2023年湖北省孝感市成考專升本高等數(shù)學(xué)

二自考模擬考試(含答案帶解析)

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

1曲線y=?在點(diǎn)處的切線方程為

1.c?------------

函數(shù)y=，4—彳+ln(?r-l)的定義域是

AA(。㈤

B.(l,4]

C.(l,4)

D.(1,+8)

3.設(shè)f(x)=xe2(χ-D,則在x=l處的切線方程是()。

A.3x-y+4=0B.3x+y+4=0C.3x+y-4=0D.3x-y-2=0

4已知α為常數(shù)M)=2?,則回ZF等于()A2hB,α?2α-1C.2aln2

D.0

5.函數(shù)f(x)=(χ2-l)3+l,在X=I處【】

A.有極大值1B.有極小值1C.有極小值0D.無極值

6f(xo)=O,f"(xo)>O,是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=xo處有極值的()。

A.必要條件B.充要條件C.充分條件D.無關(guān)條件

7對函數(shù)/(x,?)=√x2+/.原點(diǎn)(0,0)

A.A.是駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)B.是駐點(diǎn)且是極值點(diǎn)C不是駐點(diǎn)，但是極

大值點(diǎn)D.不是駐點(diǎn)，但是極小值點(diǎn)

lim∕i÷AΓ=

9.若隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，而且P(A)=O.4,P(B)=O.5,則P(AB)=

A.0.2B.0.4C.0.5D,0.9

10.當(dāng)X—>0時,若sin?與Xk是等價無窮小量，則k=

A.A.1∕2B.1C.2D.3

設(shè)/(H,y)=1n(H+j).則/',(I」)=(j

A.In2

RJ

C-In2

lλ■?y

11.

已知函數(shù)/(x)=?,則lim∕(l÷Δr)-∕(Ds

12.I?x()o

A.-3B.0C.lD.3

13.設(shè)IOO件產(chǎn)品中有次品4件，從中任取5件的不可能事件是

()O

A.“5件都是正品”B.“5件都是次品”C，至少有1件是次品”D.“至少有

1件是正品”

IyI設(shè)函數(shù)Z=Sin(Xy2),則24等于().

1Q??r

A.y4cos(xy2)

B.-y4cos(xy2)

C.y4sin(xy2)

D.-y4sin(xy2)

B.'

丁97

當(dāng)”fl時，定是1一石的

16.[]A.高階無窮小B.

低階無窮小C.等價無窮小D.不可比較

*設(shè)/(X)為連續(xù)函數(shù)，則(/'(2x)dx=

A.∕(2)√(0)

B2[f(2)√(O)]

?[f(2)√(O)]

C.2

?[/-(?)√(O)]

D.2

若/（才）為偶函數(shù)，則「/（，）山是

JO

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù)D.周期函數(shù)

19.

設(shè)函數(shù)八工）=產(chǎn)二工號1貝∣J/Cr）在Z=I處

（X—1,x<l

A.不連續(xù)

a連續(xù)但不可導(dǎo)

c.連續(xù)且∕z（i）=一ι

D.連續(xù)且/（1）=1

20.反常積分∫“白dx等于（）.

A.A.1B.l/2C.-l∕2D.+∞

91函數(shù)》=2尸+3/-121+1的單調(diào)遞減區(qū)間是

22設(shè)函數(shù)I=In(X+y),則稱L“=().

A.0B.1/2C.ln2D.1

(5√+2)<lr=

23√,

A.lB.3C.5D.7

24當(dāng)工-O時?si∏3x是2”的

A.低階無窮小量B.等價無窮小量C.同階但不等價無窮小量D.高階無

窮小量

?-?5∫∕(x)dx=e^2,*l+C,則J∕(2x+Ddx=

∕3?X)O

A.""+C

B.Y"*'+C

/(2Ax)~∕(0)

26設(shè)函數(shù)/(“)=Um與，則‘吧等于().

