黑龍江省高三模擬考試數(shù)學(xué)(理)試卷-附答案解析

班級(jí):姓名：考號(hào)：

一、單選題

1.己知集合A=卜卜=和B={y∣y=χ2-1},貝!|A-B=()

A.[-2⑵B.[-1,2]C.{-2,-l,0,l,2}D.{-l,O,l,2}

2.“x>l”是“χ2.χ>o”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

3.已知口=正和b=(l,2),且a〃b與7〃<0,則”的坐標(biāo)為()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)

4.某商場(chǎng)開通三種平臺(tái)銷售商品，五一期間這三種平臺(tái)的數(shù)據(jù)如圖1所示.該商場(chǎng)為了解消費(fèi)者對(duì)各平臺(tái)

銷售方式的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取了5%的顧客進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2所示.下列

說法正確的是()

圖1圖2

A.總體中對(duì)平臺(tái)一滿意的消費(fèi)人數(shù)約為35

B.樣本中對(duì)平臺(tái)二滿意的消費(fèi)人數(shù)為300

C.樣本中對(duì)平臺(tái)一和平臺(tái)二滿意的消費(fèi)總?cè)藬?shù)為50

D.若樣本中對(duì)平臺(tái)三滿意的消費(fèi)人數(shù)為120,則帆=80%

5.為了宣傳2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校決定派小明和小李等共5名志愿者將兩個(gè)吉祥物“冰

墩墩”和“雪容融”安裝在學(xué)校的體育廣場(chǎng)，每人參與且只參與一個(gè)吉祥物的安裝，每個(gè)吉祥物至少由兩

名志愿者安裝.若小明和小李必須安裝相同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為()

?.8B.10C.12D.14

6.千百年來，我國(guó)勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富

的“看云識(shí)天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半

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夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，南在半夜后”，觀察了所在地區(qū)4的IOO天日落和夜晚天氣,

得到如下2x2列聯(lián)表：

夜晚天氣

下雨未下雨

日落云里走

出現(xiàn)255

未出現(xiàn)2545

臨界值表

P（K~≥k（））0.100.050.0100.001

k.2.7063.8416.63510.828

并計(jì)算得到19.05,下列小波對(duì)地區(qū)4天氣判斷不正確的是（）A.夜晚下雨的概率約為T

B.未出現(xiàn)“日落云里走”夜晚下雨的概率約為2

14

C.有99.9%的把握認(rèn)為“'日落云里走’是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān)

D.出現(xiàn)“日落云里走”，有99.9%的把握認(rèn)為夜晚會(huì)下雨

2222

7.已知橢圓=+[=l（a>Z?>0）與雙曲線=-5=1（〃2〉0,n>O）具有相同焦點(diǎn)K和F2,P是

（Tbm

它們的一個(gè)交點(diǎn)，且N耳PM=1JT，記橢圓與雙曲線的離心率分別為弓和e2,貝U3e：+《的最小值是（）

?.2B.3C.4D.5

8.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為10,且滿足2。,向+”“=3,其前〃項(xiàng)和為S“，則滿足不等式同擊的〃的

最小正整數(shù)值為（）

A.9B.10C.11D.12

9.將函數(shù)/Q）=SinX的圖象向左平移B個(gè)單位長(zhǎng)度，將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再

將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列說法不正確的是（）

?.函數(shù)g*）的最小正周期為4乃

?Q77"

B.函數(shù)以幻的單調(diào)遞減區(qū)間為[4hr+學(xué)4氏+爭(zhēng)伏eZ）

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C.直線X=H是函數(shù)g(x)圖象的一條對(duì)稱軸

D.函數(shù)g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)(7,0)

xtab

10.已知OVrVaVI,下歹(］四個(gè)命題:①VX∈(O,+∞),α>?,@Vxe(O,l),logαx>logz,x③Ξre(0,l),x>x

④Ξr∈(0,6)與ɑ">log,,x.

