專題47以函數(shù)為背景的等腰三角形的存在性問題【題型演練】一、解答題1．已知拋物線經(jīng)過，兩點，直線l是拋物線的對稱軸．(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點P的坐標以及這個最小周長；(3)在直線l上是否存在點M，使為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．2．如圖，已知拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式及點的坐標；(2)若為拋物線上一點，連接，是否存在以為底的等腰？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖，拋物線：與x軸交于點A，頂點為點P．

(1)直接寫出拋物線的對稱軸是______，用含a的代數(shù)式表示頂點P的坐標______；(2)把拋物線繞點旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線（其中），拋物線與x軸右側(cè)的交點為點B，頂點為點Q．①當(dāng)時，求線段AB的長：②在①的條件下，是否存在為等腰三角形，若存在請求出a的值，若不存在，請說明理由．4．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線的對稱軸及頂點坐標(3)在坐標軸是否存在一點．使得是等腰三角形，若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由；5．如圖，已知拋物線經(jīng)過，，三點，直線是拋物線的對稱軸．

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式及對稱軸；(2)設(shè)點為直線上的一個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點的坐標？(3)在直線上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，求出點的坐標；不存在，說明理由．6．如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點、，與y軸交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的對稱軸上是存在點K，使為等腰三角形，若存在，請求出K點坐標，若不存在，請說明理由；(3)如圖2，若點P是二次函數(shù)圖象上位于下方的一個動點，作交于M，設(shè)點P的橫坐標為t，求的最大值．7．如圖，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為．

(1)求拋物線的解析式；(2)求線段所在直線的解析式；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使為等腰三角形？若存在，求出符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．8．如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，已知，．(1)求拋物線的表達式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．9．如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與x軸交于另一點A，點D是拋物線的頂點．

(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；(2)如圖1，點E在拋物線上，連接并延長交x軸于點F，連接，若是以為底的等腰三角形，求點E坐標．(3)如圖2，連接、，在拋物線上是否存在點M，使，若存在，求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．10．如圖1，直線與拋物線交于，兩點，拋物線與x軸的另一個交點為B，頂點為D．(1)求直線及拋物線的解析式．(2)M是第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點M作于N，當(dāng)最大時，求點M的坐標．(3)如圖2，將拋物線沿射線AC方向以每秒個單位的速度平移，平移后拋物線的頂點為，設(shè)平移時間為t秒，當(dāng)為等腰三角形時，求t的值．11．綜合與探究如圖，拋物線經(jīng)過，，三點，與y軸交于點C，作直線．

(1)求拋物線和直線的函數(shù)解析式．(2)D是直線上方拋物線上一點，求面積的最大值及此時點D的坐標．(3)在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得以點P，B，C為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．12．如圖，對稱軸為直線的拋物線與軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與軸交于點，其中點的坐標為，點的坐標為．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖①，若點為拋物線上第二象限內(nèi)的一點，且到軸的距離是2.點為線段上的一個動點，求周長的最小值；(3)如圖②，將原拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，得新拋物線，在新拋物線的對稱軸上是否存在點，使得為等腰三角形?若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．13．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與軸的交點為，兩點，與軸交于點，頂點為，其對稱軸與軸交于點．

(1)求二次函數(shù)解析式；(2)連接，，，試判斷的形狀，并說明理由；(3)點為第三象限內(nèi)拋物線上一點，的面積記為，求的最大值及此時點的坐標；(4)在線段上，是否存在點，使為等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．14．已知拋物線的圖象與x軸相交于點A和點，與y軸交于點C，連接，有一動點D在線段上運動，過點D作x軸的垂線，交拋物線于點E，交x軸于點F，，設(shè)點D的橫坐標為m．(1)求拋物線的解析式；(2)連接、，當(dāng)四邊形的面積最大時，求點D的坐標及最大面積；(3)D點在運動過程中，是否存在三角形為等腰三角形，若存在，直接寫出m值，若不存在，說明理由．15．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為，與y軸交于點．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式．(2)過點A作交拋物線于點M，求四邊形的面積．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由16．如圖，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點A，點P是線段上方拋物線上的一個動點．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點P運動到什么位置時，的面積最大？(3)過點P作x軸的垂線，交線段于點D，再過點P作軸交拋物線于點E，連接．是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．17．拋物線交x軸于，兩點，與y軸交于點C，連接，．M為線段上的一個動點，過點M作軸，交拋物線于點P，交于點Q．

(1)求拋物線的表達式；(2)設(shè)M點的坐標為，請用含m的代數(shù)式表示線段的長，并求出當(dāng)m為何值時，有最大值，最大值是多少？(3)試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．(4)在（2）的條件下，直線上有一動點R，連接，將線段繞點R逆時針旋轉(zhuǎn)90度，使點O的對應(yīng)點T恰好落在該拋物線上，直接寫出點R的坐標．18．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點，．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)點為直線下方拋物線上的一動點，過點作交于點，過點作軸的平行線交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)如圖2，將該拋物線先向左平移4個單位，再向上移3個單位，得到新拋物線，新拋物線與軸交于點，點為軸左側(cè)新拋物線上一點，過作軸交射線于點，連接，當(dāng)為等腰三角形時，直接寫出所有符合條件的點的橫坐標．19．如圖，已知直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過，兩點，且與軸的另一個交點為，對稱軸為直線．

(1)求拋物線的表達式；(2)已知點是拋物線對稱軸上一點，當(dāng)?shù)闹底钚r，點的坐標是___________；(3)若點在拋物線對稱軸上，是否存在點，使以點，，為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．20．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過，與y軸交于點C，經(jīng)過點C的直線與拋物線交于另一點，點M為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．(1)求直線的解析