A.-2B.-lC.0D.2

若./Q)CLr=F(τ)+C?則SiTLry(COS?)d?等十()

Λ.F(siar),(,

B.FCsiru)一('

CF(cosjr)LC

FI).^F(cos√)+C

28.下列廣義積分收斂的是O0

d?

InIZlCLr

CJ-OO

?+∞

e?d?

1

設(shè)加是常數(shù)，則Iim史裝等于

29.I1()o

A.0

B.1

C.m

1

2

D.zn

30.

已知y=2?+∕+J,則，等于().

,

A.2,+2x+eB.2*lnx+2x+2e

C.2"ln2+2xD.??2"^,+2*

二、填空題（30題）

.二元函數(shù)Z=—?-的定義域是

1÷?

31.

32.

設(shè)f(cos2x)=sin%,且/(0)=0,則/(?)等于

33.

設(shè)y=?n,y-2x?nx確定函數(shù)y=y(?r),則y'=.

34.

設(shè)Z=(SinZ)Co”(0VJrVTt),則dz=

35.曲線y=sin(x+l)在點(diǎn)GLo)處的切線斜率為

_,∫'-----------dx=.

36.J"L+3x+2--------------

37.

設(shè)Z=且/“）可微.則-=

39.

設(shè)Z=“InV,而U=CoSx,v=ej>則業(yè)=

dx

40.

〃一1

41.設(shè)產(chǎn)=4+3,則產(chǎn)'

設(shè)函H/(?)可導(dǎo)11/(0)-。.則hm㈢

42A?∕<χ>a∕<o>c./(0)∏fZco>

若Iim電史?=5,則八____________.

43.…kx

44設(shè)y=lnx-x,求dy.

45.黑(嚼

46.設(shè)函數(shù)f(x)=ex+lnx,貝∣Jf'(3)=

47.

48.

49.設(shè)f'(sinX)=CoS2χ,貝IJf(X)=o

50.

函數(shù)U=2τy-3x:-3yi+20在其定義域上

A.有極大值，無極小值B.無極大值,有極小值

C.有極大值,有極小值D.無極大值，無極小值

JJ

?。?t÷arctant)d:=________?

5LdxJo

52.

設(shè)函數(shù)9(I)=Jt?e'd/<H∣］tp'(.x)—

,1,

A.τe?B.-j-e^C.2je?,D.-2x3e'

I?dr^-------------

53.

54.

不定積分［±8s?d?=--------------

計算

55.

56.

函數(shù)?,=|s?n?I在H=O處的導(dǎo)數(shù)為

A.-1B.0C.1D.不存在

57.函數(shù)曲線y=xe”的凸區(qū)間是

58.

ZSinX

設(shè)/(x)=,則/(χ)=

1+COSx

59.

設(shè)函數(shù)y≈2x2+ax+3在點(diǎn)x=l處取得極小值，則α=.

60.

?7

設(shè)z=arccot(x+),則癡=.

三、計算題(30題)

61.①求曲線y=x2(x≥0),y=l與X=O所圍成的平面圖形的面積S:

②求①中的平面圖形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy.

62.

計算二重積分/=+_/+3y)d?rdy.其中D=((J>>)|÷≤u?x≥0).

設(shè)函數(shù)/(r)-一￡/?1】.求/(工)在1-1.2］上的最大值與最小值.

63.3J

求“yc"cLrdy?其中區(qū)域D由y≡=y9y=2,工Hl及N=2所圍成.

Aq設(shè)函數(shù)之=(2］+J)，.',求dz.

66已知八°〉=/(0)=一1./(2)=∕(2)=I.求［.""""Lr.

計算定積分，/2Z一工&.

67.

?.工)0，,

求j?(?-1)&?

設(shè)∕ɑ)

?<0?

I÷e/

68.

的導(dǎo)致條

求函數(shù).V=Jj

69.

rc求定積分

70.

