高中數(shù)學選擇性必修三同步練習全套《6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(1)》基礎(chǔ)訓練一、選擇題1．完成一項工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外有4個人只會第二種方法，從這9個人中選1個人完成這項工作，則不同的選法共有（）A．5種B．4種C．9種D．45種2．2019年9月1日蘭州地鐵一號線正式開通，兩位同學同時去乘坐地鐵，一列地鐵有節(jié)車廂，兩人進入車廂的方法數(shù)共有（）A．種B．種C．種D．種3．為響應(yīng)國家“節(jié)約糧食”的號召，某同學決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時積極踐行“光盤行動”，則不同的選取方法有（）A．48種B．36種C．24種D．12種4．某電商為某次活動設(shè)計了“和諧”、“愛國”、“敬業(yè)”三種紅包，活動規(guī)定每人可以依次點擊4次，每次都會獲得三種紅包的一種，若集全三種即可獲獎，但三種紅包出現(xiàn)的順序不同對應(yīng)的獎次也不同員工甲按規(guī)定依次點擊了4次，直到第4次才獲獎則他獲得獎次的不同情形種數(shù)為A．9B．12C．18D．245．中國古代十進制的算籌計數(shù)法，在數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍.如圖，是利用算籌表示1-9的一種方法.則據(jù)此，3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1-9這9數(shù)字表示的兩位數(shù)的個數(shù)為（）A．9B．13C．16D．186．（多選題）某校實行選課走班制度，張毅同學選擇的是地理、生物、政治這三科，且生物在B層，該校周一上午選課走班的課程安排如下表所示，張毅選擇三個科目的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習，則下列說法正確的是（）第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)地理1班化學A層3班地理2班化學A層4班生物A層1班化學B層2班生物B層2班歷史B層1班物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班政治1班物理A層3班政治2班政治3班A．此人有4種選課方式B．此人有5種選課方式C．自習不可能安排在第2節(jié)D．自習可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)二、填空題7．如圖，在由電鍵組A與B組成的串聯(lián)電路（規(guī)定每組電鍵只能合上其中的一個電鍵）中，接通電源使燈泡發(fā)光的方法有______種．7．已知某體育場有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為__.8．個人參加、、跑的決賽，同一個項目中，并列冠軍的情況不發(fā)生，則冠軍分配的不同情況有________種.10．2020年初，湖北面臨醫(yī)務(wù)人員不足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，廈門人民心系湖北，志愿者紛紛馳援，若將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生志愿者分配到A，B兩家醫(yī)院（每人去一家，每家醫(yī)院至少安排1人），且甲醫(yī)生不安排在A醫(yī)院，則共有____種分配方案.三、解答題11．有紅、黃、藍旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗桿上縱向排列，表示不同的信號，順序不同也表示不同的信號，共可以組成多少種不同的信號？12．有一項活動，需要在3名老師、8名男同學和5名女同學中選人參加.（1）若只需選1人參加，則有多少種不同的選法？（2）若需要老師、男同學、女同學各1人參加，則有多少種不同的選法？（3）若需要1名老師、1名學生參加，則有多少種不同的選法？答案解析一、選擇題1．完成一項工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外有4個人只會第二種方法，從這9個人中選1個人完成這項工作，則不同的選法共有（）A．5種B．4種C．9種D．45種【答案】C【解析】會用第一種方法的有5個人，選1個人完成這項工作有5種選擇；會用第二種方法的有4個人，選1個人完成這項工作有4種選擇；兩者相加一共有9種選擇，故選：C.2．2019年9月1日蘭州地鐵一號線正式開通，兩位同學同時去乘坐地鐵，一列地鐵有節(jié)車廂，兩人進入車廂的方法數(shù)共有（）A．種B．種C．種D．種【答案】C【詳解】每位同學都可以進入地鐵中的任何一節(jié)車廂，每個人都有6種方法，所以兩人進入車廂的方法數(shù)共有種方法.故選：C3．為響應(yīng)國家“節(jié)約糧食”的號召，某同學決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時積極踐行“光盤行動”，則不同的選取方法有（）A．48種B．36種C．24種D．12種【答案】B【詳解】解：由題意可知，分三步完成：第一步，從2種主食中任選一種有2種選法；第二步，從3種素菜中任選一種有3種選法；第三步，從6種葷菜中任選一種有6種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有不同的選取方法，故選：B4．某電商為某次活動設(shè)計了“和諧”、“愛國”、“敬業(yè)”三種紅包，活動規(guī)定每人可以依次點擊4次，每次都會獲得三種紅包的一種，若集全三種即可獲獎，但三種紅包出現(xiàn)的順序不同對應(yīng)的獎次也不同員工甲按規(guī)定依次點擊了4次，直到第4次才獲獎則他獲得獎次的不同情形種數(shù)為A．9B．12C．18D．24【答案】C【詳解】根據(jù)題意，若員工甲直到第4次才獲獎，則其第4次才集全“和諧”、“愛國”、“敬業(yè)”三種紅包，則甲第4次獲得的紅包有3種情況，前三次獲得的紅包為其余的2種，有種情況，則他獲得獎次的不同情形種數(shù)為種；故選C．5．國古代十進制的算籌計數(shù)法，在數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍.如圖，是利用算籌表示1-9的一種方法.則據(jù)此，3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1-9這9數(shù)字表示的兩位數(shù)的個數(shù)為（）A．9B．13C．16D．18【答案】C【詳解】根據(jù)題意，現(xiàn)有6根算籌，可以表示的數(shù)字組合為1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；數(shù)字組合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每組可以表示2個兩位數(shù)，則可以表示個兩位數(shù)；數(shù)字組合3、3，7、7，每組可以表示1個兩位數(shù)，則可以表示個兩位數(shù)；則一共可以表示個兩位數(shù).故選:C6．（多選題）某校實行選課走班制度，張毅同學選擇的是地理、生物、政治這三科，且生物在B層，該校周一上午選課走班的課程安排如下表所示，張毅選擇三個科目的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習，則下列說法正確的是（）第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)地理1班化學A層3班地理2班化學A層4班生物A層1班化學B層2班生物B層2班歷史B層1班物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班政治1班物理A層3班政治2班政治3班A．此人有4種選課方式B．此人有5種選課方式C．自習不可能安排在第2節(jié)D．自習可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)【答案】BD【詳解】由于生物在B層，只有第2，3節(jié)有，故分兩類：若生物選第2節(jié)，則地理可選第1節(jié)或第3節(jié)，有2種選法，其他兩節(jié)政治、自習任意選，故有種（此種情況自習可安排在第1、3、4節(jié)中的某節(jié)）；若生物選第3節(jié)，則地理只能選第1節(jié)，政治只能選第4節(jié)，自習只能選第2節(jié)，故有1種．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得選課方式有種．綜上，自習可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)．故選：BD.二、填空題7．