1闡述了數(shù)學(xué)期望、方差的概念及背景，要掌握它們的性質(zhì)與計算，會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。2要熟記兩點分布、二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差。3給出了契比雪夫不等式，要會用契比雪夫不等式作簡單的概率估計。4引進了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，要掌握它們的性質(zhì)與計算。5要掌握二維正態(tài)隨機變量的不相關(guān)與獨立的等價性。6給出了矩與協(xié)方差矩陣。作業(yè)：第四章小結(jié)返回主目錄一、闡述了數(shù)學(xué)期望、方差的概念及背景，要掌握它們的性質(zhì)與計算，會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。第四章小結(jié)返回主目錄1、數(shù)學(xué)期望：2、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)Y=g(X),g(x)是連續(xù)函數(shù)，若X,Y獨立，則E(XY)=E(X)E(Y)性質(zhì)返回主目錄若(X,Y)是二維隨機變量，是二元連續(xù)函數(shù)，則

(1)若(X,Y)的分布律為，(2).若(X,Y)的概率密度為則第四章小結(jié)返回主目錄第四章小結(jié)第四章小結(jié)返回主目錄3、方差

連續(xù)型。

性質(zhì)定義：計算公式：()22EXEXDX-=二、要熟記兩點分布、二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差。第四章小結(jié)返回主目錄1.兩點分布2.二項分布4.均勻分布5．正態(tài)分布

6.指數(shù)分布第四章小結(jié)返回主目錄三、給出了契比雪夫不等式，要會用契比雪夫不等式作簡單的概率估計。稱Y是隨機變量X的標準化了的隨機變量。隨機變量的標準化：1、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義第四章隨機變量的數(shù)字特征協(xié)方差定義：COV(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)返回主目錄特別COV（X，X）=DX計算公式:COV（X，Y）=E(XY)-E(X)E(Y)D(aX+bY)=特別相關(guān)系數(shù)四、引進了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，要掌握它們的性質(zhì)與計算。第四章隨機變量的數(shù)字特征定理：若X，Y獨立，則X,Y不相關(guān)。返回主目錄但是，X，Y不相關(guān)，不一定有X，Y相互獨立。2、協(xié)方差的性質(zhì)X，Y獨立與X,Y不相關(guān)的關(guān)系：第四章隨機變量的數(shù)字特征說明X與Y之間沒有線性關(guān)系并不表示它們之間沒有關(guān)系。3、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)的量．之間線性關(guān)系緊密程度與量相關(guān)系數(shù)是表征隨機變YX存在著線性關(guān)系；之間以概率與時，當，11YXYX=r之間的線性關(guān)系越弱；與時，越接近于當，YXYX0r()．不相關(guān)之間不存在線性關(guān)系與時，當，YXYX0=r第四章隨機變量的數(shù)字特征則X，Y獨立

=0

X，Y不相關(guān)。返回主目錄§3協(xié)方差五、要掌握二維正態(tài)隨機變量的不相關(guān)與獨立的等價性。5、n維正態(tài)分布的性質(zhì)第四章隨機變量的數(shù)字特征返回主目錄4)相互獨立的一維正態(tài)隨機變量的線性組合服從正態(tài)分布第四章隨機變量的數(shù)字特征返回主目錄5)n維正態(tài)隨機變量的邊緣分布是一維正態(tài)分布；反之，若服從正態(tài)分布，且相互獨立，則服從n維正態(tài)分布。注:()(),~)1222121rssmm，，，，，若NYX)2,(~2122221221srsssmmabbabaNbYaX++++則),(~22221221ssmmbabaNbYaX+++則第四章小結(jié)返回主目錄第四章習(xí)題課例1則X與Y的聯(lián)合分布為。第四章隨機變量的數(shù)字特征例2解：返回主目錄§2方差§2方差第四章隨機變量的數(shù)字特征例2續(xù)先求：返回主目錄§2方差第四章隨機變量的數(shù)字特征例2（續(xù)）則：思考題：若返回主目錄§2方差第四章隨機變量的數(shù)字特征若返回主目錄例2’§2方差第四章隨機變量的數(shù)字特征例2’（續(xù)）返回主目錄第四章隨機變量的數(shù)字特征§3協(xié)方差例3返回主目錄將一枚硬幣重復(fù)拋擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)為(A)–1,(B)0,(C),(D)121XnYnYX-==+，即Q01<-=\b.1-=\XYr）正確。故（A解：第四章隨機變量的數(shù)字特征例4解：返回主目錄§2方差例5第四章隨機變量的數(shù)字特征例5(續(xù)）解：返回主目錄§2方差()22EXEXDX-=l==EXDX第四章隨機變量的數(shù)字特征例6解：返回主目錄§2方差第四章隨機變量的數(shù)字特征返回主目錄§2