設(shè)下述積分在全平面上與路徑無關(guān):

一號卜

J1?/f(?)d?+[6N)dy,

71.其中函數(shù)儀力具有連續(xù)導(dǎo)致.并且6D=1.求函數(shù)6工).

72.什咪/^必

73.求函數(shù)/(?)=Her在定義域內(nèi)的最大值和最小值.

求微分方程,y,=*+—曲的通解.

74.CoSy

75.求解微分方程?r∣n?rdy+(y-ln?)d?=0滿足條件>(e)=1的特解.

76.設(shè)函數(shù)y=χ4sinx,求dy.

設(shè)z=(%y)是由方程x,+√-e'=O所確定的Ift函數(shù),求生.

//.a?

計算不定積分I工^27+Tir.

/O.-

79.設(shè)曲線y=4-x2(x≥0)與X軸，y軸及直線x=4所圍成的平面圖形為

D(如

圖中陰影部分所示).

①求D的面積S;

②求圖中X軸上方的陰影部分繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy.

求極限物(若總1+ST)c°4>

計算定積分/codJrSin?d?.

81.

求不定不分j,4二亍山

82.J?,1+工

83求微分方程2，"+5y'=5/-2J-I的通解.

2

求?乳產(chǎn)Q

84.

求極限Iim

85.

求極限Iim(J-?-).

86.'?*hsJ-1

87.求函數(shù)z=x2+y2+2y的極值.

88.求微分方程3/5J'—5y'=°的通解.

求極限IimJ

89.…’

設(shè)D是由曲線N-?(?)與直線y=0.y-3圈成的區(qū)域,其中

(**.x≤2.

/(?)-J

6X??r>2?

90.求D繞P”艇轉(zhuǎn)形成的旋*體的體積.

四、綜合題(10題)

設(shè)平面圖形D是由曲線y=直線y=C及"軸所圍成的?求：

(1>平面圖形D的面枳I

91(2)平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體枳.

92證明方程/-3工一1=O在1與2之間至少有一個實(shí)根?

93.求函數(shù)八，)Jz'注定義域內(nèi)的最大值和最小值.

94.

一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)月租金定為2000元時.公寓會全部租出去，當(dāng)月

租金每增加100元時?就會多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花費(fèi)200元的維修

瘠.試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

Q<M方程e*-?-∫:rhdl=°在區(qū)間((M)內(nèi)有*的實(shí)根?

CN求函Hy-螞的單■區(qū)間.俄值及此函數(shù)曲蛾的凹凸區(qū)間?拐點(diǎn)和漸近線?

VO.,

97.

設(shè)函數(shù)y=αr3-60r2+6在［—1,2］上的最大值為3,最小值為一29,又α>0.求

Q只求函數(shù)V=^6>一P的單調(diào)區(qū)間和極值.

證明：當(dāng)工>0時,ln(l+G>+-.

99.?+?r

100,時論函數(shù)/U）=??-?的單調(diào)性.

五、解答題（10題）

101.

甲乙兩人獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊,甲乙兩人擊中目標(biāo)的概率分別為0.8與0,兩人各射擊

一次,求至少有一人擊中目標(biāo)的概率.

102.

設(shè)/=（tan?）?,求dy.

103.（本題滿分8分）

104.

盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的乒乓球各2個，從盒中任意取

出3個球，求下列事件的概率。

（I）A=｛取出的3個球上最大的數(shù)字是4｝.

（2）8=｛取出的3個球上的數(shù)字互不相同｝.

孑2

105.設(shè)『'存在，z=l∕xf(xy)+yf(x+y),求在Iθ?v

106.

求函數(shù)z=2d+3變在工=10,y=8,Ar=0.2,Ay=0.3時的全增量與全微分.

107.求由曲線y=j2JE2^J=I所圍成的平面圖形的面積。

108.（本題滿分10分）已知函數(shù)∕6）=αd+bJ+CX在點(diǎn)%處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)y=

/'（"）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1,0）和（2,0）（如圖2-1-1所示）.

