選擇性必修二《4.2等比數(shù)列》同步練習一、單選題1．已知是數(shù)列的前項和，，則數(shù)列是（）A．公比為3的等比數(shù)列 B．公差為3的等差數(shù)列C．公比為的等比數(shù)列 D．既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列2．已知是等比數(shù)列的前項和，若存在，滿足，，則數(shù)列的公比為（）A． B． C．2 D．33．音樂與數(shù)學有著密切的聯(lián)系，我國春秋時期有個著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“微”，“微”?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“商”……依此?guī)律損益交替變化，獲得了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個音階.據(jù)此可推得（）A．“商”“羽”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列B．“宮”“微”“商”的頻率成公比為的等比數(shù)列C．“宮”“商”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列D．“角”“商”“宮”的頻率成公比為的等比數(shù)列4．設，．若p：成等比數(shù)列；q：，則（）A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件5．已知數(shù)列：，，，，，..，，，，，，，…的前n項和為，正整數(shù)，滿足：①，②是滿足不等式的最小正整數(shù)，則（）A．6182 B．6183 C．6184 D．61856．已知函數(shù)，，為x軸上的點，且滿足，，過點分別作x軸垂線交于點，若以為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似，其中，則滿足條件的p，q共有（）A．0對 B．1對 C．2對 D．無數(shù)對二、多選題7．數(shù)列為等比數(shù)列（）.A．為等比數(shù)列B．為等比數(shù)列C．為等比數(shù)列D．不為等比數(shù)列（為數(shù)列的前項）8．設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為9．已知數(shù)列滿足，，，是數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．三、填空題10．若是函數(shù)的兩個不同的零點，且這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則的值等于________．11．等比數(shù)列的公比，，則使成立的正整數(shù)的最大值為______12．平面直角坐標系中，已知點.且，當時，點無限趨近于點，則點的坐標是____________.四、解答題13．設數(shù)列、都有無窮項，的前項和為，是等比數(shù)列，且.（1）求和的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和為.14．已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，記數(shù)列前項和為，證明.15．已知數(shù)列滿足,,,.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)證明:.16．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，成等差數(shù)列，且，.（1）求等比數(shù)列的通項公式（2）若，，求前2020項和；（3）若，，，是與的等比中項且，對任意，，求ρ取值范圍.答案解析一、單選題1．已知是數(shù)列的前項和，，則數(shù)列是（）A．公比為3的等比數(shù)列 B．公差為3的等差數(shù)列C．公比為的等比數(shù)列 D．既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列【答案】D【分析】由得，然后利用與的關系即可求出【詳解】因為，所以所以當時，時，所以故數(shù)列既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列故選：D【點睛】要注意由求要分兩步：1.時，2.時.2．已知是等比數(shù)列的前項和，若存在，滿足，，則數(shù)列的公比為（）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】先判斷，由，利用等比數(shù)列求和公式可得，結(jié)合可得，從而根據(jù)可得結(jié)果.【詳解】設等比數(shù)列公比為當時，，不符合題意，當時，，得，又，由，得，，故選D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式與求和公式的應用，意在考查對基本公式的掌握與應用，考查了分類討論思想的應用，屬于中檔題.解有關等比數(shù)列求和的題的過程中，如果公比是參數(shù)一定要討論與兩種情況，這是易錯點.3．音樂與數(shù)學有著密切的聯(lián)系，我國春秋時期有個著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“微”，“微”?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“商”……依此?guī)律損益交替變化，獲得了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個音階.