如圖，在由電鍵組A與B組成的串聯(lián)電路（規(guī)定每組電鍵只能合上其中的一個電鍵）中，接通電源使燈泡發(fā)光的方法有______種．【答案】6【詳解】要完成的“一件事”是“使燈泡發(fā)光”，只有先合上A組中2個電鍵中的任意一個，再合上B組中3個電鍵中的任意一個時，接通電源，燈泡才能發(fā)光．因此要完成這件事，需要分步，只有各個步驟都完成才能使燈泡發(fā)光，所以接通電源使燈泡發(fā)光的方法有種．7．已知某體育場有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為__.【答案】12【詳解】根據(jù)題意，某體育場有4個門，從一個門進，有4種走法，另一個門出，有3種走法，則有種不同的走法.8．個人參加、、跑的決賽，同一個項目中，并列冠軍的情況不發(fā)生，則冠軍分配的不同情況有________種.【答案】【解析】由題意可知，每個冠軍都有種可能，由分步乘法計數(shù)原理可知，冠軍分配的不同情況種.10．2020年初，湖北面臨醫(yī)務(wù)人員不足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，廈門人民心系湖北，志愿者紛紛馳援，若將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生志愿者分配到A，B兩家醫(yī)院（每人去一家，每家醫(yī)院至少安排1人），且甲醫(yī)生不安排在A醫(yī)院，則共有___種分配方案.【答案】7【解析】甲只能安排在醫(yī)院，乙、丙、丁3名醫(yī)生共有種安排方法，其中乙、丙、丁3名醫(yī)生都安排在醫(yī)院不合題意，所以符合題意的分配方案共有種.三、解答題11．有紅、黃、藍旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗桿上縱向排列，表示不同的信號，順序不同也表示不同的信號，共可以組成多少種不同的信號？【詳解】每次升1面旗可組成3種不同的信號；每次升2面旗可組成種不同的信號；每次升3面旗可組成種不同的信號，根據(jù)分類加法計數(shù)原理得，共可組成種不同的信號.12．有一項活動，需要在3名老師、8名男同學和5名女同學中選人參加.（1）若只需選1人參加，則有多少種不同的選法？（2）若需要老師、男同學、女同學各1人參加，則有多少種不同的選法？（3）若需要1名老師、1名學生參加，則有多少種不同的選法？【解析】（1）需一人參加，有三類：第一類選老師，有3種不同的選法；第二類選男生，有8種不同的選法；第三類選女生，有5種不同的選法.共有種不同的選法；（2）需老師、男同學、女同學各一人，則分3步，第一步選老師，有3種不同的選法；第二步選男生，有8種不同的選法；第三步選女生，有5種不同的選法.共有種不同的選法；（3）第一步選老師有3種不同的選法，第二步選學生有種不同的選法，共有種不同的選法.《6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(2)》基礎(chǔ)訓練一、選擇題1．求是中學的教學樓共有5層，每層均有兩個樓梯，某同學從一樓上到五樓可能的走法有（）A．10種B．16種C．25種D．32種2．一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成，一個程序模塊從開始到結(jié)束的路線稱為該程序模塊的執(zhí)行路徑.如圖是一個計算機程序模塊，則該程序模塊的不同的執(zhí)行路徑的條數(shù)是（）A．6B．14C．49D．843．如圖所示，A地到E地要鋪設(shè)一條煤氣管道，其中需經(jīng)過三級中間站，兩點之間的連線上的數(shù)字表示距離.則從A地到E地鋪設(shè)煤氣管道最短距離是（）A．19B．21C．22D．234．天河區(qū)某校開展學農(nóng)活動時進行勞動技能比賽，通過初選，選出甲?乙?丙?丁?戊共5名同學進行決賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”；對乙說“你當然不是最差的”，試從這個回答中分析這5人的名次排列順序可能出現(xiàn)的種類有（）A．54種B．60種C．72種D．96種5．過三棱柱中任意兩個頂點連線作直線，在所有這些直線連線中構(gòu)成異面直線的對數(shù)為（）A．18B．30C．36D．546．（多選題）現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每名同學只能選擇一個工），且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（）A．所有可能的方法有種B．若工廠甲必須有同學去，則不同的安排方法有37種C．若同學A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種D．若三名同學所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種二、填空題7．3科老師都布置了作業(yè)，在同一時刻4名學生都做作業(yè)的可能情況有_______種.8．假設(shè)今天是4月23日，某市未來六天的空氣質(zhì)量預報情況如圖所示.該市有甲、乙、丙三人計劃在未來六天（4月24日～4月29日）內(nèi)選擇一天出游，甲只選擇空氣質(zhì)量為優(yōu)的一天出游，乙不選擇周一出游，丙不選擇明天出游，且甲與乙不選擇同一天出游，則這三人出游的不同方法數(shù)為________.未來空氣質(zhì)量預報明天后天周日周一周二周三4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)良良9．回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種.用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián):“客上天然居，居然天上客;人過大佛寺，寺佛大過人.”在數(shù)學中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的自然數(shù)，稱之為:“回文數(shù)”.如44，585，2662等，那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為_______.10．5400的正約數(shù)有______個三、解答題11．現(xiàn)某學校共有34人自愿組成數(shù)學建模社團，其中高一年級13人，高二年級12人,高三年級9人.(1)選其中一人為負責人，共有多少種不同的選法？(2)每個年級選一名組長，有多少種不同的選法？(3)選兩人作為社團發(fā)言人,這兩人需要來自不同的年級，有多少種不同的選法？12．數(shù)學上的“四色問題”，是指“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有公共邊界的國家著上不同的顏色?！保F(xiàn)有五種顏色供選擇，涂色我國西部五省，要求每省涂一色，相鄰各省不同色，有多少種涂色方法．答案解析一、選擇題1．求是中學的教學樓共有5層，每層均有兩個樓梯，某同學從一樓上到五樓可能的走法有（）A．10種B．16種C．25種D．32種【答案】B【詳解】走法共分四步：一層到二層2種，二層到三層2種，三層到四層2種，四層到五層2種，一共種.2．一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成，一個程序模塊從開始到結(jié)束的路線稱為該程序模塊的執(zhí)行路徑.如圖是一個計算機程序模塊，則該程序模塊的不同的執(zhí)行路徑的條數(shù)是（）A．6B．14C．49D．84【答案】C【詳解】由分類加法計數(shù)原理，子模塊1或子模塊2或子模塊3的子路徑共有條；子模塊4或子模塊5中的子路徑共有條，由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的不同執(zhí)行路徑共有條，故選：C3．如圖所示，A地到E地要鋪設(shè)一條煤氣管道，其中需經(jīng)過三級中間站，兩點之間的連線上的數(shù)字表示距離.則從A地到E地鋪設(shè)煤氣管道最短距離是（）A．19B．21C．22D．23【答案】A【詳解】對各個路線進行計算可得，由到到到到，距離共19為最短距離.4．天河區(qū)某校開展學農(nóng)活動時進行勞動技能比賽，通過初選，選出甲?乙?丙?丁?戊共5名同學進行決賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”；對乙說“你當然不是最差的”，試從這個回答中分析這5人的名次排列順序可能出現(xiàn)的種類有（）A．54種B．60種C．72種D．96種【答案】A【詳解】由題意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3種情況，再排甲，也有3種情況，余下3人有種情況，利用分步相乘計數(shù)原理知有種情況，故選：A.5．過三棱柱中任意兩個頂點連線作直線，在所有這些直線連線中構(gòu)成異面直線的對數(shù)為（）A．18B．30C．36D．