PAGEPAGE1。。。內(nèi)部文件，版權(quán)追溯內(nèi)部文件，版權(quán)追溯內(nèi)部文件，版權(quán)追溯1.1.6棱柱、棱錐、棱臺和球的外表積1.理解棱柱、棱錐、棱臺和球的外表積的概念，了解它們的側(cè)面展開圖.(重點)2.掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺的外表積公式，并會求它們的外表積.(重點)3.了解球的外表積公式，會運用公式求球的外表積.(重點)4.組合體的外表積計算.(難點)[根底·初探]教材整理1棱柱、棱錐、棱臺的外表積閱讀教材P25～P26“倒數(shù)第5行〞以上內(nèi)容，完成以下問題.棱柱、棱錐、棱臺是由多個平面圖形圍成的多面體，它們的外表積就是各個面的面積和.判斷(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)多面體的外表積等于各個面的面積之和.()(2)棱臺的側(cè)面展開圖是由假設(shè)干個等腰梯形組成的.()(3)沿不同的棱將多面體展開，得到的展開圖相同，外表積相等.()【解析】(1)正確.多面體的外表積等于側(cè)面積與底面積之和.(2)錯誤.棱臺的側(cè)面展開圖是由假設(shè)干個梯形組成的，不一定是等腰梯形.(3)錯誤.由于剪開的棱不同，同一個幾何體的外表展開圖可能不是全等形.但是，不管怎么剪，同一個多面體外表展開圖的面積是一樣的.【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2圓柱、圓錐、圓臺和球的外表積閱讀教材P26“倒數(shù)第3行〞～P27“例1〞以上內(nèi)容，完成以下問題.1.圓柱、圓錐、圓臺的外表積公式幾何體側(cè)面展開圖外表積公式圓柱S圓柱＝2πr(r＋l)，r為底面半徑，l為側(cè)面母線長圓錐S圓錐＝πr(r＋l)，r為底面半徑，l為側(cè)面母線長圓臺S圓臺＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′為上底面半徑，r為下底面半徑，l為側(cè)面母線長2.球的外表積球的外表積公式S球＝4πR2.1.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是()A.4π B.3πC.2π D.π【解析】所得旋轉(zhuǎn)體為圓柱，圓柱的底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.應(yīng)選C.【答案】C2.兩個球的半徑之比為1∶2，那么這兩個球的外表積之比為()A.1∶2 B.1∶4C.1∶6 D.1∶8【解析】eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πR\o\al(2,1),4πR\o\al(2,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R1,R2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).【答案】B[小組合作型]求棱柱、棱錐、棱臺的外表積正四棱錐底面邊長為4，高與斜高夾角為30°.求它的側(cè)面積和外表積.【精彩點撥】根據(jù)多面體的側(cè)面積公式，可以先求出相應(yīng)多面體的底面邊長和各側(cè)面的斜高，進而由公式求解.【自主解答】如以下列圖，設(shè)正四棱錐的高為PO，斜高為PE，底面邊心距為OE，它們組成一個直角三角形POE.∵OE＝eq\f(4,2)＝2，∠OPE＝30°，∴PE＝eq\f(OE,sin30°)＝eq\f(2,\f(1,2))＝4.∴S正四棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′＝eq\f(1,2)×(4×4)×4＝32，S外表積＝42＋32＝48.即該正四棱錐的側(cè)面積是32，外表積是48.1.要求錐體的側(cè)面積及外表積，要利用條件尋求公式中所需的條件，一般用錐體的高、斜高、底面邊心距等量組成的直角三角形求解相應(yīng)的量.2.空間幾何體的外表積運算，一般是轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的運算，往往通過解三角形來完成.[再練一題]1.某幾何體的三視圖如圖1-1-88所示，那么該幾何體的外表積為()圖1-1-88A.180B.200C.220D.240【解析】由三視圖知識知該幾何體是底面為等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底長為2，下底長為8，高為4，腰長為5，直四棱柱的高為10，所以S底＝eq\f(1,2)×(8＋2)×4×2＝40，S側(cè)＝10×8＋10×2＋2×10×5＝200，S表＝40＋200＝240，應(yīng)選D.【答案】D求圓柱、圓錐、圓臺的外表積如圖1-1-89所示，直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的外表積.【導(dǎo)學(xué)號：45722026】圖1-1-89【精彩點撥】eq\x(分析幾何體的形狀)eq\o(→,\s\up14(選擇外表積公式))eq\x(求外表積)【自主解答】以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓臺，其上底半徑是4cm，下底半徑是16cm，母線DC＝eq\r(52＋16－42)＝13(cm).∴該幾何體的外表積為π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2).1.圓柱、圓錐、圓臺的相關(guān)幾何量都集中表達在軸截面上，因此準(zhǔn)確把握軸截面中的相關(guān)量是求解旋轉(zhuǎn)體外表積的關(guān)鍵.2.棱錐及棱臺的外表積計算常借助斜高、側(cè)棱及其在底面的射影與高、底面邊長等構(gòu)成的直角三角形(或梯形)求解.[再練一題]2.在本例題題設(shè)條件不變的情況下，求以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的外表積.【解】以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓柱和圓錐的組合體，如以下列圖：其中圓錐的高為16－4＝12(cm)，圓柱的母線長為AD＝4cm，故該幾何體的外表積為：2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm2).球的外表積問題有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體，第二個球與這個正方體各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，求這三個球的外表積之比.