其中是真命題的有()

A.①③B.②④C.①②D.③④

11.如圖所示，過拋物線/=2PX(p>0)的焦點(diǎn)C的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A,反G若IBC∣=2∣BF∣,

且∣4F∣=4,則拋物線的方程為()

C.yi=2xD.y2=x

22

12.橢圓C：]=1(〃>b>0)的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A,F,B,若坐標(biāo)原點(diǎn)。關(guān)于直線BF的對(duì)

a^b2

稱點(diǎn)恰好在直線A8上，則桶圓C的離心率ee()

二、填空題

13.的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則常數(shù)項(xiàng)為.

14.已知直線x+2y—3=0與圓C：(x-2『+(y—3丫=9相交于A,8兩點(diǎn)，則:ABC面積為.

15.任意一個(gè)復(fù)數(shù)Z都可以表示成三角形式即α+4=r(cose+isin6).棣莫弗定理是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗

(1667—1754年)創(chuàng)立的，指的是設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)(用三角函數(shù)形式表示)Zl=McOSa+isin6?),

z?=4(cosa+isin，J,則：z,z2=∕[^[cos(6?+6ζ)+isin(^l+幻],“已知復(fù)數(shù)z='+立i,則z"+z=_

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16.設(shè)尸,A,B,C,。是表面積為16兀的球的球面上的五個(gè)點(diǎn)，%，平面ABC且四邊形ABCO為正方形,

則四棱錐P-AfiS體積的最大值為一

三、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=有SinXCOsX+cos2X——.

⑴解不等式/(x)≥g

其中Xe

⑵在銳角.ABC中％=?求/(B)+/(C)的取值范圍.

18.最近，新冠疫苗接種迎來高峰，市民在當(dāng)?shù)蒯t(yī)院即可免費(fèi)接種，根據(jù)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)的數(shù)據(jù)，我

國(guó)總接種量排名世界第一，有望早日建立起全民免疫屏障.某醫(yī)院抽取100位已接種疫苗的市民進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)

查，將年齡按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，并從年齡落在

[40,50),[50,60]兩組內(nèi)的市民中按分層抽樣方法抽取了6位市民進(jìn)行跟蹤調(diào)查.

(D求圖中市民年齡的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)若從上述6位市民中隨機(jī)抽取2位市民進(jìn)行不良反應(yīng)調(diào)查，求這2位市民來自不同組的概率.

19.如圖，四邊形被力是平行四邊形，點(diǎn)￡,F,G分別為線段式；PB,力〃的中點(diǎn).

P

(1)證明：EF〃平面用C；

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(2)在線段班上找一點(diǎn)//,使得FH〃平面尸比，并說明理由.

20.已知向量O=(T-I)和/7=(0,1).

(1)若向量(fα+0∕∕(α+fp),求實(shí)數(shù)r的值；

(2)若向量C=(X,y)滿足c=-ye+(l-x)/,求H的值.

21.設(shè)函數(shù)/(x)=e'+eτ和g(χ)=j7x-d-i.

⑴求曲線y=g(x)在點(diǎn)(2,g(2))處的切線方程；

(2)設(shè)MX)="x)*-2,求力(X)的最小值；

(3)證明：f(x)≥x-g(x).

,1

x=l+,,

22.在平面直角坐標(biāo)系了如中曲線G的參數(shù)方程為，?C為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為

y=2+Tt

極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程是夕=4Sine-4cosd.

(1)分別寫出Cl的普通方程與C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)將曲線G繞點(diǎn)尸(1，2)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到曲線Cc若曲線CI與曲線C?交于48兩點(diǎn)，求

IPAI+儼目的值.

23.己知函數(shù)/(x)=∣3x+K,/(x)<l的解集為卜一1。<一；).

(1)若存在X,使/(x)+∣3x+l∣≤α成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)如果對(duì)于x,y滿足∣2x-y+l∣≤4,--≤γ≤l求證：/(x)≤9.

參考答案與解析

1.B

【分析】先分別計(jì)算化簡(jiǎn)兩個(gè)集合，再進(jìn)行交集運(yùn)算.

［詳解］A=kIy=√4-x2∣={x?-1≤X≤2}和B=y=V_1}={止1≤y}

則Aβ=[-l,2]

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故選：B.