54【答案】C【詳解】解：如圖，分以下幾類：棱柱側(cè)棱與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線有：對；棱柱側(cè)棱與側(cè)面對角線之間所構(gòu)成的異面直線有：對；底面邊與側(cè)面對角線之間所構(gòu)成的異面直線有：對；底面邊與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線有：對；側(cè)面對角線與側(cè)面對角線之間所構(gòu)成的異面直線有：對；所以共有對.故選：C.6．（多選題）現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每名同學只能選擇一個工），且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（）A．所有可能的方法有種B．若工廠甲必須有同學去，則不同的安排方法有37種C．若同學A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種D．若三名同學所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種【答案】BCD【詳解】所有可能的方法有種，A錯誤.對于B，分三種情況：第一種：若有1名同學去工廠甲，則去工廠甲的同學情況為3種，另外兩名同學的安排方法有種，此種情況共有種，第二種：若有兩名同學去工廠甲，則同學選派情況有3種，另外一名同學的排法有3種，此種情況共有種，第三種情況，若三名同學都去工甲，此種情況唯一，則共有種安排方法，B正確.對于C，若A必去甲工廠，則B，C兩名同學各有4種安排，共有種安排，C正確.對于D，若三名同學所選工廠各不同，則共有種安排，D正確.二、填空題7．3科老師都布置了作業(yè)，在同一時刻4名學生都做作業(yè)的可能情況有_______種.【答案】81【詳解】因為3科老師都布置了作業(yè)，在同一時刻每個學生做作業(yè)的情況有3種可能，所以4名學生都做作業(yè)的可能情況3×3×3×3=81種．8．假設(shè)今天是4月23日，某市未來六天的空氣質(zhì)量預報情況如圖所示.該市有甲、乙、丙三人計劃在未來六天（4月24日～4月29日）內(nèi)選擇一天出游，甲只選擇空氣質(zhì)量為優(yōu)的一天出游，乙不選擇周一出游，丙不選擇明天出游，且甲與乙不選擇同一天出游，則這三人出游的不同方法數(shù)為________.未來空氣質(zhì)量預報明天后天周日周一周二周三4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)良良【答案】85【詳解】若甲選擇周一出游，則三人出游的不同方法數(shù)；若甲不選擇周一出游，則三人出游的不同方法數(shù).故這三人出游的不同方法數(shù).9．回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種.用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián):“客上天然居，居然天上客;人過大佛寺，寺佛大過人.”在數(shù)學中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的自然數(shù)，稱之為:“回文數(shù)”.如44，585，2662等，那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為_______.【答案】【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①4位“回文數(shù)”中數(shù)字全部相同，有6種情況，即此時有6個4位“回文數(shù)”；②4位“回文數(shù)”中有2個不同的數(shù)字，有種情況，即此時有30個4位“回文數(shù)”；則一共有個4位“回文數(shù)”．10．5400的正約數(shù)有______個【答案】48【詳解】，5400的正約數(shù)一定是由2的冪與3的冪和5的冪相乘的結(jié)果，所以正約數(shù)個數(shù)為．三、解答題11．現(xiàn)某學校共有34人自愿組成數(shù)學建模社團，其中高一年級13人，高二年級12人,高三年級9人.(1)選其中一人為負責人，共有多少種不同的選法？(2)每個年級選一名組長，有多少種不同的選法？(3)選兩人作為社團發(fā)言人,這兩人需要來自不同的年級，有多少種不同的選法？【詳解】（1）根據(jù)題意，選其中一人為負責人，有3種情況，若選出的是高一學生，有13種情況，若選出的是高二學生，有12種情況，若選出的是高三學生，有9種情況，由分類計數(shù)原理可得，共有12+13+9＝34種選法．（2）根據(jù)題意，從高一學生中選出1人，有13種情況；從高二學生中選出1人，有12種情況；從高三學生中選出1人，有9種情況；由分步計數(shù)原理，可得共有12×13×9＝1404種選法．（3）根據(jù)題意，分三種情況討論：若選出的是高一、高二學生，有12×13＝156種情況，若選出的是高一、高三學生，有13×9＝117種情況，若選出的是高二、高三學生，有12×9＝108種情況，由分類計數(shù)原理可得，共有156+117+108＝381種選法．12．數(shù)學上的“四色問題”，是指“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有公共邊界的國家著上不同的顏色?！?，現(xiàn)有五種顏色供選擇，涂色我國西部五省，要求每省涂一色，相鄰各省不同色，有多少種涂色方法．【詳解】對于新疆有5種涂色的方法，對于青海有4種涂色方法，對于西藏有3種涂色方法，對于四川：若與新疆顏色相同，則有1種涂色方法，此時甘肅有3種涂色方法；若四川與新疆顏色不相同，則四川只有2種涂色方法，此時甘肅有2種涂色方法；根據(jù)分步、分類計數(shù)原理，則共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420種方法．《6.2.1排列與排列數(shù)》基礎(chǔ)訓練一、選擇題1．下列問題中屬于排列問題的是（）．A．從個人中選出人去勞動B．從個人中選出2人去參加數(shù)學競賽C．從班級內(nèi)名男生中選出人組成一個籃球隊D．從數(shù)字5、、、中任取2個不同的數(shù)做中的底數(shù)與真數(shù)2．可表示為（）A．B．C．D．3．已知，則（）．A．B．C．D．4．某節(jié)目組決定把《將進酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場做節(jié)目開場詩詞，并要求《將進酒》與《望岳》相鄰，且《將進酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后六場開場詩詞的排法有（）A．72種B．48種C．36種D．24種5．（多選題）5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)可以是（）A．B．60C．72D．6．（多選題）對于正整數(shù)，定義“”如下：當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；則下列命題中正確的是（）A.B.C.的個位數(shù)是0D.的個位數(shù)是5二、填空題7．54_____.8．用數(shù)字1，2，3，4，6可以組成無重復數(shù)字的五位偶數(shù)有______個.(用數(shù)字作答)9．省實驗中學為預防秋季流感爆發(fā)，計劃安排學生在校內(nèi)進行常規(guī)體檢，共有3個檢查項目，需要安排在3間空教室進行檢查，學?，F(xiàn)有一排6間的空教室供選擇使用，但是為了避免學生擁擠，要求作為檢查項目的教室不能相鄰，則共有______種安排方式.(用數(shù)字作答)10．某年級舉辦線上小型音樂會，由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目丙必須排在節(jié)目乙的下一個，則該小型音樂會節(jié)目演出順序的編排方案共有______種.(用數(shù)字作答)三、解答題11.（1）解不等式；（2）解方程.12．一場小型晚會有個唱歌節(jié)目和個相聲節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單．（1）個相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？（2）第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？（3）前個節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？答案解析一、選擇題1．下列問題中屬于排列問題的是（）．A．從個人中選出人去勞動B．從個人中選出2人去參加數(shù)學競賽C．從班級內(nèi)名男生中選出人組成一個籃球隊D．從數(shù)字5、、、中任取2個不同的數(shù)做中的底數(shù)與真數(shù)【答案】D【詳解】A.從個人中選出人去勞動，與順序無關(guān)，故錯誤；B.從個人中選出2人去參加數(shù)學競賽，與順序無關(guān)，故錯誤；C.