1）約束力（恢復(fù)力)：描述結(jié)構(gòu)對質(zhì)量的約束作用，相當于彈簧，彈簧的剛度系數(shù)K如何確定？這是剛度法的關(guān)鍵！剛度系數(shù)K：使質(zhì)點發(fā)生單位位移需要施加的力，對應(yīng)于基本結(jié)構(gòu)中附加約束的反力。剛度法建立動力方程例1。用剛度法建立圖示剛架的運動方程1）橫梁剛性，柱子無軸向變形，體系只有一個水平位移2）求剛度系數(shù)k：3）列動平衡方程：21例2。剛度法列動力方程。忽略阻尼影響。梁的水平投影方程：自振圓頻率：化為標準型：解：未知量是梁的水平位移，因而動力方程是梁的水平投影方程。荷載等效到兩端結(jié)點上剛度系數(shù)：質(zhì)點發(fā)生單位位移，基本結(jié)構(gòu)附加約束的反力：22先設(shè)定所有矢量（位移、速度、加速度、力）的正方向。利用達朗伯原理，在質(zhì)量上施加一個假想的慣性力，利用力的平衡條件（質(zhì)點的投影方程或剛體的力矩方程），即在慣性力、結(jié)構(gòu)約束力、阻尼力、動荷載共同作用下的平衡條件即動力方程。慣性力：阻尼力：約束力：強迫力：剛度法建立動力方程——投影方程——繞O點力矩方程23柔度法以結(jié)構(gòu)整體為研究對象，根據(jù)變形（位移）協(xié)調(diào)條件，即利用疊加原理，質(zhì)點的動位移等于慣性力FI、阻尼力FD、動荷載F(t)三類外力分別作用下產(chǎn)生的位移疊加。關(guān)鍵是計算柔度系數(shù)δ：單位力作用引起的質(zhì)點位移。利用單位荷載法（或位移法）分別求出慣性力、阻尼力、荷載為1時（單位力作用），質(zhì)點產(chǎn)生的位移，即柔度系數(shù)δ11、δ1D、δ1P。疊加原理：柔度法建立動力方程柔度法就更具有一般性。單自由度體系，剛度系數(shù)和柔度系數(shù)互為倒數(shù)。例3。柔度法列動力方程。各桿EI=常量。24解：先利用單位荷載法求柔度系數(shù)。動力方程：25§10.2無阻尼自由振動mmkyy質(zhì)點m受力：約束力：-ky，與位移方向相反；慣性力：，與加速度方向相反；根據(jù)達朗伯原理：2.柔度法：根據(jù)體系變形協(xié)調(diào)條件體系受慣性力：m的位移：

其中：k—

剛度系數(shù)；使m產(chǎn)生單位位移需要施加的力；

—

柔度系數(shù)；單位力作用下m產(chǎn)生的位移：

一、無阻尼自由振動微分方程的建立1.剛度法：根據(jù)質(zhì)量（質(zhì)點）平衡條件26§10.2無阻尼自由振動二、自由振動微分方程的解自由振動的組成：一部分由初始位移y0引起的；

另一部分由初始速度v0引起的。方程的解也可以寫成：

微分方程：令：方程改為：

方程通解：根據(jù)初始條件：t=0時，y=y0,v=v0可確定方程的解：根據(jù)初始條件可解得：27§10.2無阻尼自由振動三、結(jié)構(gòu)的自振周期圓頻率或頻率

：2

時間內(nèi)的振動次數(shù),單位:“弧度/s”

；

自振頻率f：單位時間的振動次數(shù)；單位:“Hz（赫茲）”從微分方程的解：位移是周期函數(shù)；自振周期T：振動一周需要的時間；單位:“s（秒）”自振周期的性質(zhì)：自振周期僅與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)；與外界的干擾力無關(guān)。質(zhì)量越大，周期越大；剛度越大，周期越小。自振周期是結(jié)構(gòu)動力性能的一個重要指標。返回例4：圖示等截面豎直懸臂桿，長度為l，剛度EI，桿頂重物的質(zhì)量為m。桿的質(zhì)量忽略不計，計算水平振動的自振周期。解：柔度法列動力方程：柔度系數(shù)：質(zhì)點在單位力作用下產(chǎn)生的位移,用單位荷載法計算。M圖化為標準形：例5：求圖示結(jié)構(gòu)的重量集中為柱頂，W=20KN，試計算結(jié)構(gòu)的自振周期。EI1=3.528