【精彩點撥】此題是求三個球的外表積之比，解題的關(guān)鍵是得出半徑之比，可在各幾何體內(nèi)做出截面，找到球心，易求半徑.【自主解答】設(shè)正方體的棱長為a.(1)正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點是六個面正方形的中心，經(jīng)過四個切點及球心作截面，如圖①，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.(2)球與正方體的各棱的切點在每條棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面，如圖②，2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2.(3)正方體的各個頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如圖③，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2.綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.1.在處理球和長方體的組合問題時，通常先作出過球心且過長方體對角面的截面圖，然后通過條件求解.2.球的外表積的考查常以外接球的形式出現(xiàn)，可利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造熟悉的正方體，長方體等，通過彼此關(guān)系建立關(guān)于球的半徑的等式求解.[再練一題]3.一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形，如圖1-1-90所示，那么該三棱錐的外接球的外表積為()圖1-1-90A.29πB.28πC.25πD.26π【解析】由三視圖得直觀圖如圖，三棱錐O-ABC中OA，OB，OC兩兩垂直，OA＝3，OC＝4，OB＝2，可看作是長方體從同一頂點出發(fā)的三條棱長，長方體的對角線，即為球的直徑，長為eq\r(32＋42＋22)，故外接球半徑為eq\f(\r(29),2)，外接球的外表積S球＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(29),2)))eq\s\up12(2)＝29π.【答案】A[探究共研型]與三視圖有關(guān)的外表積探究1一個幾何體的三視圖如圖1-1-91所示，請說出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.圖1-1-91【提示】由所給三視圖可知該幾何體為一個三棱柱，且底面為直角三角形.探究2試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求該幾何體的外表積.【提示】三棱柱底面三角形的直角邊長分別為3和4，斜邊長為5，三棱柱的高為5，如以下列圖，所以外表積為2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×3×4))＋(3＋4＋5)×5＝72.探究3幾何體的三視圖，如何求幾何體的外表積？【提示】首先根據(jù)三視圖確定幾何體的形狀及其結(jié)構(gòu)特征，再根據(jù)相應(yīng)的外表積公式計算.某幾何體的三視圖如圖1-1-92(單位：cm).(1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個幾何體的外表積.【導(dǎo)學(xué)號：45722027】圖1-1-92【精彩點撥】eq\x(\a\al(由三視圖確定幾,何體的形狀))→eq\x(\a\al(選擇外表積,公式求解))【自主解答】(1)這個幾何體的直觀圖如以下列圖.(2)這個幾何體可看成是正方體AC1及三棱柱B1C1Q—A1D1P的組合體.由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的外表積S＝5×22＋2×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＋2×eq\r(2)×2＝22＋4eq\r(2)(cm2).1.由三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖在解題中起到關(guān)鍵作用，在轉(zhuǎn)化過程中注意圖中各個數(shù)據(jù)的對應(yīng)關(guān)系.2.在求幾何體的外表積時，要搞清幾何體的結(jié)構(gòu)特征，注意分割、拼補的技巧，注意轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用.[再練一題]4.某幾何體的三視圖如圖1-1-93所示，它的外表積為()圖1-1-93A.32πB.48πC.33πD.24π【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個半球和一個圓錐的組合體S＝2π×32＋π·3·5＝33π.【答案】C1.一個幾何體的三視圖如圖1-1-94所示，該幾何體的外表積是()圖1-1-94A.372B.360C.292D.280【解析】該幾何體由兩個長方體組合而成，其外表積等于下面長方體的全面積與上面長方體的四個側(cè)面積之和.S＝2(10×8＋10×2＋8×2)＋2(6×8＋8×2)＝360.應(yīng)選B.【答案】B2.一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的外表積與側(cè)面積之比為()A.eq\f(1＋2π,2π) B.eq\f(1＋4π,4π)C.eq\f(1＋2π,π) D.eq\f(1＋4π,2π)【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，那么有h＝2πr，所以外表積與側(cè)面積的比為2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.【答案】A3.一個圓柱和一個圓錐的軸截面分別是邊長為a的正方形和正三角形，那么它們的外表積之比為________.【解析】S圓柱＝2·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋2π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))·a＝eq\f(3,2)πa2，S圓錐＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋π·eq\f(a,2)·a＝eq\f(3,4)πa2，∴S圓柱∶S圓錐＝2∶1.【答案】2∶14.如圖1-1-95所示，圓臺的上、下底半徑和高的比為1∶4∶4，母線長為10，那么圓臺的側(cè)面積為________.圖1-1-95【解析】設(shè)圓臺的上底半徑為r，那么下底半徑為4r，高為4r.由母線長為10可知10＝eq\r(3r2＋4r2)＝5r，∴r＝2.故圓