從班級內(nèi)名男生中選出人組成一個籃球隊，與順序無關(guān)，故錯誤；D.從數(shù)字5、、、中任取2個不同的數(shù)做中的底數(shù)與真數(shù)，底數(shù)與真數(shù)位置不同，即與順序有關(guān)，故正確；故選：D2．可表示為（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】.3．已知，則（）．A．B．C．D．【答案】C【詳解】，則，約分得：，解得：，經(jīng)檢驗滿足題意．4．某節(jié)目組決定把《將進酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場做節(jié)目開場詩詞，并要求《將進酒》與《望岳》相鄰，且《將進酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后六場開場詩詞的排法有（）A．72種B．48種C．36種D．24種【答案】C【詳解】首先可將《將進酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進行全排列，共有種排法，再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在3個空里(最后一個空不排)，共有種排法，則后六場開場詩詞的排法有種，故選：C.5．（多選題）5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)可以是（）A．B．60C．72D．【答案】AC【詳解】先除去甲、乙兩人，將剩下的3人全排，共=3×2×1=6種不同的排法，再將甲、乙兩人從產(chǎn)生的4個空中選2個插入共=12種不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是=6×12=72，故選：AC．6．（多選題）對于正整數(shù)，定義“”如下：當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；則下列命題中正確的是（）A.B.C.的個位數(shù)是0D.的個位數(shù)是5【答案】ABCD【詳解】A.，正確；B.，正確；C.的個位數(shù)是0，正確；D.的個位數(shù)是5；正確的是ABCD．二、填空題7．54_____.【答案】348【詳解】.8．數(shù)字1，2，3，4，6可以組成無重復數(shù)字的五位偶數(shù)有______個.(用數(shù)字作答)【答案】72【詳解】滿足條件的五位偶數(shù)有：.9．省實驗中學為預防秋季流感爆發(fā)，計劃安排學生在校內(nèi)進行常規(guī)體檢，共有3個檢查項目，需要安排在3間空教室進行檢查，學?，F(xiàn)有一排6間的空教室供選擇使用，但是為了避免學生擁擠，要求作為檢查項目的教室不能相鄰，則共有______種安排方式.(用數(shù)字作答)【答案】24【詳解】6間空教室，有3個空教室不使用，故可把作為檢查項目的教室插入3個不使用的教室之間，故所有不同的安排方式的總數(shù)為.10．某年級舉辦線上小型音樂會，由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目丙必須排在節(jié)目乙的下一個，則該小型音樂會節(jié)目演出順序的編排方案共有______種.(用數(shù)字作答)【答案】42【詳解】由題意知，甲的位置影響乙的排列，∴①甲排在第一位共有種，②甲排在第二位共有種，∴故編排方案共有種.故答案為：42.三、解答題11.（1）解不等式；（2）解方程.【答案】（1）8(2)3【解析】（1）由，得，化簡得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，①又∴2<x≤8，②由①②及x∈N*得x＝8.（2）因為所以x≥3，，由得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2).化簡得，4x2－35x＋69＝0，解得x1＝3，(舍去).所以方程的解為x＝3.12．一場小型晚會有個唱歌節(jié)目和個相聲節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單．（1）個相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？（2）第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？（3）前個節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？【詳解】（1）把兩個相聲節(jié)目捆綁在一起作為一個節(jié)目與其他節(jié)目排列共有排法；（2）選兩個唱歌節(jié)目排在首尾，剩下的3個節(jié)目在中間排列，排法為；（3）5個節(jié)目全排列減去后兩個都是相聲的排法，共有．《6.2.2組合與組合數(shù)》基礎(chǔ)訓練一、選擇題1．從10名學生中挑選出3名學生參加數(shù)學競賽，不同的選法有（）A．種B．3！C．種D．以上均不對2．下列計算結(jié)果是的是（）.A．B．C．D．3．若6個人分4張無座的足球門票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同分法的種數(shù)是（）A．B．C．15D．3604．已知n，，，下面哪一個等式是恒成立的（）A．B．C．D．5．（多選題）若，則x的值為（）A．4B．5C．6D．76．（多選題）已知+0！=4，則m的值可以是（）A．1B．2C．3D．4二、填空題7．若，則______.8．以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有______個.9．為了獎勵班上進步大的8名學生，班主任購買了5本相同的書和3本相同的筆記本作為獎品分發(fā)給這8名學生，每人一件，則不同的分法有_________種．10．古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火土之間相生相克的關(guān)系，如圖所示，現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，則取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系的概率為________三、解答題11．已知，.（1）求x的值；（2）求的值.12．一個口袋內(nèi)有3個不同的紅球，4個不同的白球（1）從中任取3個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取4個球，使總分不少于6分的取法有多少種？答案解析一、選擇題1．從10名學生中挑選出3名學生參加數(shù)學競賽，不同的選法有（）A．種B．3！C．種D．以上均不對【答案】C【詳解】根據(jù)組合數(shù)的概念可知C選項正確.2．下列計算結(jié)果是的是（）.A．B．C．D．【答案】D【詳解】，，，.3．若6個人分4張無座的足球門票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同分法的種數(shù)是（）A．B．C．15D．360【答案】C【詳解】因為是無座的足球門票，所以可以看成相同的元素，因此可以看成組合問題，則有.故選：C4．已知n，，，下面哪一個等式是恒成立的（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由組合數(shù)的定義可知，A選項錯誤；由排列數(shù)的定義可知，B選項正確；由組合數(shù)的性質(zhì)可知，則C、D選項均錯誤.故選B.5．（多選題）若，則x的值為（）A．4B．5C．6D．7【答案】AC【詳解】因為，所以或，解得或，故選：AC.6．（多選題）已知+0！=4，則m的值可以是（）A．1B．2C．3D．4【答案】BC【詳解】∵+0！=4，∴=6．當m=2時成立；當m=3時也成立．故選：BC．二、填空題7．若，則______.【答案】190【解析】則，所以8．以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有______個.【答案】64【解析】正方體的個頂點中任取個共有個，不能組成四面體的個頂點有，已有個面，對角面有個，所以以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有個，故選9．為了獎勵班上進步大的8名學生，班主任購買了5本相同的書和3本相同的筆記本作為獎品分發(fā)給這8名學生，每人一件，則不同的分法有_________種．【答案】56【詳解】解：根據(jù)題意，5本相同的書和3本相同的筆記本發(fā)給8名學生，每人1本，需要在8人中任選3人，領(lǐng)取筆記本，剩下5人領(lǐng)取書即可，則有種不同的分法.10．