107Nm2.AB結(jié)構(gòu)的自振圓頻率：剛度系數(shù)K11即使柱頂發(fā)生單位位移時，附加約束上的反力解：剛度法列動力方程：化為標準形：結(jié)構(gòu)的自振周期：30§10.3有阻尼自由振動mykyP(t)單自由度體系有阻尼振動的微分方程：有阻尼自由振動：小阻尼時微分方程的解為：由初始條件確定。其中：為阻尼比,是結(jié)構(gòu)阻尼的重要參數(shù)

?；癁闃藴市停浩渲校簽闊o阻尼振動的圓頻率。結(jié)果分析:①

低阻尼振動是一個衰減的簡諧振動——振幅衰減函數(shù)；——周期函數(shù)動力方程的解：31②振幅按等比級數(shù)衰減相隔一個周期的振幅比值不變③建筑結(jié)構(gòu)阻尼對自振頻率的影響很小，可以忽略動力方程的解：32④測定阻尼比若兩個振幅相隔n個周期，則動力方程的解：若兩個振幅相隔一個周期，則33阻尼過大，由于外界干擾積累的能量都用來克服阻尼，沒有多余的能量引起結(jié)構(gòu)振動。對于臨界阻尼和強阻尼，位移都不會發(fā)生周期性的振動。34實際工程都屬于小阻尼問題?！?0.3有阻尼自由振動例6：解：取整數(shù)n=5，經(jīng)過5個周期（1.5s)以后，振幅可降到初始位移的5%以下35EI=∞m9.8kN解：==wxk2=wxmc2=wwxm22例7

：圖示一單層建筑物的計算簡圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質(zhì)量均集中在橫梁處共計為m，加一水平力P=9.8kN，測得側(cè)移A0=0.5cm，然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動。再測得周期T=1.5s及一個周期后的側(cè)移A1=0.4cm。求結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ和阻尼系數(shù)c。3637§10.4無阻尼強迫振動mykyP(t)P(t)單自由度體系無阻尼強迫振動的微分方程：化為標準型：微分方程的解為：m受力圖自由振動的通解：按荷載頻率振動的特解：即：自由振動的通解+按荷載頻率振動的特解:由初始條件：，可以求得：按自振頻率振動部分由于阻尼的作用很快消失，振動達到穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)態(tài)振動的解：381.簡諧荷載作用下結(jié)構(gòu)無阻尼振動的解加載初期的瞬態(tài)振動，兩種振動共存，受迫振動的解：需要計算的往往都是穩(wěn)態(tài)振動的解，只需直接設(shè)定穩(wěn)態(tài)的解，然后代入動力方程求解振幅A。10.4無阻尼強迫振動再求慣性力，然后把動荷載和慣性力作用下求動內(nèi)力?？紤]穩(wěn)態(tài)振動的解：——位移的動力系數(shù)——最大動位移把荷載幅值F視為靜荷載產(chǎn)生的位移。39動力系數(shù)討論：①，接近于靜力作用；②④③動力系數(shù)40減小振幅的方法：（剛性方案）（柔性方案）動力系數(shù)動力系數(shù)討論：——共振現(xiàn)象，振幅會趨近于無窮大4142動力系數(shù)位移動力系數(shù):

動力系數(shù)包括了慣性力的作用，可以將動荷載幅值當作靜荷載按靜力方法計算出相應(yīng)的位移yst，再乘以動力系數(shù)

，就可以求出最大動位移。

只有當慣性力和動荷載的作用線重合時，內(nèi)力和位移的動力系數(shù)才會相等，否則內(nèi)力沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)。將慣性力及動載幅值作為靜載作用計算內(nèi)力幅值。內(nèi)力動力系數(shù)：43最大動位移和最大動內(nèi)力的計算體系的最大動位移為簡諧振動的振幅A，是動荷載和慣性力共同作用產(chǎn)生的動位移幅值；可以將動荷載幅值當作靜荷載按靜力方法計算出相應(yīng)的位移yst，再乘以動力系數(shù)

，就可以求出最大動位移。動力系數(shù)包括了慣性力的作用?？芍苯釉O(shè)定穩(wěn)態(tài)的解，代入動力方程求解振幅A。根據(jù)動位移算出質(zhì)點的慣性力，再將慣性力及動荷載幅值作用于結(jié)構(gòu)上，然后按靜力計算內(nèi)力幅值。例8：已知m=300kg，EI=90×105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1

