中考數(shù)學一輪復習03因式分解

考點課標要求考查角度因式分解①理解因式分解的概念；②會用提公因式法、公式法等方法進行因式分解．考查因式分解的兩種方法．以選擇題、填空題為主．中考命題說明思維導圖知識點1：因式分解的概念

知識點梳理1.因式分解的定義：把一個多項式化成幾個整式的

的形式，這樣的變形叫做把這個多項式因式分解．也叫做把這個多項式分解因式．2.辨析：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解的右邊是兩個或幾個因式積的形式，整式乘法的右邊是多項式的形式．乘積典型例題知識點1：因式分解的概念

【例1】（2022?濟寧）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A．x2－x－1=x(x－1)－1

B．x2－1=(x－1)2

C．x2－x－6=(x－3)(x＋2)

D．x(x－1)=x2－x典型例題知識點1：因式分解的概念

【考點】因式分解的意義【分析】根據(jù)因式分解的定義判斷即可．【解答】解：A選項不是因式分解，故不符合題意；B選項計算錯誤，故不符合題意；C選項是因式分解，故符合題意；D選項不是因式分解，故不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查因式分解的知識，熟練掌握因式分解的定義是解題的關鍵．典型例題【例2】（2020?河北3/26）對于①x-3xy=x(1-3y)，②(x+3)(x-1)=x2+2x-3，從左到右的變形，表述正確的是（

）A．都是因式分解 B．都是乘法運算

C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解知識點1：因式分解的概念

典型例題①x-3xy=x(1-3y)，②(x+3)(x-1)=x2+2x-3，知識點1：因式分解的概念

【考點】因式分解—提公因式法；因式分解的意義；多項式乘多項式【分析】根據(jù)因式分解的定義（把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判斷即可．【解答】解：①x-3xy=x(1-3y)，從左到右的變形是因式分解；②(x+3)(x-1)=x2+2x-3，從左到右的變形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法運算．故選：C．【點評】此題考查了因式分解．解題的關鍵是掌握因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．知識點2：因式分解的方法與步驟

知識點梳理1.一般方法：（1）提公因式法：如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．用字母表示：ma＋mb＋mc＝

．公因式的確定：取各項系數(shù)的最大公約數(shù)，取各項相同的因式及其最低次冪．①定系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù).②定字母：字母取多項式各項中都含有的相同的字母.③定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項中最小的一個，即字母的最低次數(shù).m(a＋b＋c)知識點2：因式分解的方法與步驟

知識點梳理（2）運用公式法：利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.①a2－b2＝

(a＋b)(a－b)；②a2±2ab＋b2＝

(a±b)2．（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．（4）分組分解法：先分組，再提公因式或運用公式．知識點2：因式分解的方法與步驟

知識點梳理2.一般步驟：一提（提公因式）；二套（套公式）；三驗（檢驗是否分解徹底）．方法總結：分解因式前應先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止．典型例題【例3】把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解時，應提的公因式是（

）A．–3x2y2 B．–2x2y2 C．6x2y2 D．–x2y2【分析】–6x3y2–3x2y2+8x2y3＝–x2y2（6x+3–8y）．故把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解時，應提的公因式是：–x2y2．故選D．【答案】D知識點2：因式分解的方法與步驟

利用提公因式法分解因式

典型例題知識點2：因式分解的方法與步驟

利用提公因式法分解因式

【例4】（2022?廣州）分解因式：3a2－21ab＝

．【考點】因式分解—提公因式法【分析】直接提取公因式3a，進而分解因式得出答案．【解答】解：3a2－21ab＝3a(a－7b)．故答案為：3a(a－7b)．【點評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵．典型例題知識點2：因式分解的方法與步驟

利用平方差公式分解因式

【例5】（2022?煙臺）把x2－4因式分解為

．【考點】因式分解—運用公式法【分析】利用平方差公式，進行分解即可解答．【解答】解：x2－4＝(x＋2)(x－2)，故答案為：(x＋2)(x－2)．【點評】本題考查了因式分解—運用公式法，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．【例6】（2022?蘇州）已知x＋y＝4，x－y＝6，則x2－y2＝

．【考點】因式分解—運用公式法【分析】直接利用平方差公式將原式變形，代入得出答案．【解答】解：∵x＋y＝4，x－y＝6，∴x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝4×6＝24．故答案為：24．【點評】此題主要考查了公式法因式分解，正確將原式變形是解題關鍵．典型例題知識點2：因式分解的方法與步驟

