2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔全國卷〕數(shù)學(xué)〔理工農(nóng)醫(yī)類〕第一卷〔選擇題共60分〕試卷類型：A參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式正棱臺、圓臺的側(cè)面積公式S臺側(cè)S臺側(cè)=其中、c分別表示上、下底面周長，l表示斜高或母線長球的體積公式其中R表示球的半徑一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1．圓的圓心到直線的距離是 A． B． C．1 D．2．復(fù)數(shù)的值是 A．－i B．i C．－1 D．13．不等式的解集是 A． B． C．{} D．4．在〔〕內(nèi)，使成立的x取值范圍為 A． B． C． D．5．設(shè)集合M=，那么 A．M=N B． C． D．?6．點P〔1，0〕到曲線〔其中參數(shù)t∈R〕上的點的最短距離為 A．0 B．1 C． D．27．一個圓錐和一個半球有公共底面，如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等，那么，這個圓錐軸截面頂角的余弦值是 A． B． C． D．8．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，側(cè)棱長為，那么這個棱柱的側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角是 A．90° B．60° C．45° D．30°9．函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是 A．b≥0 B．b≤0 C．b>0 D．b<010．函數(shù)的圖象是 A B C D11．從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有 A．8種 B．12種 C．16種 D．20種12．據(jù)2024年3月5日九屆人大五次會議?政府工作報告?：“2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值到達95933億元，比上年增長7.3%.〞如果“十·五〞期間〔2001年—2024年〕每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十·五〞末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為 A．115000億元 B．120000億元 C．127000億元 D．135000億元第二卷〔非選擇題共90分〕二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.13．函數(shù)在[0，1]的最大值與最小值的和為3，那么a=.14．橢圓的一個焦點是〔0，2〕，那么k=.15．的展開式中x3項的系數(shù)是.16．函數(shù)那么.三、解答題：本大題共6小題，共74分.解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．〔本小題總分值12分〕、的值.18．〔本小題總分值12分〕 如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.點M在AC上移動，點N在BF上移動，假設(shè)CM=BN=. 〔Ⅰ〕求MN的長； 〔Ⅱ〕當a為何值時，MN的長最??； 〔Ⅲ〕當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大小.19．〔本小題總分值12分〕 設(shè)點P到點M〔－１，0〕、N〔1，0〕距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2.求m的取值范圍.20．〔本小題總分值12分〕 某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛?21．〔本小題總分值12分〕 設(shè)a為實數(shù)，函數(shù) 〔Ⅰ〕討論的奇偶性； 〔Ⅱ〕求的最小值.22．〔本小題總分值14分〕 設(shè)數(shù)列{an}滿足 〔Ⅰ〕當時，求,并由此猜想出的一個通項公式； 〔Ⅱ〕當時，證明對所有的，有 〔i〕〔ii〕數(shù)學(xué)試題〔理工農(nóng)醫(yī)類〕參考解答及評分標準說明： 一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應(yīng)的評分細那么. 二、對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼局部的解答末改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼局部的給分，但不得超過該局部正確解容許得分數(shù)的一半；如果后繼局部的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分. 三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù). 四、只給整數(shù)分數(shù).選擇題和填空題不給中間分.A卷選擇題答案：一、選擇題：此題考查根本知識和根本運算.每題5分，總分值60分.1．A2．C3．D4．C5．B6．B7．C8．B9．A10．B11．B12．C二、填空題：此題考查根本知識和根本運算.每題4分，總分值16分.13．2 14．115．100816．三、解答題17．本小題主要考查同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式、二倍角公式以及三角函數(shù)式的恒等變形等根底知識和根本運算技能.總分值12分. 解：由倍角公式， ………………2分 由原式得 ………………8分， ……………12分18．本小題主要考查線面關(guān)系、二面角和函數(shù)極值等根底知識，考查空間想象能力和推理論證能力.總分值12分. 解：〔Ⅰ〕作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連結(jié)PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形，∴MN=PQ. ……………3分由，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，∴AC=BF=，即. ………………6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，所以，當 即M、N分別移動到AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為……9分 〔Ⅲ〕取MN的中點G，連結(jié)AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G為MN的中點 ∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即為二面角α的平面角，又AG=BG=，所以，由余弦定理有 故所求二面角. ……………12分19．本小題主要考查直線、雙曲線等根底知識，考查根本運算、邏輯推理能力.總分值12分. 解法一：設(shè)點P的坐標為〔x,y〕，依題設(shè)得=2， 即 ①………2分 因此，點P〔x,y〕、M〔－1，0〕、N〔1，0〕三點不共線，得 因此，點P在以M、N為焦點，實軸長為2|m|的雙曲線上，故 ②…………6分 將①式代入②，并解得 ， ……………8分 解得.即m的取值范圍為 ……………12分 解法二：設(shè)點P的坐標為〔x,y〕，依題設(shè)得，即. ①…………2分 由|PM|－|PN|=2m，得 ②…………4分 由②式可得所以，. ……………6分 由②式移項，兩邊平方整理得將①式代入，整理得. ③…………8分③式右端大于0，.綜上，得m滿足即m的取值范圍為 ……………12分20．本小題主要考查為數(shù)列、數(shù)列的極限等根底知識，考查建立數(shù)學(xué)模型、運用所學(xué)知識解決實際問題的能力.總分值12分. 解：設(shè)2001年末汽車保有量為b1萬輛，以后各年末汽車保有量依次為b2萬輛，b3萬輛，…，每年新增汽車x萬輛，那么 ………………2分 對于n>1，有 ………………6分 當 ………………8分 當 并且數(shù)列{bn}逐項增加，可以任意靠近. ……………10分 因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即. 那么〔萬輛〕.綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過3.6萬輛.………12分21．本小題主要考查函數(shù)的概念、函數(shù)的奇偶性和最小值等根底知識，考查分類討論的思想和邏輯思維能力.總分值12分. 解：〔Ⅰ〕當為偶函數(shù). ………………2分 當 . 此時函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù). ………………4分 〔Ⅱ〕〔i〕當假設(shè)上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)上的最小值為 假設(shè)，那么函數(shù)上的最小值為………7分 〔ii〕當時，函數(shù) 假設(shè) 假設(shè) ……………10分 綜上，當 當 當 ……………12分2