2.A

【分析】先化簡(jiǎn)/-x>0,再依據(jù)充分非必要條件的定義去判斷二者的邏輯關(guān)系

【詳解】由χ2-χ>o,可得x>l或x<O

則由“x>l”可以得到-x>0"；由“χ2-χ>o"不能得到“x>l”

則“x>l”是l,x2-x>0n的充分非必要條件

故選：A

3.D

【分析】由平行排除兩個(gè)選項(xiàng)，再由數(shù)量積小于0確定正確選項(xiàng).

【詳解】l×2-2×(-l)=4≠0,B選項(xiàng)向量與/,不平行，同理C選項(xiàng)向量與匕不平行

又lxl+2x2>0,A選項(xiàng)也不合題意，只有D滿足題意.

故選：D.

4.C

【分析】根據(jù)分層抽樣比例，由扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)求解.

【詳解】對(duì)于A：總體中對(duì)平臺(tái)一滿意的人數(shù)為2000χ35%=700,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：樣本中對(duì)平臺(tái)二滿意的人數(shù)約為1500χ5%χ20%=15,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：樣本中對(duì)平臺(tái)一和平臺(tái)二滿意的總?cè)藬?shù)為2000χ5%χ35%+1500χ5%χ20%=35+15=50,故選項(xiàng)C

正確；

對(duì)于D：對(duì)平臺(tái)三的滿意率為X：120=96%,所以〃?=96%,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

2500×5%

故選：C.

5.A

【分析】分小明和小李兩人一組，小明和小李再加1人三人一組，兩種情況討論，從而可得出答案.

【詳解】解：若小明和小李兩人一組，則有&=2種分配方法

若小明和小李再加1人三人一組，則有=6種分配方法

故不同的分配方案種數(shù)為2+6=8種.

故選：A.

6.D

【分析】把頻率看作概率，即可判斷AB的正誤；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)可判斷C。的正誤，即得答案.

【詳解】由題意，把頻率看作概率可得：

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夜晚下雨的概率約為與卷=；,故A正確：

255

未出現(xiàn)“日落云里走”夜晚下雨的概率約為=故8正確；

由Y*19.05>10.828,根據(jù)臨界值表，可得有99.9%的把握認(rèn)為“'日落云里走'是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否

下雨”有關(guān)，故C正確；

故O錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

13

【分析】由橢圓和雙曲線的定義以及余弦定理解得廣+會(huì)=4,再由“1”的代換和基本不等式求得結(jié)果.

e?e2

【詳解】設(shè)P為第一象限的交點(diǎn)IP耳I=S,IP鳥I=r,

,,...,fs+.=2o[s=a^-m

則由橢圓和雙曲線的定義可知C=

[5-Z=2m[t=a-m

JT

2221

，在aF?PE1中由余弦定理得：4c=5÷Γ-2^cos—=(a+m)+｛a-m)-(a+m)(a-m)

即：cr+3?=4c2

.cr3m2.1,3

—≈4,h即π：U+滔=a4

CCeIe2

2222=+

?*?3q+e2=?(?+-^-)(3el+^2)?(e÷,?÷~?^)—2Λ∕9)=3

當(dāng)且僅當(dāng)二=駕，即必=34時(shí)取得最小值為3.

%M

故選：B.

8.B

【分析】利用構(gòu)造法可得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，以及前〃項(xiàng)和S”，解不等式即可.

【詳解】由21+%=3,即%=一；〃"

得4+1-1=-3(?！耙?),且q-l=9

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即3.仕）<—,2"^1>375?neN'

⑴125

所以“210

故選：B.

9.D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系，求出g(x)的解析式，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即

可.

【詳解】將函數(shù)/(x)=SinX的圖象向左平移E個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin(x+g)

66

將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，得y=sin(gx+令

1TT

再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，得到函數(shù)g(x)=2sin(：x+m)

26

T=-=4π

則g(x)的最小正周期1,故A正確

2

由2々4+］歿4工+2+k÷—4kπ+-Λ∈Z

即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［4k∕r+-^~,4Z乃+—］(k∈Z),故B正確

g(§)=2sin(：x4+m)=2sin(g+￡)=2Sing=2是最大值，則直線X=4是函數(shù)g(x)圖象的一條對(duì)稱軸，故C

32363623

正確，D錯(cuò)誤.

