35、空間幾何體內(nèi)切球問題

【題型目錄】

3V

題型一：空間幾何體內(nèi)切球問題（，=丁，其中V為幾何體的體積，S為其表面積）

【典型例題】

3V

題型一：空間幾何體內(nèi)切球問題（，=不，其中V為幾何體的體積，S為其表面積）

【例1】我們知道，在./WC中，AB=c,AC=h,BC=a,若/為內(nèi)切圓的圓心，則由

Siah+Sιnc+SICA=SABC得到，ABC內(nèi)切圓的半徑r=當(dāng)”.將此結(jié)論類比到空間，得到：

a+b+c

在三棱錐O-ASC中，SABC=SD，SBCD=SA,SCDA=SB,SDAB=SC,則三棱錐。-ABC內(nèi)切

球的半徑A=.

［林家］----""-ABC-----

SA+SB+SC+SD

【分析】三棱錐可分割為以內(nèi)切球球心為頂點的四個小三棱錐，且棱錐的高為球半徑，利用

體積相等求解即可.

【詳解】設(shè)三棱錐。-ASC內(nèi)切球的圓心為。，半徑為R,

則^O-ABC+^O-BCD+^O-CDA+^O-DAB=VD-ABC（。為內(nèi)切球的球心），

因為球與棱錐各個面相切，所以。到各個面的距離為R,

故?RSn+-RS.+-RS11+-RSC=Vnabc

3“3A3?3C?-*^*Λf>c

3%-"c

所以R=

Sa+Sp+Sc+SD

【例2】正方體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為（）

A.k3√3B.1:9C.1:3D.k√3

【答案】A

【分析】本題可設(shè)正方體的棱長為“，然后求出內(nèi)切球的體積乂，最后求出外接球的體積匕,

即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為“，

因為正方體的內(nèi)切球的直徑即正方體的棱長,

所以內(nèi)切球的半徑4=微，體積V1=?，

因為正方體的外接球的直徑即正方體的體對角線,

所以外接球的半徑/=4,+"+4=旦，體積κ=9〃

223

則內(nèi)切球和外接球的體積之比為它:叵心=1:373.

62

【例31與棱長為2的正四面體的所有棱都相切的球的直徑為（）

?-—^―B.&?C?2?j2D.3??∕2

【答案】B

【分析】把正四面體補成正方體，轉(zhuǎn)化為正方體的內(nèi)切球求解即可.

【詳解】如圖，棱長為2的正四面體ABCD的6條棱為正方體的面對角線，

因為球與正四面體的所有棱都相切，所以球與正方體的所有面都相切，

所以所求的球為正方體的內(nèi)切球，設(shè)正方體棱長為。，

貝IJM+/=22,所以“=&,則內(nèi)切球的直徑為“=√L

【例4】如圖為一個圓錐形的金屬配件，重75.06克，其軸截面是一個等邊三角形，現(xiàn)將其打

磨成一個體積最大的球形配件，則該球形配件的重量約為克.

A【答案】33.36

【分析】分別求出圓錐的體積和內(nèi)切球的體積，然后利用體積比，計算得到該內(nèi)切球的重量.

【詳解】設(shè)圓錐形的體積為：V1,底面半徑為「內(nèi)切球的體積為：V2,

V975.069

________=_—__=_>_"?=33.36

V24m4

【例5】記一正三棱柱的內(nèi)切球體積為匕，外接球體積為匕，則J=.

【答案】是

25

【分析】分析正三棱柱有內(nèi)切球的條件是：正三棱柱高的一半等于其底面正三角形的內(nèi)切圓

半徑，由此得到α=2瘋?，再根據(jù)外接球得到R=近八計算得答案.

【詳解】如圖所示，

設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為人底面正三角形邊長為“，

因為正三棱柱有內(nèi)切球，可得內(nèi)切球半徑r=或=LX34,

232

所以Q=2√3r，

記正三棱柱上下底面中心連線的中點為。，其外接球球心即為點。，

則外接球半徑R為點。到任一頂點的距離,

f2√3Y

所以R=J/+y∣r2÷(2r)"=y∣5r

「2J

所以H=3

25

【例6】2022年2月，女足亞洲杯決賽在印度打響，中國女足在落后兩球的不利局面下，連

入三球，以3:2的比分擊敗韓國隊第9次捧起亞洲版冠軍獎杯.同年10月，在澳大利亞舉行

的女籃世界杯上，中國姑娘們表現(xiàn)神勇，在半決賽中一舉擊潰東道主澳大利亞隊獲得銀牌,

追平了28年前的歷史最佳戰(zhàn)績.已知一個足球的直徑約為20cm,一個籃球的直徑約為22Cm,

現(xiàn)將3個足球放在地面上彼此相切，再將一個籃球放在它們的上方，此時這個模型的最高點

離地面的距離是cm.