求梁中點的動位移幅值及最大動力彎矩。2)求β3)求ydmax,Mdmax解：1)求ω2mEImkPsinθt2m44l/4M11/21例9：圖示梁l=4m，慣性矩I=7480cm4，彈模E=2.1

104KN/cm2。在跨中有電動機，重量Q=35KN，轉(zhuǎn)速n=500r/min。電機轉(zhuǎn)動的離心力P=10KN，離心力的豎向分力為Psinqt。不計梁的質(zhì)量，試求梁振動的最大動位移和最大動彎矩，最大位移和最大彎矩。體系自由振動的頻率：動力系數(shù)：為動力位移和動力應(yīng)力的放大倍數(shù)。荷載頻率：最大動位移（振幅）：4594.3kN.m例9：圖示梁l=4m，慣性矩I=7480cm4，彈模E=2.1

104KN/cm2。在跨中有電動機，重量Q=35KN，轉(zhuǎn)速n=500r/min。電機轉(zhuǎn)動的離心力P=10KN，離心力的豎向分力為Psinqt。不計梁的質(zhì)量，試求梁振動的最大動位移和最大動彎矩，最大位移和最大彎矩。體系自由振動的頻率：動力系數(shù)：最大動位移（振幅）：最大位移：等于靜荷載和動荷載作用下的最大位移之和。最大動彎矩：最大彎矩：59.3kN.m46ak例10.求圖示體系中及梁的最大動位移和彈簧的最大動反力。已知梁EI=∞，彈簧剛度k，θ2=k/2m。忽略阻尼影響。解：梁是剛體，只能繞B點轉(zhuǎn)動，動力方程是B點的力矩方程。

結(jié)構(gòu)的動力及位移圖：化為標準型：設(shè)方程穩(wěn)態(tài)的解：代入動力方程得：彈簧支座的最大動反力:梁的最大動位移：48例11.列動力方程，求最大動彎矩幅值。解：1）剛度法列動力方程：2）設(shè)穩(wěn)定狀態(tài)下方程的解：化為標準型：49例11.列動力方程，求最大動彎矩幅值。4）最大動彎矩幅值：3)把解代入動力方程得最大動位移（振幅）：例12.作結(jié)構(gòu)動彎矩幅值圖。各桿EI=常量，50解：先利用單位荷載法求柔度系數(shù)。動力方程：51設(shè)穩(wěn)定狀態(tài)下方程的解：代入動力方程例12.作結(jié)構(gòu)動彎矩幅值圖。各桿EI=常量，慣性力：將慣性力及荷載幅值作用于結(jié)構(gòu)上，計算內(nèi)力幅值。§10.5有阻尼受迫振動動力方程的解：按荷載頻率振動的特解為：動力方程標準型：52有阻尼自由振動的通解:mykyP(t)簡諧荷載作用有阻尼振動方程：其中：簡諧荷載作用下的無阻尼強迫振動的解：按自振頻率振動（瞬態(tài)振動），由于阻尼的作用，很快消失按荷載頻率振動（穩(wěn)態(tài)振動）53只考慮穩(wěn)態(tài)振動：§10.5有阻尼受迫振動只考慮穩(wěn)態(tài)振動：振幅：動力系數(shù):與荷載相位差：54（1）

/

對β的影響①/<<1時，

1，P(t)

可作為靜力荷載F處理。

②/>>1時，

0，體系不動，或做極微小的振動，振動位移

0

。③/=1的附近，阻尼對

影響明顯。

大、

小。0.75</<1.3——共振區(qū)共振區(qū)以外不考慮阻尼的影響，按無阻尼計算。55④

β的最大值并不發(fā)生在/=1處，而是發(fā)生在：∵ξ比較小,

/

≈1，近似認為共振時

/=1，得（1）

/

對β的影響視為共振區(qū)。5657阻尼對體系自振頻率的影響小阻尼時，體系具有振動的性質(zhì)；體系的自振頻率：

＞1、

=1時，體系不具有振動特性。因建筑結(jié)構(gòu)ξ很小，如鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)ξ=0.05，鋼結(jié)構(gòu)ξ=0.02，一般結(jié)構(gòu)可取

r≈

。

阻尼對振動的影響——自振頻率減??；58阻尼比的確定：

利用有阻尼體系自由振動時振幅衰減的特性，可以用實驗方法確定體系的阻尼比。其中yk與yk+n為相距n個周期的自由振動振幅。阻尼對振動的影響——振幅隨時間按指數(shù)級衰減；阻尼對體系自由振動振幅的影響59阻尼對強迫振動的影響。在強迫振動中,阻尼起著減小動力系數(shù)及振幅的作用.簡諧荷載作用下動力系數(shù)為：當