故選：D.

10.C

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【詳解】對(duì)于①，由O<b<α<l得：→1,Vre(0,48),/(「>(￡)=1,則α*,①正確；

對(duì)「②，?λ?∈(0.1).logrπ-iogv?=logx^<logτl=0,lψ0<Iogxα<Iogx?.則IogaX>log/.②正確：

D

a,

對(duì)「③，函數(shù).V="∕(O<"?<1)∕E(O,DI：為減函數(shù)?MjO<b<α<1,則<加"即VXe(OJ),x<λ.③

誤；

對(duì)于④，當(dāng)Xe(O.b)時(shí),<1,1Ogax>log°b>log∕=l,即α*<log.x?誤

所以所給命題中真命題的是①②.

故選：C

11.B

【分析】分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D,設(shè)IBFI="，根據(jù)拋物線定義可知IBDI=%

進(jìn)而推斷出NBCD的值，在直角三角形中求得。，進(jìn)而根據(jù)/G,利用比例線段的性質(zhì)可求得。，則

拋物線方程可得.

【詳解】如圖分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D

設(shè)IBFl="，則由已知得：IBCI=2”,由定義得：∣80=",故NBC￡)=30。

在直角三角形ACE中QlAEI=4∣AC∣=4+3d

.?.2∣A目=Mq.?.4+3o=8從而得α=g

BD//FG——-?-求得P=2

23。

所以拋物線的方程為V=4x.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)拋物線定義得出IBDI=",

進(jìn)而推斷出NBCD的值，考查學(xué)生的分析審題能力，屬于一般題.

12.B

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【分析】根據(jù)角平分線的知識(shí)列方程，化簡(jiǎn)求得關(guān)于e的方程，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得e的取值

范圍.

【詳解】依題意可知BF是NABo的角平分線

由角平分線性質(zhì)可知J?-,代入。2=/一H可得M二1=+/

bca2-C2c2

故"與二J2j+e-o2∕-2e2-2e+l=0

?-e2e2

構(gòu)造函數(shù)/(x)=2χ3-2χ2一2x+l,0<x<lJ(x)=6χ2-4x-2

=2(3√-2x-l)=2(3x+l)(x-l),所以/(x)在區(qū)間(0,1)上遞減.

13?,f??1?..1?

UJ32{2J424

由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可知ee.

故選：B

13.-84

【分析】根據(jù)題意求出“，再求出展開式的通項(xiàng)，令X的指數(shù)等于0,從而可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)榈亩?xiàng)展開式中第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等

即C：=C：,所以”=9

=G(&r{一U=(-∕CQ號(hào)

則5I展開式的通項(xiàng)為加I

9-3%

令=0,則左=3

2

所以常數(shù)項(xiàng)為(T)3?C=-84.

故答案為：-84.

14.2√5

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【分析】計(jì)算出∣AB∣,結(jié)合圓心到直線x+2y-3=0的距離求得三角形ABC的面積.

【詳解】圓C的圓心為（2,3）,半徑r=3

2+6-

圓心到直線x+2y-3=0的距離為d=

所以IABl=2〃2一屋=2血二？=4

所以SMC=；XlABlXd=gχ4χ正=2式.

故答案為：2小

15.1

【分析】將Z化為三角形式表示，根據(jù)題設(shè)棣莫弗定理化簡(jiǎn)J+z，即可得結(jié)果.

【詳解】由Z=L4■--Z=COS-+zsin?

2233

∣∣∣7∣6lx/兀..兀\/16ττ..16τι八

所rr以sZ+z=z(zz+1)=(cos—+ism—)(cos-----+ιsm-----+1)

3333

H16兀..16兀，4兀..4兀.1J3.5π..5π

Itncos-----÷ιsιn-----+1=Cos-----Fisin-----Fl=---------1=cos-----Fisin—

33332233

LLt、ti7I兀.?兀5兀..5πIC..c1

所以Z+z=lcos?-+1sin?-I?cos-+ιsm-l=cos2π+?sin2π=I.