古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火土之間相生相克的關(guān)系，如圖所示，現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，則取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系的概率為________【答案】【詳解】解：古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火土之間相生相克的關(guān)系，現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，基本事件總數(shù)，取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5種，則取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系的概率為．三、解答題11．已知，.（1）求x的值；（2）求的值.【詳解】（1）由已知得：，化簡得：，解得或，又因為，所以.（2）將代入得.12．一個口袋內(nèi)有3個不同的紅球，4個不同的白球（1）從中任取3個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取4個球，使總分不少于6分的取法有多少種？【詳解】解:(1)從中任取個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法：紅球個，紅球個和白球個.當取紅球個時，取法有種；當取紅球個和白球個時，.取法有種.根據(jù)分類計數(shù)原理,紅球的個數(shù)不少于白球的個數(shù)的取法有種.(2)使總分不少于分情況有兩種：紅球個和白球個，紅球個和白球個.第一種，紅球個和白球個，取法有種;第二種，紅球個和白球個，取法有種,根據(jù)分類計數(shù)原理，使總分不少于分的取法有種.《6.3.1二項式定理》基礎(chǔ)訓練一、選擇題1．（在的展開式中，的系數(shù)為（）A．6B．12C．24D．482．化簡（）A．B．C．D．3．二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩度克·牛頓于年?年間提出，據(jù)考證，我國至遲在世紀，北宋數(shù)學家賈憲就已經(jīng)知道了二項式系數(shù)法則，在的二項式展開式中，的系數(shù)為（）A．B．C．D．4．的展開式中常數(shù)項為（）A．10B．C．5D．5.（多選題）若的展開式中存在常數(shù)項，則n的取值可以是（）A．3B．4C．5D．66．（多選題）若二項式展開式中的常數(shù)項為15，則實數(shù)m的值可能為（）A．1B．－1C．2D．－2二、填空題7．展開=_____．8．在二項式的展開式中，的系數(shù)為__________．9．若的展開式中的系數(shù)是，則．10．的展開式的常數(shù)項是________．三、解答題11．已知，設(shè)．（1）求的值；（2）求的展開式中的常數(shù)項．12．在二項式的展開式中，（1）求展開式中含項的系數(shù)：（2）如果第項和第項的二項式系數(shù)相等，試求的值.答案解析一、選擇題1．在的展開式中，的系數(shù)為（）A．6B．12C．24D．48【答案】B【詳解】展開式的通項為，由，解得，則的系數(shù)為，故選：B2．化簡（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】.3．二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩度克·牛頓于年?年間提出，據(jù)考證，我國至遲在世紀，北宋數(shù)學家賈憲就已經(jīng)知道了二項式系數(shù)法則，在的二項式展開式中，的系數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】展開式的通項為，令，解得，所以二項式展開式中，的系數(shù)為.4．的展開式中常數(shù)項為（）A．10B．C．5D．【答案】B【詳解】要求的展開式中的常數(shù)項，只需求的展開式中的系數(shù).因為的展開式中的系數(shù)為，所以的展開式中常數(shù)項為.5.（多選題）若的展開式中存在常數(shù)項，則n的取值可以是（）A．3B．4C．5D．6【答案】BD【詳解】因為的展開式的第項為，若的展開式中存在常數(shù)項，則只需，即，又，，所以只需為正偶數(shù)即可，故AC排除，BD可以取得；故選：BD.6．（多選題）若二項式展開式中的常數(shù)項為15，則實數(shù)m的值可能為（）A．1B．－1C．2D．－2【答案】AB【詳解】二項式展開式的通項為，，令，得，常數(shù)項為，，得，故答案為.二、填空題7．展開=_____．【答案】【詳解】．8．在二項式的展開式中，的系數(shù)為__________．【答案】.【詳解】結(jié)合二項式定理的通項公式有：，令可得：，則的系數(shù)為：.9．若的展開式中的系數(shù)是，則．【答案】1【詳解】展開式的的通項為，令，的展開式中的系數(shù)為.10．的展開式的常數(shù)項是________．【答案】【詳解】，的展開式通項為，所以，的展開式通項為，由，可得，因此，的展開式的常數(shù)項為.三、解答題11．已知，設(shè)．（1）求的值；（2）求的展開式中的常數(shù)項．【詳解】（1）由已知得：，解得:．（2）展開式的通項為由得，即的展開式中的常數(shù)項為．12．在二項式的展開式中，（1）求展開式中含項的系數(shù)：（2）如果第項和第項的二項式系數(shù)相等，試求的值.【詳解】(1)設(shè)第項為，令解得，故展開式中含項的系數(shù)為.(2)∵第項的二項式系數(shù)為，第項的二項式系數(shù)為，∵，故或，解得或.《6.3.2二項式系數(shù)的性質(zhì)》基礎(chǔ)訓練一、選擇題1．在的展開式中，第2項與第6項的二項式系數(shù)相等，則（）A．6B．7C．8D．92．已知的展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為，則（）A．4B．5C．6D．73．已知，的展開式中二項式系數(shù)的和為128，則展開式中的系數(shù)是（）A．7B．C．21D．4．已知的展開式中常數(shù)項為45，則展開式中系數(shù)最大的是（）A．第2項B．第4項C．第5項D．第6項5．（多選題）對于展開式的二項式系數(shù)下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．當為偶數(shù)時，D．6．（多選題）關(guān)于多項式的展開式，下列結(jié)論正確的是（）A．各項系數(shù)之和為1B．二項式系數(shù)之和為C．存在常數(shù)項D．的系數(shù)為12二、填空題7．已知的展開式中各項的二項式系數(shù)的和為128，則這個展開式中項的系數(shù)是______．8．的展開式中第三項和第四項的二項式系數(shù)同時取最大，則展開式的常數(shù)項為______.9．已知展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為，則________．（用數(shù)字作答）10．若二項式展開式的二項式系數(shù)之和為32，常數(shù)項為10，則________；二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是________．三、解答題11．在二項式的展開式中，________．給出下列條件：①若展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為256；③若展開式中第7項為常數(shù)項．試在上面三個條件中選擇一個補充在上面的橫線上，并且完成下列問題：（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式的常數(shù)項．（備注：如果多個條件分別解得，按第一個條件計分）12．已知，求：（1）；（2）；（3）；（4）．答案解析一、選擇題1．在的展開式中，第2項與第6項的二項式系數(shù)相等，則（）A．6B．7C．8D．9【答案】A【詳解】由已知得，可知，故選：A.2．已知的展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為，則（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【詳解】二項式的各項系數(shù)的和為，二項式的各項二項式系數(shù)的和為，因為各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為，所以，.故選：C.3．已知，的展開式中二項式系數(shù)的和為128，則展開式中的系數(shù)是（）A．7B．C．21D．【答案】C【詳解】由題意，二項式的展開式中二項式系數(shù)的和為128，可得，解得，所以二項式，則展開式的通項為，當時，可得，所以展開式中的系數(shù)是.故選：C.4．已知的展開式中常數(shù)項為45，則展開式中系數(shù)最大的是（）A．第2項B．第4項C．第5項D．第6項【答案】D【詳解】展開式的通項.