（1）求極值點(diǎn)%的值；

設(shè)函數(shù)/（x）=A'HX；）,求常數(shù)公使/（X）在點(diǎn)X=O處連續(xù).

2x^aX70

[ZrAr

no.求下列不定積分：?ακ

六、單選題（0題）

UL已知卻C）]+MK）等于（）?A.-2B.-1C.l/2D.1

參考答案

v≡≡*一√?y≡X-√2

JL?

2.B

3.D

因?yàn)閒'(x)=(l+2x)e2fχ-1?f'(l)=3,則切線方程的斜率k=3,切線方程為

y-l=3(x-l),即3x-y-2=0,故選D。

4.D利用函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的定義的結(jié)構(gòu)式可知圖&生產(chǎn)人尸(》

注意到本題中/(X)=T是常數(shù)函數(shù),所以((X)=0,所以選D.

5.D

2j,2

/(Z)=(X-l)+LUf(x)=6x(?-D14?f'(x)=0,得鴕點(diǎn)??=-ltz2=0tχj=1,

當(dāng)0<r<l時/(z)>0,當(dāng)z>l時j'(z)>O,故/(工)?τ3=1處不取極值.

6.C

7.D

由于'(X'62+y2慶7‘

顯然，f；(0,0)、4(0,0)均不存在.

在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)，當(dāng)(x,>)W(O,0)時，總有/(X..=Jx2+八O=/(0,0),

所以，原點(diǎn)(0,0)不是駐點(diǎn)，但是極小值點(diǎn).

8.e'e'

9.A

10.C

當(dāng)?=2時,有Iim叫F=Iimf電竺］=I.即sin~~χ2,選C.

>→oχi>→β<X)

11.B

12.D

∣im'd+竺=/，(刈=3X2∣=3.

?ι→o?rJIE∣ι≡ι

13.B

不可能事件是指在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件。由于只有4件次

品，一次取出5件都是次品是根本不可能的，所以選B。

14.D

Z對X求偏導(dǎo)時應(yīng)將y視為常數(shù)，則有

∣∣=cos(xy2)?y2,￡j=-y2sin(x√).「=?√sin(√i),所以選口.

15.B

Hf亡卜子患.

16.C

1一1

由Iim———X-Iim?=1,所以當(dāng)?-?1時，?.?與1—Jx是等價無窮小.

?-?j-JJCχ-ι1+X1+?

17.C

本題的關(guān)鍵是/'(2x)=當(dāng)俘，.

d(2x)

困為∕,(2x)d(2x)=d∕(2x),

所以J"'(2x)dx=，j7'(2x)d(2r)=?/(2Λ),=?[/(2)-/(0)].

2202

18.A

記F(x)=?/(z)drt

則F(-χ)=?θ??(/)dz----[y(-M)(-du)(0/(?)為偶函數(shù)?故f(z)=f(—Z))=-J：f(〃)du=-F(z).

所以F(I)是奇函數(shù).

19.D

20.D

本題考查的知識點(diǎn)是反常積分收斂和發(fā)散的概念.

直接計算：f—dx=Iim[r-?-d(lnx)≡Iimln(Inx)∣*=Iimln(ln6)=÷∞,

J?xlnxJ??J.InxJ??

所以反常積分是發(fā)散的，選D.

21.(-21)

22.B此題暫無解析

23.B

24.C

25.C

2t2,u,-,,

∫∕(2x+l)d?=∣∫∕(2x+l)d(2x+!)=le^*'+C=∣e^'+C.

先求出/(x),再計算不定枳分也可以.

因?yàn)?(x)=-2e3,

則/(2x+1)=-2e2c

=-2e"∣.

所以J∕(2x+Ddχ=-2∫c4*^'dχ

=le*->+c.

2

26.D

根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)式可知

Iim〃2絲-皿，(0)=2(tanx)'|=2—??-=2,

A?→O?xI>>ecosX??β

選D.