據(jù)此可推得（）A．“商”“羽”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列B．“宮”“微”“商”的頻率成公比為的等比數(shù)列C．“宮”“商”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列D．“角”“商”“宮”的頻率成公比為的等比數(shù)列【答案】C【分析】根據(jù)文化知識，分別求出相對應的頻率，即可判斷出結(jié)果．【詳解】設“宮”的頻率為a，由題意經(jīng)過一次“損”，可得“徵”的頻率為a，“徵”經(jīng)過一次“益”，可得“商”的頻率為a，“商”經(jīng)過一次“損”，可得“羽”頻率為a，最后“羽”經(jīng)過一次“益”，可得“角”的頻率是a，由于a，a，a成等比數(shù)列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列，且公比為，故選：C．【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義，考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎題．4．設，．若p：成等比數(shù)列；q：，則（）A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件【答案】A【解析】對命題p：成等比數(shù)列，則公比且；對命題，①當時，成立；②當時，根據(jù)柯西不等式，等式成立，則，所以成等比數(shù)列，所以是的充分條件，但不是的必要條件．考點：等比數(shù)列的判定，柯西不等式，充分條件與必要條件．5．已知數(shù)列：，，，，，..，，，，，，，…的前n項和為，正整數(shù)，滿足：①，②是滿足不等式的最小正整數(shù)，則（）A．6182 B．6183 C．6184 D．6185【答案】B【分析】由題意可知，數(shù)列的規(guī)律為：分母為的項有項．將數(shù)列中的項排成楊輝三角數(shù)陣且使得第k行每項的分母為，該行有項，那么位于數(shù)陣第11行最后一項，通過計算得；設數(shù)陣中第k行各項之和為，則，故通過計算可得滿足的最小正整數(shù)，即可得出最后結(jié)果.【詳解】由題意可知，數(shù)列的規(guī)律為：分母為的項有項．將數(shù)列中的項排成楊輝三角數(shù)陣且使得第k行每項的分母為，該行有項，如下所示：對于①，位于數(shù)陣第11行最后一項，對應于數(shù)列的項數(shù)為，∴；對于②，數(shù)陣中第k行各項之和為，則，且數(shù)列的前k項之和，，而，故恰好滿足的項位于第11行．假設位于第m項，則有，可得出．由于，，則，∴．因為前10行最后一項位于的第項，因此，滿足的最小正整數(shù)，所以．故選：B【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項和公式，考查了學生的歸納推理能力和運算求解能力.6．已知函數(shù)，，為x軸上的點，且滿足，，過點分別作x軸垂線交于點，若以為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似，其中，則滿足條件的p，q共有（）A．0對 B．1對 C．2對 D．無數(shù)對【答案】C【分析】由已知可得，，，，由與相似得到或，再分情況討論即可得到答案.【詳解】如圖，由題意，，的縱坐標為，所以，，，，與均為直角三角形，故與相似或.當時，，無解；當時，，所以．故存在兩對滿足條件的，，分別為，或，．故選：C【點睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)的應用，考查學生分類討論思想，數(shù)學運算能力，是一道中檔題.二、多選題7．數(shù)列為等比數(shù)列（）.A．為等比數(shù)列B．為等比數(shù)列C．為等比數(shù)列D．不為等比數(shù)列（為數(shù)列的前項）【答案】BCD【分析】舉反例，反證，或按照等比數(shù)列的定義逐項判斷即可.【詳解】解：設的公比為，A.設，則，顯然不是等比數(shù)列.B.，所以為等比數(shù)列.C.，所以為等比數(shù)列.D.當時，，顯然不是等比數(shù)列；當時，若為等比數(shù)列，則，即，所以，與矛盾，綜上，不是等比數(shù)列.故選：BCD.【點睛】考查等比數(shù)列的辨析，基礎題.8．設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】ABD【分析】先分析公比取值范圍，即可判斷A，再根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)判斷B,最后根據(jù)項的性質(zhì)判斷C,D.【詳解】若，則與矛盾；若，則與矛盾；因此，所以A正確；，因此，即B正確；因為，所以單調(diào)遞增，即的最大值不為，C錯誤；因為當時，，當時，，所以的最大值為，即D正確；故選：ABD【點睛】本題考查等比數(shù)列相關性質(zhì)，考查綜合分析判斷能力，屬中檔題.9．已知數(shù)列滿足，，，是數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)數(shù)列滿足，，得到，兩式相減得：，然后利用等差數(shù)列的定義求得數(shù)列的通項公式，再逐項判斷.【詳解】因為數(shù)列滿足，，，所以，兩式相減得：，所以奇數(shù)項為1，3，5，7，….的等差數(shù)列；偶數(shù)項為2，4，6，8，10，….的等差數(shù)列；所以數(shù)列的通項公式是，A.令時，，而，故錯誤；B.令時，，而，故錯誤；C.當時，，而，成立，當時，，因為，所以，所以，故正確；D.