【答案】萼+"Y

【分析】先將4個球的問題轉(zhuǎn)化為正三棱錐的問題，求出高，再轉(zhuǎn)化為最高點離地面的距離.

【詳解】解：四個球心構(gòu)成底面是邊長為20的正三角形，側(cè)棱長為21的正三棱錐，

設(shè)點為A,B,C,D,設(shè)等邊三角形BCQ的中心為。，連接OA,OD,

則AoJ_平面8CD,易知Oz）=迎叵，在AAOD中,

3+吁U=T+2MCm)

【例7】六氟化硫，化學(xué)式為Sξ,,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有

良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面

體是每個面都是正三角形的八面體），如圖所示.若此正八面體的棱長為2,則它的內(nèi)切球的

表面積為

【分析】根據(jù)正八面體的特征可知內(nèi)切球的球心為。，進(jìn)而根據(jù)等體積法即可求解半徑.

【詳解】設(shè)正八面體內(nèi)切球半徑R,給正八面體標(biāo)出字母如圖所示,

連接AC和8。交于點0,

因為E4=EC,ED=EB,所以EO_LAC,EOLBD,

乂4C和BO交于點。，4€',8。<=平面48。。，所以E0_L平面A8C。，

所以。為正八面體的中心，所以。到八個面的距離相等，

距離即為內(nèi)切球半徑，設(shè)內(nèi)切球與平面EBC切于點H,

所以O(shè)HL平面E8C,所以O(shè)H即為正八面體內(nèi)切球半徑，所以R=OH,

因為正八面體的棱長為2,

所以EB=EC=8C=2,OB=OC=厄,EO=NEB?-OB?=0，

所以SMBC=出,SAOBC=1>

因為VE-OBC=^0-EBC>~XSgoBCXEo=—×SdEBCXOH,所以O(shè)H=,

即R=逝，所以正八面體內(nèi)切球的表面積為：4πR2=等.

33

【例8】已知一個圓臺的母線長5,且它的內(nèi)切球的表面積為16兀，則該圓臺的體積為（）

64兀

A.25πB.C.28πD.36兀

3

【答案】C

【分析】畫出圓臺內(nèi)切球的軸截面圖，由題意結(jié)合圖象求出圓臺上下底面的半徑與高，再由

圓臺的體積公式即可求解

【詳解】圓臺內(nèi)切球的軸截面如圖所示，

由題意易知ABCD為等腰梯形，且AD=5,

取ARCD的中點?！浮?,連接QQ,

則易知球心。為O1O2的中點，

因為圓臺的內(nèi)切球的表面積為16兀，

所以圓臺的內(nèi)切球的半徑為2,即。。2=4,

過點。作OEi_A。，交AZ）與E,連接OE,

設(shè)QA=R,O1D=r,則由圓的切線性質(zhì)可知

AO1=AE=R,DO、=DE=r,

所以AE+ED=R+r=AD=5,

過點C作C/工鉆，交AB與F,

則Olo2=CF=4,FB=R-r,CB=AD=R+r=5,

由CF2+FB2=CB-

得42+(R-r)2=(R+r)2,解得R?r=4,

Rr=4R=4

由R+r=5,解得

r=1

所以圓臺的體積為丫=*〃（芯+/?，+,）=9*4（42+4、1+產(chǎn)）=28兀,

【例9】在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形,PA，平面ABCD,且PA=6,A8=8,

則四棱錐尸-ABCD的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）

A.典B.-C.3D.—

242

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何體內(nèi)切圓半徑公式，=三（V為幾何體的體枳，S為幾何體的表面積），由

PAAB,AO兩兩垂直，四棱錐可補形為長方體，可得外接圓的半徑公式，可得答案.

（詳解】設(shè)四棱錐P-ABcD的外接球與內(nèi)切球的半徑分別為R,r.

因為?≡sQ=gx82χ6=128,

四棱錐;＞一480）的表面積5=82+工乂6'8義2+,*8'1（）義2=192,

22

所以z,=2?39=2,

S

因為PAAB,A。兩兩垂直，四棱錐可補形為長方體，所以K=:√G+82+62=而，

所以四棱錐P-ABCD的外接球與內(nèi)切球的及面積之比為誓=V.