故答案為：1

16.空由##竺G

2727

【分析】把四棱錐尸-ABC。補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，知四棱錐尸-ABCO的外接球即為該長(zhǎng)方體的外接球，求出

球半徑，設(shè)正方形A38邊長(zhǎng)為X,由長(zhǎng)方體性質(zhì)求得棱錐的高如，再由體積公式表示出棱錐的體積，然

后利用導(dǎo)數(shù)求得最大值.

【詳解】由題意把四棱錐P-補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖，四棱錐P-ABCD的外接球即為該長(zhǎng)方體的外

接球

設(shè)球半徑為R，由4πR2=16兀得R=2

設(shè)AB=X(X>0),貝UPA2+χ2+χ2=QR)2=i6PA=收-2f

Vp-ABCD=?S,?BCDPA=^X2√16-2Λ2=與-√8Λ4-Λ6

令X』，則%S=產(chǎn)"

設(shè)f(t)=8r2-f3(r>0)f'(t)=16∕-3∕2=3∕(y→)

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0<r<,時(shí)/'C)>0,Of)單調(diào)遞增,f>一時(shí)f'(r)<O,/Q)單調(diào)遞減

33

16,32?X2

所以f=7f^max=-^r

所以X=生叵時(shí)I/.也,"取得最大值為也X莘=如巨.

333√327

故答案為竺叵.

⑵小

【分析】⑴利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為/(x)=sin(2x+如根據(jù)Xe(汽］得到2x+?^e與界

然后解不等式Sinbx+竽≥"可得W<2x+F≤學(xué)求解即可；

ko√2266

(2)利用已知條件求出角8的取值范圍，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得出/(B)+，(C)=sin(28q),利用正

弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得了(3)+∕(C)的取值范圍.

【詳解】⑴山)=冬］自+?-；√3.?IC.(c兀

=——s?n2Λ+—cos2x=sin2x+-

22I6.

/(x)≥:,即Sinl2x+g]≥?

2<6；2

π?π/5πEfππ

266163

故不等式/(x)21的解集為(K

2?O?

o<y

(2)由題意可得,且4=(,可得工<B<工

A+仁62

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?.?A=-,A+B+C=τt

3

c=T^β

F(B)+/(C)=Sin28+V+sinl2C+^=sinf1+sin-π-2B+-

36

=sinf2B÷-∣-cos2B=-^sin2β÷-^-cos2B-cos2B=—sin2B--^-cos2β

I6；2222

=sin(2B--^

?*<8苦,貝吟<2囁哼

.?./(B)+/(C)=Sin128∈[J

故f(B)+f(C)的取值范圍為

18.⑴36歲;

⑵*

【分析】(1)由頻率直方圖求平均數(shù)即可;

(2)由分層抽樣確定各組抽取人數(shù)，再應(yīng)用列舉法求概率.

(1)

由題意得，25x0.3+35x0.4+45*0.2+55*0.1=36即圖中市民年齡的平均數(shù)為36歲.

(2)

從年齡落在［40,50),［50,60］兩組內(nèi)的市民中按分層抽樣方法抽取了6位學(xué)生

年齡在［40,50)的市民中抽?。?0×^=4{?,設(shè)為a,b,c,d

年齡在［50,60］的市民中抽取：10、&=2位，設(shè)為AB

從這6位市民中隨機(jī)抽取2位進(jìn)行不良反應(yīng)調(diào)查

樣本空間為Q={ab,ac,ad,aA,aB,be,bd,bA,bB,cd,cA,cB,<JA,dB,AB}共有15個(gè)樣本點(diǎn)

設(shè)“。=這2位市民來自不同組"，則D={SM氏M∕B,cA,cB,"U∕B},共8個(gè)樣本點(diǎn)

PT哈

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Q

所以，這2位市民來自不同組的概率為百.

19.(1)詳見解析；

(2)詳見解析.

【分析】(1)利用線面平行的判定定理即證；

(2)四與劭的交點(diǎn)〃即為所求，利用面面平行的判定定理可得平面4W平面R%,進(jìn)而即得.