令，解得，所以展開式中的常數(shù)項為，又，所以，所以即，其展開式共有11項，且正中間一項的二項式系數(shù)最大，又展開式中的二項式系數(shù)與對應(yīng)項的系數(shù)相同，所以展開式中第6項的系數(shù)最大，故選：D5．（多選題）對于展開式的二項式系數(shù)下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．當為偶數(shù)時，D．【答案】ABC【詳解】對于A，由組合數(shù)的運算直接可得，故A正確；對于B，由楊輝三角直接可得，故B正確；對于C，二項式展開式中，令，不論為奇數(shù)還是偶數(shù)，都可得，故C正確；對于D，由選項C可知，故D錯誤.故選：ABC6．（多選題）關(guān)于多項式的展開式，下列結(jié)論正確的是（）A．各項系數(shù)之和為1B．二項式系數(shù)之和為C．存在常數(shù)項D．的系數(shù)為12【答案】ABC【詳解】對于A，令，則可得各項系數(shù)之和為，故A正確；對于B，二項式系數(shù)之和為，故B正確；對于C，的展開式的通項公式為，令，解得，即常數(shù)項為第四項，故C正確；對于D，，令，解得，則的系數(shù)為，故D錯誤.故選：ABC.二、填空題7．已知的展開式中各項的二項式系數(shù)的和為128，則這個展開式中項的系數(shù)是______．【答案】84【詳解】依題意，，解得n=7，的展開式的通項為，由得，所以所求展開式中項的系數(shù)是.8．的展開式中第三項和第四項的二項式系數(shù)同時取最大，則展開式的常數(shù)項為______.【答案】10【詳解】因為的展開式中第三項和第四項的二項式系數(shù)同時取最大，所以，解得，展開式的通項公式為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為.9．已知展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為，則______________．（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】由已知條件可知二項式系數(shù)和為，可得，令，則.10．若二項式展開式的二項式系數(shù)之和為32，常數(shù)項為10，則________；二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是________．【答案】7；40或80【詳解】因為二項式展開式的二項式系數(shù)之和為32，所以，展開式的通項為，令，得，故常數(shù)項為，則.二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為或.三、解答題11．在二項式的展開式中，________．給出下列條件：①若展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為256；③若展開式中第7項為常數(shù)項．試在上面三個條件中選擇一個補充在上面的橫線上，并且完成下列問題：（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式的常數(shù)項．（備注：如果多個條件分別解得，按第一個條件計分）【答案】答案見解析【詳解】解：選擇①：，即，即，即，解得或（舍去）選擇②：，即，解得．選擇③：，則有，所以．因為展開式中第7項為常數(shù)項，即，所以．（1）展開式中二項式系數(shù)最大的項為第5和第6項，，．（2）展開式通項為：，令，∴，∴展開式中常數(shù)項為第7項，常數(shù)項為．12．已知，求：（1）；（2）；（3）；（4）．【詳解】令則①，令則②，令則③，（1）②-①得：，（2）(②-③)得：，（3）(②+③)得：，(4)．《7.1.1條件概率》基礎(chǔ)訓練一、選擇題1．把一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件為“兩次所得點數(shù)均為奇數(shù)”，為“至少有一次點數(shù)是5”，則等于（）A．B．C．D．2．一個盒子中裝有個完全相同的小球，將它們進行編號，號碼分別為、、、、、，從中不放回地隨機抽取個小球，將其編號之和記為.在已知為偶數(shù)的情況下，能被整除的概率為（）A．B．C．D．3．下圖展現(xiàn)給我們的是唐代著名詩人杜牧寫的《清明》，這首詩不僅意境極好，而且還準確地描述出了清明時節(jié)的天氣狀況，那就是“雨紛紛”，即天氣多陰雨．某地區(qū)氣象監(jiān)測資料表明，清明節(jié)當天下雨的概率是0.9，連續(xù)兩天下雨的概率是0.63，若該地某年清明節(jié)當天下雨，則隨后一天也下雨的概率是（）A．0.63B．0.7C．0.9D．0.5674．已知盒中裝有3只螺口燈池與9只卡口燈泡，這些燈泡的外形都相同且燈口向下放若，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只且不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為（）A．B．C．D．5．學校從高一?高二?高三中各選派10名同學參加報告會，其中三個年級參會同學中女生人數(shù)分別為5?6?7，學習后學校隨機選取一名同學匯報學習心得，結(jié)果選出一名女同學，則該名女同學來自高三年級的概率為（）A．B．C．D．6．（多選題）甲罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球；乙罐中有5個紅球，3個白球和2個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列的結(jié)論：其中正確結(jié)論的為（）A．B．C．事件與事件不相互獨立D．，，是兩兩互斥的事件二、填空題7．若一個樣本空間，令事件，，則___________．8．某盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球，4只舊球，不放回地依次摸出2個球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為_______．9．近年來，新能源汽車技術(shù)不斷推陳出新，新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn)，在汽車市場上影響力不斷增大.動力蓄電池技術(shù)作為新能源汽車的核心技術(shù)，它的不斷成熟也是推動新能源汽車發(fā)展的主要動力.假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車上，車載動力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達到2000次的概率為85%，充放電循環(huán)次數(shù)達到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電，那么他的車能夠充電2500次的概率為______.10．電報發(fā)射臺發(fā)出“·”和“–”的比例為5∶3，由于干擾，傳送“·”時失真的概率為，傳送“–”時失真的概率為，則接受臺收到“·”時發(fā)出信號恰是“·”的概率為________.三、解答題11．某校從學生文藝部6名成員（4男2女）中，挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動.（1）求男生甲被選中的概率；（2）在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率；（3）在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率.12．袋子中放有大小、形狀均相同的小球若干．其中標號為0的小球有1個，標號為1的小球有2個，標號為2的小球有個．從袋子中任取兩個小球，取到的標號都是2的概率是．（1）求的值；（2）從袋子中任取兩個小球，若其中一個小球的標號是1，求另一個小球的標號也是1的概率．答案解析一、選擇題1．把一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件為“兩次所得點數(shù)均為奇數(shù)”，為“至少有一次點數(shù)是5”，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】事件為“兩次所得點數(shù)均為奇數(shù)”，則事件為，，，，，，，，，故；為“至少有一次點數(shù)是5”，則事件為，，，，，，所以.故選：B.2．一個盒子中裝有個完全相同的小球，將它們進行編號，號碼分別為、、、、、，從中不放回地隨機抽取個小球，將其編號之和記為.在已知為偶數(shù)的情況下，能被整除的概率為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】記“能被整除”為事件，“為偶數(shù)”為事件，事件包括的基本事件有，，，，，共6個.事件包括的基本事件有、共2個.則，故選:B.3．下圖展現(xiàn)給我們的是唐代著名詩人杜牧寫的《清明》，這首詩不僅意境極好，而且還準確地描述出了清明時節(jié)的天氣狀況，那就是“雨紛紛”，即天氣多陰雨．