／

的值在0.75~1.25之內(nèi)（共振區(qū)）時，阻尼對降低動力系數(shù)的作用特別顯著。阻尼對振動的影響返回多自由度體系的自由振動運動微分方程式的建立及求解振型向量的概念；自由振動頻率和振型計算示例；如質(zhì)點1受力：慣性力：各約束的反力：約束是虛設(shè)的，反力之和應(yīng)為零。質(zhì)點1的平衡方程式為：

1.動力微分方程的建立及求解

一、剛度法剛度法：由各質(zhì)點力的平衡條件建立運動微分方程；按照位移法的概念求解：對體系所有的獨立位移都施加相應(yīng)的約束；b.依次給約束施加單位位移求剛度系數(shù)。

一、剛度法同理，體系中的每一個質(zhì)點都可以列出相應(yīng)的動力平衡方程式，即可得到剛度法描述的自由振動微分方程：

寫成矩陣形式為：

也可以寫成：

一、剛度法設(shè)微分方程式的特解為：X稱為體系的振幅向量：

各質(zhì)點按同一頻率同一位相作簡諧振動?？蓪懗桑?/p>

ω—體系自由振動時的圓頻率，簡稱為頻率或自振頻率。

方程特解：即：這是一組X的線性齊次方程式組。欲使振幅向量X存在非零解，即體系發(fā)生振動，則必須有：將Y代入方程

：

即

：

則

：

這個方程稱為頻率方程，未知量為頻率ω。將上式展開為：方程特解：即：這是一組X的線性齊次方程式組。欲使振幅向量X存在非零解，即體系發(fā)生振動，則必須有：將Y代入方程

：

即

：

則

：

由此可以求出n個自由振動頻率。按其數(shù)值由小到大排列為ω1ω2…ωn。其中最小頻率稱為基本頻率。這個方程稱為頻率方程，未知量為頻率ω。將上式展開為：返回二、柔度法柔度法：由各質(zhì)點運動的位移協(xié)調(diào)條件建立微分方程；按照力法的概念求解：確定體系的振動自由度；如質(zhì)點受力：慣性力：i點位移：b.依次給質(zhì)點施加單位力求柔度系數(shù)。

即：二、柔度法同理，體系中的每一個質(zhì)點都可以列出相應(yīng)的方程式，即可得到柔度法描述的自由振動微分方程：

寫成矩陣形式為：

也可寫成：

二、柔度法其中：F稱為體系的柔度矩陣，與剛度矩陣K互為逆矩陣；即：

I——單位矩陣。設(shè)微分方程式的特解為：代入微分方程得：二、柔度法其中：F稱為體系的柔度矩陣，與剛度矩陣K互為逆矩陣；I——單位矩陣。設(shè)微分方程式的特解為：代入微分方程得：方程有非0解X條件，系數(shù)行列式得值為0，即：這就是柔度法表示的體系的頻率方程，可展開為：

由頻率方程可解出n個自由振動頻率ω1ω2…ωn。返回2.振型向量的概念未知量:ω,X。轉(zhuǎn)化為求特征值的問題。括弧內(nèi)方陣為特征

矩陣，ω為特征值，X稱為特征向量。求解特征值的方法通常用迭代法。由頻率方程求出每一個ω后，逐個將它們代入上式，就會獲得X的非零解。方程的解X不唯一，有無窮解。在振動過程中，對于每一個ω值，各質(zhì)點振幅之間有一個固定的比例，即有一個確定的振型，但只是無法確定各質(zhì)點振幅的絕對值而已。

對于任一個頻率ωi

，就有一個主振型向量Xi與之對應(yīng)。一般規(guī)定X中的某元素為1，這樣振型就有了確定值，這樣的主振型向量稱為標準化振型向量，用φ表示。φ是無窮多個X中的其中之一。

返回3.自由振動頻率和振型計算例1.