【詳解】(1),：E、尸分別是6C,改中點(diǎn)

C.EF//PC

；尸CU平面用C,EF(Z平面為C

.?.iTW平面PAC.

(2)連接與故相交于〃，即為所求點(diǎn)

?：E、G分別是及7、4?中點(diǎn)

：.AE//CG

：他0平面尸磔，。七平面ACG

〃平面PCG

又,：EFHPG公平面A7G,EFa平面。CG

：.EF〃平面PCG,AECEF=E,AE,￡7七平面44

平面4W平面?CGFHU平面4廝

.*.FH//平面PCG.

20.(1)f=l或f=一1；(2)H=0.

【分析】(1)利用向量平行的坐標(biāo)表示列方程，由此求得f的值.

(2)利用向量相等列方程組，解方程組求得χ,y,由此求得口的值.

【詳解】(1)?.?α=(T,T)4=(0,1)

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?，?fα+夕=(T,1—α+，4=(-1—1).

V(ta+B)IKa+tβ),：.→(∕-l)-(-l)(l-z)=O

解得，=1或，=-1.

(2)Vc=-ya+(?-x)β

：.(x,y)=(y,j+l-x)

[x=y,[x=?

即?,,解t得

[y=y+ι-χ[y=ι

.'H=JX*+y2=>/2.

21.⑴y=gx+2

(2)0

(3)證明見解析

【分析】(I)先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，求出切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式，即可求解

(2)令力("=/(X)-/一2,再求導(dǎo)函數(shù)"(x)=d-eτ-2x,令M(X)=爐-e-'-2x,得"(X)NO,所以I(X)

在戶上為增函數(shù)，從而求出MX)有最小值，即可求解.

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，題意可轉(zhuǎn)化為證明x+1-j7x-Y-l≥0,再由切線放縮，題意可轉(zhuǎn)化為證明

∣+2>√7Λ-X2-1,兩邊平方，即可證明.

(1)

w

LlJg(X)=k0/=2√i^√-l

即g'(2)=:,且g(2)=3,所以曲線y=g(*)在點(diǎn)⑵g(2))處的切線方程為y-3=g(x-2),即>=；x+2

(2)

由MX)=/(x)-x2-2,得〃(尤)=。-6-，-2%

令M(x)=e"-eT-2x,則M'(χ)=e`+6一工一2≥-2=0,所以在7?上為增函數(shù)

注意至叫(O)=0,則當(dāng)JKo時(shí)〃'(x)vθ;當(dāng)x>0時(shí)〃(力>0

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所以A(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增

所以X=O是A(x)的極小值點(diǎn)，也是A(X)的最小值點(diǎn)

故方(X)的最小值為方(O)=0.

(3)

xx

令〃(X)=/(x)一Xg(X)=e+e^_xj7x_x2_］(7_,有≤x≤2+∣^j.

222

由(2)得/(x)≥*+2,+e→-x√7x-x-1>x+2-X√7X-X-1(當(dāng)且僅當(dāng)X=O時(shí)取等號(hào))，所

以，要證”(x)≥0,現(xiàn)只需證明ι+g-,7X-X2-l≥Q

21

而曲線y=x+—在X=2處的切線方程為y=7x+2.

X2

因?yàn)椋?1)-(}x+2)=尹1-2≥2jH-2=0(當(dāng)且僅當(dāng)X=2時(shí)取等號(hào))

所以x+2之?x+2成立，由此，即證專+2≥j7x-f-l.

X22

≡(∣+2j^-(√7x-x2-lj2=∣(x-2)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)).

所以］+2≥√7x-Y-I成立.

綜上,H(X)≥0,即/(x)Nx?g(x)成立.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，要充分利用前面問題的結(jié)論，進(jìn)切線放縮，才可求解。

22.⑴曲線CI的普通方程為氐-y+2-√J=0;C?的直角坐標(biāo)方程為χ2+y2+4χ-4y=0.

⑵3拒

【分析】(1)消去參數(shù)f得曲線G的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式直接求解即可得C2的直

角坐標(biāo)方程；

(2)結(jié)合(1)得曲線g為直線，傾斜角為150,過點(diǎn)P(L2),進(jìn)而寫出曲