某地區(qū)氣象監(jiān)測資料表明，清明節(jié)當天下雨的概率是0.9，連續(xù)兩天下雨的概率是0.63，若該地某年清明節(jié)當天下雨，則隨后一天也下雨的概率是（）A．0.63B．0.7C．0.9D．0.567【答案】B【詳解】記事件A表示“清明節(jié)當天下雨”，B表示“第二天下雨”，由題意可知，，所以．故選：B.4．已知盒中裝有3只螺口燈池與9只卡口燈泡，這些燈泡的外形都相同且燈口向下放置，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只且不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】方法一：因為電工師傅每次從中任取一只且不放回，且第1次抽到的是螺口燈泡，所以第1次抽到的是螺口燈泡，第2次抽到的是卡口燈泡的概率等價于：從裝有2只螺口燈池與9只卡口燈泡中抽取一只，恰為卡口燈泡的概率，即為，方法二：設(shè)事件A為：第1次抽到的是螺口燈泡，事件B為：第2次抽到的是卡口燈泡,則第1次抽到的是螺口燈泡，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為故選：C5．學校從高一?高二?高三中各選派10名同學參加報告會，其中三個年級參會同學中女生人數(shù)分別為5?6?7，學習后學校隨機選取一名同學匯報學習心得，結(jié)果選出一名女同學，則該名女同學來自高三年級的概率為（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】設(shè)事件A為“30人中抽出一名女同學”，事件為“30人中抽出一名高三同學”，則，，所以，故選：A.6．（多選題）甲罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球；乙罐中有5個紅球，3個白球和2個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列的結(jié)論：其中正確結(jié)論的為（）A．B．C．事件與事件不相互獨立D．，，是兩兩互斥的事件【答案】BCD【詳解】解：甲罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球；乙罐中有5個紅球，3個白球和2個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以、和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，對A，，故A錯誤；對B，，故B正確；對C，當發(fā)生時，，當不發(fā)生時，，事件與事件不相互獨立，故C正確；對D，，，不可能同時發(fā)生，故是兩兩互斥的事件，故D正確；故選：BCD．二、填空題7．若一個樣本空間，令事件，，則___________．【答案】【詳解】解：因為，令事件，，則，所以，，由條件概率公式得．8．某盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球，4只舊球，不放回地依次摸出2個球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為_______．【答案】【詳解】記第一次摸出新球為事件A，第二次取到新球為事件B，則.9．近年來，新能源汽車技術(shù)不斷推陳出新，新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn)，在汽車市場上影響力不斷增大.動力蓄電池技術(shù)作為新能源汽車的核心技術(shù)，它的不斷成熟也是推動新能源汽車發(fā)展的主要動力.假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車上，車載動力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達到2000次的概率為85%，充放電循環(huán)次數(shù)達到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電，那么他的車能夠充電2500次的概率為______.【答案】【詳解】記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：10．電報發(fā)射臺發(fā)出“·”和“–”的比例為5∶3，由于干擾，傳送“·”時失真的概率為，傳送“–”時失真的概率為，則接受臺收到“·”時發(fā)出信號恰是“·”的概率為________.【答案】【詳解】記事件為接收到“·”，事件為發(fā)出“·”且接收到“·”．則事件接受臺收到“·”時發(fā)出信號恰是“·”為，則，，．三、解答題11．某校從學生文藝部6名成員（4男2女）中，挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動.（1）求男生甲被選中的概率；（2）在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率；（3）在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率.【詳解】（1）記4名男生為A，B，C，D，2名女生為a，b，從6名成員中挑選2名成員，有，，，，，，，，，，，，，，共有15種情況，記“男生甲被選中”為事件M，不妨假設(shè)男生甲為A事件M所包含的基本事件數(shù)為，，，，共有5種，故．（2）記“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，不妨設(shè)女生乙為，則，又由（1）知，故．（３）記“挑選的2人一男一女”為事件，則，“女生乙被選中”為事件，，故．12．袋子中放有大小、形狀均相同的小球若干．其中標號為0的小球有1個，標號為1的小球有2個，標號為2的小球有個．從袋子中任取兩個小球，取到的標號都是2的概率是．（1）求的值；（2）從袋子中任取兩個小球，若其中一個小球的標號是1，求另一個小球的標號也是1的概率．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由題意得，解得或（舍去）．（2）記“其中一個小球的標號是1”為事件，“另一個小球的標號是1”為事件，則，,所以．《7.1.2全概率公式》基礎(chǔ)訓練一、選擇題1．設(shè)P(A|B)＝P(B|A)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(1,3)，則P(B)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)2．市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到的一個甲廠的合格燈泡的概率是()A．0.665B．0.564C．0.245D．0.2853．設(shè)甲乘汽車、火車前往某目的地的概率分別為0.6、0.4，汽車和火車正點到達目的地的概率分別為0.9、0.8，則甲正點到達目的地的概率為（）A．0.72B．0.96C．0.86D．0.844.設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的.且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為110,115,A.0.08B.0.1C.0.15D.0.25．播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，1%的四等種子．用一、二、三、四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1,0.05，則這批種子所結(jié)的穗含50顆以上麥粒的概率為()A．0.8B．0.8325C．0.5325D．0.48256．（多選題）下列說法一定不成立的是（）A．B．C．D．二、填空題7．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，則P(B|A)為________．8.5張彩票中僅有1張中獎彩票,5個人依次摸獎,則第二個人摸到中獎彩票的概率為________,第三個人摸到中獎彩票的概率為________.9．設(shè)盒中有m只紅球，n只白球，每次從盒中任取一只球，看后放回，再放入k只與所取顏色相同的球.若在盒中連取四次，則第一次，第二次取到紅球，第三次，第四次取到白球的概率為________.10.通信渠道中可傳輸?shù)淖址麨?，，三者之一，傳輸三者的概率分別為，，.由于通道噪聲的干擾，正確地收到被傳輸字符的概率為，收到其他字符的概率為，假定字符前后是否被歪曲互不影響．若收到的字符為，則傳輸?shù)淖址堑母怕蕿開_______．三、解答題11．一個盒子中有6個白球、4個黑球，從中不放回地每次任取1個，連取2次．求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．12．某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的且不區(qū)別標志.