重慶市長(zhǎng)壽區(qū)20232024學(xué)年上學(xué)期高二年級(jí)期末檢測(cè)卷（B）數(shù)學(xué)試題試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卷規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卷規(guī)定的位置上.4.考試結(jié)束后，將答題卷交回.一、單選題：本小題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，答案請(qǐng)涂寫在機(jī)讀卡上1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，即可求解．【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，直線可化為，所以直線的斜率，，故選：D．2.如圖，在平行六面體中，，，，，，則線段的長(zhǎng)為（）A.5 B.3 C. D.【答案】C【解析】分析】，然后平方可算出答案.【詳解】在平行六面體中，，，，，，∵，∴，∴.故選：C.3.已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，則此橢圓的短軸長(zhǎng)為（）A.6 B.3 C.8 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得b的值，即得答案.【詳解】由題意知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)橢圓的短軸長(zhǎng)為2b，則，，所以此橢圓的短軸長(zhǎng)為，故選：A4.下列關(guān)于空間向量的命題中，錯(cuò)誤的是（

）A.若非零向量，，滿足，，則有B.任意向量，，滿足C.若，，是空間的一組基底，且，則A，B，C，D四點(diǎn)共面D.已知向量，，若，則為銳角【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)、共面向量的結(jié)論、空間向量夾角的計(jì)算公式逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，，是非零向量，所以由，，可得，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；B：因?yàn)橄蛄?，不一定是共線向量，因此不一定成立，所以本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；C：，，是空間的一組基底，且所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D：，當(dāng)時(shí)，，若向量，同向，則有，所以有，則（舍去）所以向量，不能同向，因此為銳角，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確，故選：B.5.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），則△ABC的高CD所在的直線方程是A.5x+y﹣2=0 B.x﹣5y﹣16=0 C.5x﹣y﹣8=0 D.x+5y+14=0【答案】A【解析】【詳解】試題分析:由斜率公式可得AB的斜率，由垂直關(guān)系可得CD的斜率，可得點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可．解：由斜率公式可得kAB==，∵CD⊥AB，∴kCD=﹣5，∴直線CD的方程為：y+3=﹣5（x﹣1），化為一般式可得5x+y﹣2=0．故選A．考點(diǎn)：待定系數(shù)法求直線方程．6.公元前世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問(wèn)題，例如:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.后來(lái)該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意計(jì)算得的軌跡方程為，根據(jù)對(duì)稱性可得圓心在直線方程上，即，從而利用乘“1”法即可得到最值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，則，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在此直線上，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：B.7.等差數(shù)列、中的前項(xiàng)和分別為、，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及其前項(xiàng)和公式可得，將代入即可求解.【詳解】∵等差數(shù)列、中的前項(xiàng)和分別為、，，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及其前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.8.預(yù)測(cè)人口的變化趨勢(shì)有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測(cè)期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，k為預(yù)測(cè)期內(nèi)人口年增長(zhǎng)率，n為預(yù)測(cè)期間隔年數(shù)，如果在某一時(shí)期，那么在這期間人口數(shù)（）A.呈上升趨勢(shì) B.呈下降趨勢(shì) C.擺動(dòng)變化 D.不變【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，可知為預(yù)測(cè)期內(nèi)年增長(zhǎng)率，當(dāng)，可知年增長(zhǎng)率為負(fù)，由此即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，為預(yù)測(cè)期內(nèi)年增長(zhǎng)率，如果在某一時(shí)期有，即年增長(zhǎng)率為負(fù)，故這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì).故選:B.二、多選題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，M為PD的中點(diǎn)，則（）A.直線CM與AD所成角的余弦值為 B.C. D.點(diǎn)M到直線BC的距離為【答案】ABD【解析】【分析】過(guò)A作，垂足為E，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】過(guò)A作，垂足為E，則，以A為原點(diǎn)，分別以AE，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，因?yàn)?，所以直線CM與AD所成角的余弦值為，故A正確；因?yàn)?，所以B正確；因?yàn)椋訠M與PC不垂直，故C不正確；設(shè)點(diǎn)M到直線BC的距離為d，則，即點(diǎn)M到直線BC的距離為，故D正確．故選：ABD.10.已知曲線，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.方程表示的曲線是橢圓或雙曲線B.若，則曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和C.若，則曲線的離心率D.若方程表示的曲線是雙曲線，則其焦距的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】通過(guò)的范圍，判斷曲線的形狀，利用特例判斷A，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷B，求出離心率的范圍判斷C，求出焦距判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，曲線，表示直線或，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，可知曲線為焦點(diǎn)為和的橢圓，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，因?yàn)椋傻们€為焦點(diǎn)在軸上橢圓，，，則，所以離心率，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若方程表示的曲線是雙曲線，因?yàn)榍€方程為，所以，即，故，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，故，所以，故焦距，所以其焦距的最小值為，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.對(duì)于直線l：與圓C：的以下說(shuō)法正確的有（）A.l過(guò)定點(diǎn)B.l被C截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，C.l與C相切時(shí)，或D.l與C相切時(shí)，記兩種情形下的兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B，則【答案】AD【解析】【分析】由直線方程確定定點(diǎn)判斷A；由C被l截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，只需直線過(guò)圓心，代入求參數(shù)判斷B；由相切關(guān)系，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)判斷C；畫出示意圖，根據(jù)已知得到，再由求弦長(zhǎng)判斷D.