27.D

28.B

29.A

30.C

答應(yīng)選C.

提示用基本初等函數(shù)的導(dǎo)致公式?

31.

11

3252?~2

2j(1+lnz)2j(1+lnz)

33.1-y1-5,

34.cosxcosy(sinx)cosy-ldx-siny(sinx)cosy-l?lnsinxdy

由丁=cosy?(sinz)c05rl?COSJ,—=(si∏j)σβy?lnsin??(-Siny),所以dz=

???y

COSJCOSy(Sin?)Ey1dr-siny(sinx)ωljrInsinxdy.

35.1

因?yàn)閥,=cos(x+l),則y,(-1)=1.

36.21n2-1∏3

［解析］「r-------Ck=「------?-------dr

J°X2+3X+2JO(X+D(X+2)

=￡?-?-----^^dx=［ln(x+l)-In(x+2)］

=2In2-In3.

37.

38.

3xif(xj-/)

［解析］生=粵Q］"=3x?r(Xf，).

?x?u?x

39.cosx-xsinx

方法

dz?zdu?zdv.,.u

—=----F~~—,—=i1nV,(—sinX)4~一?cx

dxσudxσvdxv

.ιcosx

=-sinxInex÷-------ex=-Λsmx+cosx

ex

方法二

=cosx,v=ejc代入z="InV中，得

z=Cosxlnex=XCoSJC

貝IJ-=cosx-xsinx

dx

40.1

Iim=IimJ(P—D=1.

jy∣t—1/^*1√Z—1

41.

【答案】應(yīng)填-/x^τ-cosX.

【解析）本題考查的知識點(diǎn)是由函數(shù)的n-2階導(dǎo)數(shù)求n階導(dǎo)數(shù).

由于3"力"=*,則有

產(chǎn)）=(?/?+coβX)?=(??^7-sinx)=--^?x^τ-cosx.

42.B

43.

解y,=--2xdy=(-^--2x)dx

44.XX

45.

48.

x--^-xj+Cx--xi-?-C

49.33

50.A

51.x+arctanx.

52.C

53.

∣lnτ+C

-sin工+C-sin工+C

54.??

211-jc_i1

解lim(------------)=Iim-=Iim------=—

55HXZ5-]χ-l*→ιX2-1IlJC+12

56.D

57.(-∞2)

58.

z+sinz

1+cosH

59.-4

60.

-及-=-------1------a(JC+y)、=------1----

?yI-F(X-Fy)2?yl÷(Λ+y)2

61.①由已知條件畫出平面圖形如圖陰影所示

S=((I-√)<k=[x-^j∣^=∣,

②旋轉(zhuǎn)體的體積

l>f*dy=∫:Ddy吟”:嘮

由對稱性知』3y<Lrdy=0,所以

U

I=∣T(JJ÷yi)drdy

62..

由對稱性知』3"kdy=0,所以

U

It,

I=∣],(J+y)djrd-v—2[d^?rdr=?ɑ'.

63.

∕v(j)=>-51+4.令/(?)=0,得臟點(diǎn)Jj=1.4=4.

由于40[-1.2],因此應(yīng)該舍掉.又/U)=?√<-l)=-?.∕(2)-?

OOO

可知/(?Γ)在[1.2]上的最大值點(diǎn)為?Γ=1,最大值/<1)=弓；最小值點(diǎn)為?r=-I.最

小值為八一口=?.

O

z

f(j)=/-5jr+4.令/(?)=0.得駐點(diǎn)??=l.Jl=4.

由于40[-1.2],因此應(yīng)該舍掉.又/(I)=?.∕(-D=-?.∕C2)=?.

OOO

可知/(J?)在[-T.2]上的最大值點(diǎn)為?Γ=1,最大值/(I)=最小值點(diǎn)為I――1?最

小值為/(-D=?.

D

64.

畫出枳分區(qū)域圖Q,如圖所示，

考慮到被積函數(shù)的情況.先對工積分較宜.