方差（2）設(shè)相互獨立的隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2，方差分別為1和4，則根據(jù)切比曉夫（Chebyshev）不等式有估計：例7（1）設(shè)隨機變量X的方差為2，則根據(jù)切比曉夫（Chebyshev）不等式有估計：令則例8將n只球(1~n號)隨機地放進n只盒子(1~n號)中去，一只盒子裝一只球，若一只球裝入與球同號的盒子中，稱為一個配對。記X為總的配對數(shù)，求E(X)解引入隨機變量則總的配對數(shù)X可表示成可得即有于是例9若有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能打開門上的鎖，用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖。設(shè)取到每只鑰匙是等可能的。若把鑰匙試開一次后除去，試用下面兩種方法求試開次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。（1）寫出X的分布律；（2）不寫出X的分布律。解因此則沿用（1）中的記號，則有故有例10設(shè)A和B是試驗E的兩個事件，且P(A)>0，P(B)>0，并定義隨機變量X，Y如下：解X，Y的邊緣分布列為X01P(A)Y01P(B)由X，Y的定義，XY只能取0，1兩個值。且P{XY=1}=P(X=1,Y=1)=P(AB)，于是得XY的分布律為XY01P(AB)即得于是例11假設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率是0.2，機器發(fā)生故障時全天停止工作。若一周5個工作日里無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障仍可獲利潤5萬元；發(fā)生兩次故障所獲利潤0萬元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元。求一周內(nèi)期望利潤是多少？解設(shè)X表示一周5天內(nèi)機器發(fā)生故障的天數(shù)，則X~B(5,0.2)?？傻靡訷表示所獲利潤，則利潤表達式為期望利潤§2方差第四章隨機變量的數(shù)字特征例12返回主目錄()22EYEYDY-=第四章隨機變量的數(shù)字特征例12返回主目錄解：()5)(22=+=EYYDEY例13第四章隨機變量的數(shù)字特征返回主目錄設(shè)某種商品每周的需求量X是服從區(qū)間[10，30]上的均勻分布的隨機變量，而經(jīng)銷商店進貨的數(shù)量為區(qū)間[10，30]中的整數(shù)，商店每銷出一單位商品可得利潤500元；若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求，商店可從外部調(diào)劑供應(yīng)，每單位商品僅獲利潤300元。為使商店所獲利潤不小于9280元，試確定最少進貨的數(shù)量。分析：設(shè)y為經(jīng)銷商店的進貨量，Z為商店所獲利潤，第一步：確定利潤Z與需求量X、進貨量y的關(guān)系；第二步：固定y，求E（Z）；第三步：求y，使例13第四章隨機變量的數(shù)字特征返回主目錄解：設(shè)y為經(jīng)銷商店的進貨量，Z為商店所獲利潤，（例13續(xù)）第四章隨機變量的數(shù)字特征X的概率密度為故最少進貨量為21。例14第四章隨機變量的數(shù)字特征返回主目錄設(shè)某種商品每周的需求量X是服從區(qū)間[10，20]上的均勻分布的隨機變量，經(jīng)銷商店進貨的數(shù)量也是服從區(qū)間[10，20]上的均勻分布的隨機變量，且X，Y相互獨立。商店每銷出一單位商品可得利潤1000元；若供不應(yīng)求，商店可從外部調(diào)劑供應(yīng)，每單位商品僅獲利潤500元。試求商店所獲利潤的期望值。分析：Z為商店所利潤，第一步：確定利潤Z與需求量X、進貨量Y的關(guān)系；第二步：求E（Z）；例14第四章隨機變量的數(shù)字特征返回主目錄解：Z為商店所獲利潤，（例14續(xù)）第四章隨機變量的數(shù)字特征例15設(shè)二維隨機變量(X,Y)服從矩形上的均勻分布，記解由題意知，(X,Y)的聯(lián)合概率密度為所以，(U,V)的聯(lián)合分布律及各自的邊緣分布律為

UV01010.2500.250.50.250.750.50.5所以，因此，例16袋中有n張卡片,號碼分別為1,2,…,n，從中有放回抽出k張卡片來，求所得號碼之和的數(shù)學(xué)期望。解所以，第四章隨機變量的數(shù)字特征§1數(shù)學(xué)期望例17用某臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知正品率隨著該機器所用次數(shù)的增加而指數(shù)下降，即P{第k次生產(chǎn)出的產(chǎn)品是正品}=假設(shè)每次生產(chǎn)100件產(chǎn)品，試求這臺機器前10次生產(chǎn)中平均生產(chǎn)的正品總數(shù)。解：設(shè)X是前10次生產(chǎn)的產(chǎn)品中的正品數(shù)，并設(shè)返回主目錄第四章隨機變量的數(shù)字特征§1數(shù)學(xué)期望例17（續(xù)）返回主目錄第四章隨機變量的數(shù)字特征§1數(shù)學(xué)期望例18

對產(chǎn)品進行抽樣，只要發(fā)現(xiàn)廢品就認為這批產(chǎn)品不合格，并結(jié)束抽樣。若抽樣到第n件仍未發(fā)現(xiàn)廢品則認為這批產(chǎn)品合格。

假設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，抽查到廢品的概率是p，試求平均需抽查的件數(shù)。解：設(shè)X為停止檢查時，抽樣的件數(shù)