因為，令，因為，所以得到遞增，所以，故正確；故選：CD【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前n項和公式以及數(shù)列的單調(diào)性和放縮法的應用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于較難題.三、填空題10．若是函數(shù)的兩個不同的零點，且這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則的值等于________．【答案】9【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列列關于a，b的方程組，求得a，b后得答案．【詳解】由題意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，則p+q=9．故答案為9．點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎題．【思路點睛】解本題首先要能根據(jù)韋達定理判斷出a，b均為正值，當他們與-2成等差數(shù)列時，共有6種可能，當-2為等差中項時，因為，所以不可取，則-2只能作為首項或者末項，這兩種數(shù)列的公差互為相反數(shù)；又a,b與-2可排序成等比數(shù)列，由等比中項公式可知-2必為等比中項，兩數(shù)列搞清楚以后，便可列方程組求解p，q．11．等比數(shù)列的公比，，則使成立的正整數(shù)的最大值為______【答案】18【分析】求出數(shù)列前n項的和，根據(jù)不等式之間的關系求解可得答案.【詳解】解：由等比數(shù)列的公比，，可得，可得：，則，且，由為等比數(shù)列，可得是以為首項，公比為的等比數(shù)列，則原不等式等價為：，因為，把，代入整理得：，可得：，，即：，由,故答案為：18.【點睛】本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合，計算量大，屬于中檔題型.12．平面直角坐標系中，已知點.且，當時，點無限趨近于點，則點的坐標是____________.【答案】【分析】先計算的坐標，再求出的坐標，利用向量的和可求點的坐標，利用基本極限可求的坐標.【詳解】因為，故，因為，故，故的坐標為，因為，故.故答案為：.【點睛】本題考查向量的和、等比數(shù)列的通項、等比數(shù)列的前項和以及數(shù)列的極限，注意根據(jù)基本極限來求的坐標，本題綜合度高，為難題.四、解答題13．設數(shù)列、都有無窮項，的前項和為，是等比數(shù)列，且.（1）求和的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和為.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由可求出，根據(jù)定義求出數(shù)列的公比，從而可求出；（2）由題意得，再用錯位相減法求和即可．【詳解】解：（1）當時，==4；當時，，且亦滿足此關系，∴的通項為，設的公比為，則，則，∴；（2）由題意，，而，，兩式相減，有，．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的求法，考查錯位相減法求和，屬于中檔題．14．已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，記數(shù)列前項和為，證明.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)，利用數(shù)列通項與前n項和關系，得到，再利用等比數(shù)列的定義求解.（2）由（1）得到，則，然后利用裂項相消法求得，再根據(jù)為遞增數(shù)列求解.【詳解】（1）由題意得，當時，，∴，即，當時，，∴故是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可知，∴，∴∴因為時，，所以為遞增數(shù)列，故因為，則，故所以【點睛】本題主要考查數(shù)列通項與前n項和的關系，等比數(shù)列的定義，裂項相消法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.15．已知數(shù)列滿足,,,.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)證明:.【答案】(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.【分析】（1）由，得，即可得到本題答案；（2）由，得，即可得到本題答案；（3）當時，滿足題意；若n是偶數(shù)，由，可得；當n是奇數(shù),且時，由，可得，綜上，即可得到本題答案.【詳解】(1)因為，所以，因為，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列；(2)因為，所以，所以，又因為，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；(3)①當時，；②若n是偶數(shù)，則，所以當n是偶數(shù)時，；③當n是奇數(shù)，且時，；綜上所述，當時，.【點睛】本題主要考查利用構(gòu)造法證明等比數(shù)列并求通項公式，以及數(shù)列與不等式的綜合問題.16．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，成等差數(shù)列，且，.（1）求等比數(shù)列的通項公式（2）若，，求前2020項和；（3）若，，，是與的等比中項且，對任意，，求ρ取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3），．.【分析】（1）設等