利用平方差公式分解因式

典型例題知識點2：因式分解的方法與步驟

利用完全平方公式分解因式

【例7】（2022?河池）多項式x2－4x＋4因式分解的結果是（

）A．x(x－4)＋4

B．(x＋2)(x－2)

C．(x＋2)2

D．(x－2)2【考點】因式分解—運用公式法【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝(x－2)2．故選：D．【點評】此題考查了因式分解—運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．【例8】（2022?綏化）因式分解：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝

．【考點】因式分解—運用公式法【分析】將m＋n看作整體，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32＝(m＋n－3)2．故答案為：(m＋n－3)2．典型例題知識點2：因式分解的方法與步驟

利用完全平方公式分解因式

典型例題【例9】已知二次三項式x2+bx+c分解因式為（x–3）（x+1），則b+c的值為（

）A．1 B．–1 C．–5 D．5【分析】∵二次三項式x2+bx+c分解因式為（x–3）（x+1），∴x2+bx+c＝（x–3）（x+1）＝x2–2x–3，∴b＝–2，c＝–3，故b+c＝–5．故選C．【答案】C．知識點2：因式分解的方法與步驟

利用十字相乘法分解因式

典型例題知識點2：因式分解的方法與步驟

利用十字相乘法分解因式

【例10】（2022?內江）分解因式：a4－3a2－4＝

．【考點】因式分解—十字相乘法等【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式進行因式分解．【解答】解：a4－3a2－4＝(a2＋1)(a2－4)＝(a2＋1)(a＋2)(a－2)，故答案為：(a2＋1)(a＋2)(a－2)．典型例題【例11】因式分解：x2–y2–2x+2y

．【分析】利用分組分解法分解，先分別分解前兩項和后兩項，再提取公因式x–y即可.【答案】x2–y2–2x+2y=(x2–y2)–(2x–2y)=(x+y)(x–y)–2(x–y)=(x–y)(x+y–2)．知識點2：因式分解的方法與步驟

利用分組分解法分解因式

【例12】（2022?西寧）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將2a－3ab－4＋6b因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式＝(2a－3ab)－(4－6b)

＝a(2－3b)－2(2－3b)

＝(2－3b)(a－2)

解法二：原式＝(2a－4)－(3ab－6b)＝2(a－2)－3b(a－2)＝(a－2)(2－3b)

典型例題知識點2：因式分解的方法與步驟

利用分組分解法分解因式

【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學習中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請用分組分解法將x2－a2＋x＋a因式分解；【挑戰(zhàn)】（2）請用分組分解法將ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解；典型例題知識點2：因式分解的方法與步驟

利用分組分解法分解因式

【應用】（3）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a＞b），斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值．典型例題知識點2：因式分解的方法與步驟

利用分組分解法分解因式

【解答】解：（1）原式＝(x2－a2)(x＋a)

＝(x＋a)(x－a)＋(x＋a)

＝(x＋a)(x－a＋1)；【分析】（1）用分組分解法將x2－a2＋x＋a因式分解即可；（2）用分組分解法將ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解即可；（3）先將a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值即可．典型例題知識點2：因式分解的方法與步驟

利用分組分解法分解因式

（2）原式＝(ax－bx)(a2－2ab＋b2)

＝x(a－b)＋(a－b)2＝(a－b)(x＋a－b)；（3）原式＝(a4＋2a2b2＋b4)－(2ab3＋2a3b)

＝(a2＋b2)2－2ab(a2＋b2)

＝(a2＋b2)(a2＋b2－2ab)

＝(a2＋b2)(a－b)2，∵直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a＞b），斜邊長是3，小正方形的面積是1，∴a2＋b2＝32＝9，(a－b)2＝1，∴原式＝9．典型例題知識點2：因式分解的方法與步驟

利用分組分解法分解因式

典型例題知識點2：因式分解的方法與步驟

幾種方法的綜合運用

【例13】（2022?黔東南州）分解因式：2022x2－4044x＋2022＝

．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022(x2－2x＋1)

＝2022(x－1)2．故答案為：2022(x－1)2．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合應用，熟練掌握分解因式的方法是解本題的關鍵．典型例題【例14】（2分）（2021?北京10/28）分解因式：5x2﹣5y2＝

．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），故答案為：5（x+y）（x﹣y）．【點評】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的結構特征是正確應用的前提．知識點2：因式分解的方法與步驟

幾種方法的綜合運用

知識點3：因式分解的應用

知識點梳理利用因式分解的知識可以幫助我們解決代數(shù)式求值等問題.典型例題知識點3：因式分解的應用

【例15】（2022?黔西南州）已知ab＝2，a＋b＝3，求a2b＋ab2的值是

．【考點】因式分解的應