（1）在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的概率；（2）在倉庫中隨機地取一只元件，若已知取到的是次品，為分析此次品出自何廠，求此次品出自三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少？答案解析一、選擇題1．設(shè)P(A|B)＝P(B|A)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(1,3)，則P(B)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)【答案】B【詳解】P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，由P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，得P(B)＝eq\f(PAB,PA|B)＝eq\f(1,6)×2＝eq\f(1,3).2．市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到的一個甲廠的合格燈泡的概率是()A．0.665B．0.564C．0.245D．0.285【答案】A【詳解】記事件A為“甲廠產(chǎn)品”，事件B為“合格產(chǎn)品”，則P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.3．設(shè)甲乘汽車、火車前往某目的地的概率分別為0.6、0.4，汽車和火車正點到達目的地的概率分別為0.9、0.8，則甲正點到達目的地的概率為（）A．0.72B．0.96C．0.86D．0.84【答案】C【詳解】設(shè)事件A表示甲正點到達目的地，事件B表示甲乘火車到達目的地，事件C表示甲乘汽車到達目的地，由題意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故選：C4.設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的.且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為110,115,A.0.08B.0.1C.0.15D.0.2【答案】A【詳解】以A1,A2,A3分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的,B表示取得的X光片為次品,PA1=510,PA2=310,PA3=210,PB|A1=110,PB|A2=115,PB|A3=120;則由全概率公式,所求概率為PB=PA1PB|A5．播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，1%的四等種子．用一、二、三、四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1,0.05，則這批種子所結(jié)的穗含50顆以上麥粒的概率為()A．0.8B．0.8325C．0.5325D．0.4825【答案】D【詳解】設(shè)從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子的事件分別是A1，A2，A3，A4，則它們構(gòu)成樣本空間的一個劃分．設(shè)B＝“從這批種子中任選一顆，所結(jié)的穗含50顆以上麥粒”，則：P(B)＝eq\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.4825.6．（多選題）下列說法一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】AD【詳解】，而，，故A不成立；，∴當時，B成立；當相互獨立時，，故C可能成立；，故D不成立.故選：AD.二、填空題7．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，則P(B|A)為________．【答案】0.75【詳解】因為P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，所以P(AB)＝0.3.所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.3,0.4)＝0.75.8.5張彩票中僅有1張中獎彩票,5個人依次摸獎,則第二個人摸到中獎彩票的概率為________,第三個人摸到中獎彩票的概率為________.【答案】15【詳解】記“第i個人抽中中獎彩票”為事件Ai,顯然P(A1)=15,而P(A2)=P[A2∩(A1∪A=P(A2∩A1)+P(A2∩A1)=P(A2A1)+P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=15×0+4P(A3)=P[A3∩(A1A2+A1A2+A1A2+A1A2)]=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2A3)+P(A1=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=459．設(shè)盒中有m只紅球，n只白球，每次從盒中任取一只球，看后放回，再放入k只與所取顏色相同的球.若在盒中連取四次，則第一次，第二次取到紅球，第三次，第四次取到白球的概率為________.【答案】···【詳解】設(shè)Ri(i=1，2，3，4)表示第i次取到紅球的事件，(i=1，2，3，4)表示第i次取到白球的事件.則有P(R1R2)=P(R1)P(R2)P()·P(R1R2)=···.10.通信渠道中可傳輸?shù)淖址麨?，，三者之一，傳輸三者的概率分別為，，.由于通道噪聲的干擾，正確地收到被傳輸字符的概率為，收到其他字符的概率為，假定字符前后是否被歪曲互不影響．若收到的字符為，則傳輸?shù)淖址堑母怕蕿開_______．【答案】【詳解】以表示事件“收到的字符是”，表示事件“傳輸?shù)淖址麨椤保硎臼录皞鬏數(shù)淖址麨椤?，表示事件“傳輸?shù)淖址麨椤?，根?jù)題意有：，，，，，；根據(jù)貝葉斯公式可得：.三、解答題11．一個盒子中有6個白球、4個黑球，從中不放回地每次任取1個，連取2次．求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．【詳解】設(shè)A表示第一次取得白球，B表示第二次取得白球，則AB表示第一、第二次都取得白球，eq\o(A,\s\up6(－))B表示第一次取得黑球，第二次取得白球，且P(B|A)＝eq\f(5,9)，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).(1)P(A)＝eq\f(6,10)＝0.6.(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(6,10)×eq\f(5,9)＝eq\f(1,3).(3)P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(4,10)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,15).12．某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的且不區(qū)別標志.（1）在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的概率；（2）在倉庫中隨機地取一只元件，若已知取到的是次品，為分析此次品出自何廠，求此次品出自三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少？【詳解】設(shè)表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的產(chǎn)品是由第家工廠提供的”．則，，是樣本空間的一個劃分，且，，，，，.（1）由全概率公式得.（2）由貝葉斯公式可知該元件來自制造廠1的概率為：由貝葉斯公式可知該元件來自制造廠2的概率為：由貝葉斯公式可知該元件來自制造廠3的概率為：《7.2離散型隨機變量及其分布列(1)》基礎(chǔ)訓練一、選擇題1.一個袋子中有除顏色外其他都相同的紅、黃、綠、白四種小球各若干個,一次倒出3個小球,下列變量是離散型隨機變量的是()A.小球滾出的最大距離B.倒出小球所需的時間C.倒出的3個小球的質(zhì)量之和D.倒出的3個小球的顏色的種數(shù)2．袋中有大小相同的5個球，分別標有1，2，3，4，5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設(shè)兩個球的號碼之和為隨機變量X，則X所有可能取值的個數(shù)是（）A．5B．9C．10D．253．袋中裝有10個紅球、5個黑球.每次隨機抽取1個球后，若取得黑球則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止.若抽取的次數(shù)為X，則表示“放