【詳解】由，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，A對(duì)；要使C被l截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，只需直線過(guò)圓心，即，B錯(cuò)；l與C相切時(shí)，則，可得或，C錯(cuò)；如圖，，，則，故，故，D對(duì).故選：AD12.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)正確的為（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列的通項(xiàng)公式為 D.【答案】BCD【解析】【分析】由數(shù)列的遞推式可得，兩邊加1后，運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和可得.【詳解】解：由即為，可化為，由，可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，即，又，可得故選：BCD三、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在題中的橫線上.13.已知點(diǎn)，過(guò)的直線與線段有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)斜率公式即可得，進(jìn)而可求解.【詳解】直線的斜率為，直線的斜率為，故直線與線段有交點(diǎn)，則,即，故答案為：14.的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，則其外接圓的方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】求得圓心和半徑，進(jìn)而求得圓的方程.【詳解】由于，所以是外接圓的直徑，所以圓心為，半徑為，所以外接圓的方程為.故答案為：15.某石油勘探隊(duì)在某海灣發(fā)現(xiàn)兩口大型油氣井，海岸線近似于雙曲線的右支，現(xiàn)測(cè)得兩口油氣井的坐標(biāo)位置分別為，，為了運(yùn)輸方便，計(jì)劃在海岸線上建設(shè)一個(gè)港口，當(dāng)港口到兩油氣井的距離之和最小時(shí)，港口的位置為_(kāi)_____.（填寫坐標(biāo)即可）【答案】##【解析】【分析】畫出圖象，結(jié)合雙曲線的定義，利用“三點(diǎn)共線時(shí)”港口到兩油氣井的距離之和最小，結(jié)合直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法求得港口的位置.【詳解】由雙曲線可知，，故該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，則恰好為雙曲線的右焦點(diǎn)，如圖設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，連接與雙曲線右支交于點(diǎn)，則點(diǎn)即港口所在位置.由雙曲線的定義可得，，即，則.當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)港口到兩油氣井的距離之和最小.因?yàn)?，，所以，則直線，聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得，即，解得或，因?yàn)?，所以舍去，將代入直線方程可得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，即港口的位置為.故答案為：16.設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是_______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的特點(diǎn)，分別求得的公差和公比，由此求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，依題意，即，通過(guò)對(duì)比系數(shù)可知，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于中檔題.四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分.應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.【答案】（I），；（II）【解析】【分析】（I）首先設(shè)出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，根據(jù)題意，列出方程組，求得，進(jìn)而求得等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）根據(jù)題中所給的所滿足的條件，將表示出來(lái)，之后應(yīng)用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，以及錯(cuò)位相減法求和，最后求得結(jié)果.【詳解】（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，得，解得，故，，所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為；（II），記①則②②①得，，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題目.18.如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為，且.求：（1）的長(zhǎng)；（2）直線與所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算，表示出，根據(jù)向量模的計(jì)算，即可求得答案；（2）選定基底表示，求出向量的數(shù)量積以及它們的模，根據(jù)向量夾角公式求出的夾角的余弦值，即可求得直線與所成角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】由題意得，所以；【小問(wèn)2詳解】所以，，,，故，由于異面直線所成角的范圍為大于小于等于，所以直線與AC所成角的余弦值為.19.已知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱．（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且使得點(diǎn)到直線的距離最大，求直線的方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)且與直線交于點(diǎn)，的面積為2，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱先求出B點(diǎn)坐標(biāo)（1）過(guò)點(diǎn)B到點(diǎn)A距離最大的直線與直線AB垂直，從而求出直線方程；（2）畫出圖像，可求出點(diǎn)C到直線AB的距離，又點(diǎn)C在直線上，可設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出C，又直線過(guò)點(diǎn)A，利用兩點(diǎn)A、C即可求出直線的方程.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)則，解得：，所以點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且使得點(diǎn)到直線的距離最大，則直線與過(guò)點(diǎn)的直線垂直，所以，則直線為：，即.（2）由條件可知：，的面積為2，則的高為，又點(diǎn)C在直線上，直線與直線垂直，所以點(diǎn)到直線AB的距離為.直線方程為，設(shè)，則有，即或又，解得：或則直線為：或【點(diǎn)睛】本題考查求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，考查直線與直線相交的綜合應(yīng)用..方法點(diǎn)睛：（1）設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)（2）兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上，兩點(diǎn)連線與原直線垂直，列方程組；（3）解出點(diǎn)坐標(biāo).20.已知圓C過(guò)點(diǎn)，且圓心C在直線上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)（2，3）的直線被圓C所截得的弦的長(zhǎng)是，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)圓心,由兩點(diǎn)間的距離及圓心在直線上，列出方程組，求解即可求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出半徑，寫出圓的方程（2）由的長(zhǎng)是，求出圓心到直線的距離，然后分直線斜率存在與不存在求解.【詳解】（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為依題意可得：解得，半徑.∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）,∴圓心到直線m的距離①直線斜率不存在時(shí)，直線m方程為：；②直線m斜率存在時(shí)，設(shè)直線m為.,解得∴直線m的方程為∴直線m的方程為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，屬于中檔題.21.已知點(diǎn)?是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是該橢圓上一點(diǎn)，若當(dāng)時(shí)，面積達(dá)到最大，最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在過(guò)左焦點(diǎn)的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，使得的面積為？若存在，求出直線的方程；