4πr~4

【題型專練】

1.已知正三棱錐V-ABC中，側(cè)面與底面所成角的正切值為√∑,Aβ=6,這個三棱錐的內(nèi)

切球和外接球的半徑之比為（）

A?宰BG

【答案】B

【分析】根據(jù)正三棱錐底面邊長為6,且側(cè)面與底面所成角的正切值為拉，求出三棱錐的高

和側(cè)高，利用勾股定理求出外接球半徑，再利用等體積法求出內(nèi)切圓半徑即可.

【詳解】因為三棱錐V-ABC為正三棱錐，底面邊長為6,

且側(cè)面與底面所成角的正切值為近，所以可得正三棱錐的高〃=",側(cè)面的高3；

設(shè)正三棱錐底面中心為。，其外接球的半徑為R,內(nèi)切球半徑為「，

則有。。，。大=R2,也即(#_R)2+12=R2,解得：R=婭，

2

正三棱錐的體積V=gs.c?=3xgx6x3xgxr+gsA8c"，

?B∣jl×9√3×√6=9r+3√3r,解得：竺=逑=

39+3√32

所以L=當(dāng)好=正1,

R3√63

2.在封閉的直三棱柱ABC-ABIG內(nèi)，有一體積為丫的球，若AB，BC,AB=3,8C=4,AA1=5,

當(dāng)球的體積丫取得最大值時，球的內(nèi)接正四面體的棱長為.

【答案】亞

3

【分析】由題知ASC的內(nèi)切圓半徑為1,進(jìn)而得球的體積最大時R=I,再將其轉(zhuǎn)化為球中

內(nèi)接正方體的，求正方體的面對角線長即可.

【詳解】解：因為45L3C,45=3,BC=4,所以一ABC為直角三角形，

,倉中4

所以ABC的內(nèi)切圓半徑為丁2------------=1

5?(34÷5)

因為要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切，設(shè)球的半徑為R,

所以R≤l,又2R≤5,所以R≤l,

4Q4

所以，Zax=鏟Xl=鏟，R=I

所以，該球的內(nèi)接正方體的體對角線的長為2R=2,

所以，該球的內(nèi)接正方體的邊長為濁，

3

所以，該球的內(nèi)接正方體的面對角線的長為地，即球的內(nèi)接正四面體的棱長為也.

33

3.在四棱錐P-ΛBC。中，平面F4B_L平面A8Cf>,24B為邊長為1的等邊三角形，底面

ABCD為矩形.若四棱錐P-ABCO存在一個內(nèi)切球(內(nèi)切球定義：若一個多面體的各面都與

一個球的球面相切，則稱這個球是這個多面體的內(nèi)切球)，則內(nèi)切球的表面積為()

4ττ兀

A.4πB.兀C.—D.—

33

【答案】D

【分析】根據(jù)內(nèi)切球在等邊三角形上鉆內(nèi)的“正投影”求得內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而求得內(nèi)切球的

表面積.

【詳解】由于平面平面ABC。，為邊長為1的等邊三角形，底面A6CZ）為矩形，

所以四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球在等邊三角形Λ,PAB的“正投影”是等邊三角形ΛPAB的內(nèi)切

圓，

設(shè)等邊三角形AQ48的內(nèi)切圓半徑為，，

則SPAB=—×（1+1+1）×∕^=-×1×1×sin—,解得r=走~,

2236

所以內(nèi)切球的半徑為亞，其表面積為4兀x［更］==.

4.在一ABC中，AB=AC=3,ZABC=30。，現(xiàn)以BC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)360。得到一個旋轉(zhuǎn)體,

則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的體積為（）

?27扃R27扃r27πn27π

A.----------D.--------------L?U.

16481648

【答案】A

【分析】作出旋轉(zhuǎn)體的軸截面，利用幾何關(guān)系求出內(nèi)切球的半徑片上叵，即可求出內(nèi)切球的

4

體積.

【詳解】如圖所示，旋轉(zhuǎn)體的軸截面是邊長為3的菱形，設(shè)。為內(nèi)切球的球心，

因為AB=AC=3.ZABC=30o,所以ZACB=ZABC=30o,ZBAC=120o,

所以Ao=AC?sin30o=∣,CO=4C?cos30°=空，

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