懸臂梁上作用3個質(zhì)量分別為m1=m2=m,m3=0.5m

的質(zhì)點,梁的EI為常數(shù)，試求此體系的自振頻率和振型。

[解](1)求頻率用柔度法?？煞謩e在1、2、3點作用單位力，畫出彎矩圖，利用圖乘法就可以求出各柔度系數(shù)值fij。把求得的系數(shù)代入柔度法頻率方程：解上述方程可得：（2）求振型：由柔度法公式：展開得：代入由上述方程的任意兩式可解得：同樣代入可解得：同樣代入可解得：則振型向量為：代入由上述方程的任意兩式可解得：同樣代入可解得：同樣代入可解得：振型圖如下：則振型向量為：振型圖如下：第一主振型

第二主振型

第三主振型

振型的動態(tài)顯示返回例2.

單跨三層平面剛架如圖所示，假定剛架的質(zhì)量全部集中在各層橫梁上，m1=m2=270t,m3=180t。各柱截面的慣性矩。I1=3.267

10-3m4,I2=2.6110-3m4,I3=1.30710-3m4,橫梁I4=∞，材料彈性模量E=200Gpa。忽略桿的軸向變形,求剛架的自振頻率和振型。解:(1)體系由3個自由度；采用剛度法計算?，F(xiàn)計算剛度系數(shù)（2）求各階頻率

把計算得到的系數(shù)代入頻率方程。令則：方程的實根為：剛架的三個自振頻率為：（3）求振型

將計算的結(jié)果代入方程：將代入上式，令

1（3）=1，展開任意兩個方程可解得：φ1(1)=0.3332，φ1(2)=0.6665，第一主振型為：φ1={0.33320.66651}T

將代入上式，令

2（3）=1，同樣可解得：φ2(1)=-0.6665，φ2(2)=-0.6665，第二主振型為：φ2={-0.6665-0.66651}T

將代入上式，令

3（3）=1，同樣可解得：第三主振型為：φ3={4.0-3.01}T

或φ3={1-0.750.25}T

（4）剛架的振型圖振型的動態(tài)顯示0.66650.333210.66650.6665110.750.25返回§10.7主振型的正交性主振型的正交性是指：在同一體系中，任何兩個不同的主振型向量Xi和Xj(i≠j)，都滿足下列關(guān)系式：對于標準化的振型向量，也同樣具有正交性：矩陣M和K兩邊相乘的是同一個振型向量φi時,它們的乘積等于一個數(shù):

Mi

稱為廣義質(zhì)量.

Ki

稱為廣義剛度.

主振型的正交性可通過功的互等定理證明。主振型的正交性說明各振型的能量是相互獨立的，不會相互轉(zhuǎn)移?？衫谜裥偷恼恍詠硇：擞嬎愠龅闹髡裥拖蛄渴欠裾_。

返回例3.寫出圖示體系主振型關(guān)于質(zhì)量的正交條件.返回例4.證明圖示梁主振型的正確性。

第一主振型

第二主振型

第三主振型

返回§10.8多自由度體系自由振動的通解它的代表形式是：自由振動微分方程的特解:自由振動微分方程的通解為各特解的某種線性組合，即:組合系數(shù)ηi和初位相φi可由振動的初始條件確定；在一般情況下系統(tǒng)振動時，其位移向量中包含了各個主振型成分，是一個復(fù)雜的運動，只有當體系的初始位移和初始速度滿足一定的條件時體系才按主振型振動。多自由度體系自由振動的計算步驟：建立體系自身的質(zhì)量矩陣M：

根據(jù)頻率方程計算結(jié)構(gòu)的各階自振頻率

i

計算體系自身的剛度矩陣K或柔度矩陣F：

計算結(jié)構(gòu)的主振型向量

i返回§10.9簡諧荷載下的受迫振動1.

剛度法：在荷載、慣性力和質(zhì)點位移的作用下，附加約束上的反力為零。11振動方程：穩(wěn)態(tài)解：所有位移都按荷載的頻率作簡諧振動。代入振動方程，消去得：通過該方程可求出位移幅值：當或時發(fā)生共振動內(nèi)力幅值的計算

荷載、位移、慣性力同時達到最大值（幅值）?？梢粤蟹捣匠蹋笞畲髣觾?nèi)力。