未知驅(qū)動(dòng)探索，專注成就專業(yè)高等數(shù)學(xué)2(蘭州交通大學(xué))中國(guó)大學(xué)MOOC(慕課)章節(jié)測(cè)驗(yàn)試題(答案)第一章流形上的積分1.1曲線積分試題計(jì)算曲線積分$\\int_C(x^2+y^2+z^2)ds$，其中曲線C是圓周x2+計(jì)算曲線積分$\\int_C(x^2+y^2+z^2)ds$，其中曲線C是從點(diǎn)(1,0,0)到點(diǎn)(0,1,1)的拋物線段。答案曲線C是圓周x2+y2曲線C是從點(diǎn)(1,0,0)到點(diǎn)(0,1,1)的拋物線段?？梢杂脜?shù)方程表示曲線C上的點(diǎn)：$x=1-t\\\\y=t\\\\z=t\\\\s=\\int_C(x^2+y^2+z^2)ds=\\int_C((1-t)^2+t^2+t^2)\\sqrt{(\\frac{dx}{dt})^2+(\\frac{dy}{dt})^2+(\\frac{dz}{dt})^2}dt=\\int_0^1((1-t)^2+t^2+t^2)\\sqrt{(-1)^2+(1)^2+(1)^2}dt=\\int_0^1(3t^2-2t+1)\\sqrt{3}dt=\\sqrt{3}\\int_0^1(3t^2-2t+1)dt=\\sqrt{3}[\\frac{t^3}{3}-t^2+t]_0^1=\\sqrt{3}$第二章多元函數(shù)的積分學(xué)2.1重積分試題計(jì)算重積分$\\iint_Dx^2+y^2d\\sigma$，其中區(qū)域D是平面上以原點(diǎn)為中心的半徑為a的圓。答案區(qū)域D是平面上以原點(diǎn)為中心的半徑為a的圓。可以用極坐標(biāo)表示區(qū)域D上的點(diǎn)：$x=r\\cos\\theta\\\\y=r\\sin\\theta\\\\d\\sigma=rd\\thetadr\\\\\\iint_Dx^2+y^2d\\sigma=\\int_0^a\\int_0^{2\\pi}(r\\cos\\theta)^2+(r\\sin\\theta)^2rd\\thetadr=\\int_0^a\\int_0^{2\\pi}(r^3\\cos^2\\theta+r^3\\sin^2\\theta)d\\thetadr=\\int_0^a\\int_0^{2\\pi}r^3(\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta)d\\thetadr=\\int_0^a\\int_0^{2\\pi}r^3d\\thetadr=\\int_0^ar^3\\theta|_0^{2\\pi}dr=\\int_0^a2\\pir^3dr=2\\pi\\int_0^ar^3dr=2\\pi[\\frac{r^4}{4}]_0^a=\\frac{1}{2}\\pia^4$第三章無(wú)窮級(jí)數(shù)3.1數(shù)值級(jí)數(shù)試題判斷級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n^p}$的收斂性。答案根據(jù)萊布尼茨判別法，對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n^p}$，只需要判斷序列$\\{\\frac{1}{n^p}\\}$的單調(diào)性和極限趨于零。單調(diào)性部分很明顯，因?yàn)榉帜竛p隨著n的增加而增加，所以$\\{\\frac{1}{n^p}\\}$是單調(diào)遞減的。至于極限部分，當(dāng)p>0時(shí)，$\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{1}{n^p}=0$。綜上所述，當(dāng)p>0時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n^p}$第四章二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分4.1偏導(dǎo)數(shù)試題計(jì)算函數(shù)z=x2+y3的偏導(dǎo)數(shù)答案函數(shù)z=x2+y3的偏導(dǎo)數(shù)$\\frac{\\partialz}{\\partialx}$表示在z的變化中，x的變化對(duì)應(yīng)的比例關(guān)系。根據(jù)函數(shù)z=第五章曲線與曲面積分5.1第一型曲線積分試題計(jì)算第一型曲線積分$\\int_Cx^2ds$，其中曲線C是橢圓$\\frac{x^2}{a^2}+\\frac{y^2}{b^2}=1$的上半部分。答案曲線C是橢圓$\\frac{x^2}{a^2}+\\frac{y^2}{b^2}=1$的上半部分。可以用參數(shù)方程表示曲線C上的點(diǎn)：$x=a\\cos\\theta\\\\y=b\\sin\\theta\\\\z=0\\\\s=\\int_Cx^2ds=\\int_C(a\\cos\\theta)^2\\sqrt{(\\frac{dx}{d\\theta})^2+(\\frac{dy}{d\\theta})^2}d\\theta=\\int_0^{\\pi}(a\\cos\\theta)^2\\sqrt{(-a\\sin\\theta)^2+(b\\cos\\theta)^2}d\\theta=\\int_0^{\\pi}(a^2\\cos^2\\theta)\\sqrt{a^2\\sin^2\\theta+b^2\\cos^2\\theta}d\\theta$根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可以得到$\\sin^2\\theta=1-\\frac{b^2}{a^2}\\cos^2\\theta$。代入上式得到：$s=\\int_0^{\\pi}(a^2\\cos^2\\theta)\\sqrt{a^2(1-\\frac{b^2}{a^2}\\cos^2\\theta)+b^2\\cos^2\\theta}d\\theta=\\int_0^{\\pi}(a^2\\cos^2\\theta)\\sqrt{a^2-b^2\\cos^2\\theta}d\\theta$令t=cos(θ)，則dt=-sin(θ)dθ，當(dāng)θ=0時(shí)，t=1，當(dāng)θ=π時(shí)，t=-1，代入得：$s=\\int_1^{-1}(a^2\\cos^2\\theta)\\sqrt{a^2-b^2\\cos^2\\theta}(-\\frac{dt}{\\sqrt{1-t^2}})=\\int_1^{-1}(a^2\\cos^2\\theta)\\sqrt{a^2-b^2\\cos^2\\theta}\\frac{dt}{\\sqrt{1-t^2}}$由于cos(θ)的周期性質(zhì)，上面的積分可以變換為：$s=