∣>ez*d?d,v=?d>J>eoCLr+?：dyjIerj?

2vJ:,

=?(e?-Cydy÷?ι(e-e)d?r

=?e'~e,?

畫出枳分區(qū)域圖D?如圖所示，

考慮到被枳函數(shù)的情況?先對?枳分較宜.

rvo,f

f]?edxd>r=?d>J>e(Lr+?ιdv?iyetd?

(e2?ψ—<√)dy÷j?(e:,-e)?r

=?e'-e*?

65.

方程兩邊取對數(shù).得

Irw=(?+2y)ln(2j÷y)?

兩端微分有

?d?=(dr÷2dy>ln(2<r+?)+(?÷2y)----?

所以dz=(2J+y)i”(□n(2?r+y)+2?+[2ln(2j+>)+

Zi+yZx÷>

方程兩邊取對數(shù),得

ln?=(?+2ty)ln(2x+?)?

兩端微分有

?d?=(d??2dy)ln(2*+y)+(?+2?)----

?ι?y

所以dr=(2J-+>)^{[IΠ(2J+>)+2?+[2ln(2j÷+5-?2ld>?

d*iyCtX,ιy

?產(chǎn)/*《1)CLr=Jjd/(i)=[J∕'(N)[-?f(?)d?

=2/(2)-[八叫：=2-2=0.

?jcf^(?)d?=??df,(?)=^?/'(?)?—J∕z(x)dr

=2/(2)—[/(x)"∣=2-2=0.

Jy∕2x—X,d?=f?/l~(?—l)2d(j—1)=√T-7rd∕

J0J-I

令f-Ninλf0

’?一cosΛ?cos∕ιdΛ

JT

=-?-?J1+COS2Λ)dΛ

=釘1產(chǎn)+￡[\皿2人*2/?)-

N手+%的∣lf=?

67.

??∕2J—xidx—?、/1-("一l)'d(<r—1)=y/1-rd/

J-I

.∣nACO

cosΛdΛ

JT

=??！?/p>

1÷cos2A)dλ

dΛ+y^cos2Λd(2Λ)'

=t÷?sin2λl^=f?

令hI1―〃?則CLr=(I〃■當(dāng)工S[θ?2]時W[―??1].于是

原式=J/(?—1)d?

=Jf(,u)du

=Jf(u)du÷?f(u)du

=Γ?d???d?

J-I1÷eJo1÷?

68.=ln(1÷e).

令.1≡=U,則CLr=C1“,當(dāng)IS[0?2]時?〃￡[―1.1].于是

原式二J/(?—?)d?

=J/(u)du

=?/(tt)du÷?/(u)du

=「?d?4,r?lr

J-l1+e?Jo1+工

=ln(1+c).

兩邊取自然對數(shù)得

InIjI=2lnI?1+?[?nI1—?|—In|1+?|],

兩邊對，求導(dǎo)得

i

y1/=72+,τl[rπ-l^-τ+?7j1?

u/F2I11η

即ny=>[τ÷3(7→)-3(T+T)}

故

啦二[2,∕ΣΞΞΓ1—?-------------?—1

d?Vl+?[?+?(?-1)?(?÷1)J?

69.

兩邊取自然對數(shù)得

ln∣j∣=2ln∣j∣+-∣?[ln1—x∣-ln∣1÷J∣],

兩邊對，求導(dǎo)得

即vz=V「2-I------1--------------1—1.

即yy|_x3(x-1)?(?+1)J,

故

dy=sVl-?r2,____1_____]

d/=工√ΓT^[7?(?-1)-?(?+1)

「賢"=L譚公+「當(dāng)業(yè)

〃Γ?,

≡-?ιlru*d(2√Cr)÷Jlnxd(2?/?)

=-2√?ln?I1+J^zxl?+2√G^rκr

―}+4,+4eT√7∣:=8(1-j)?

dj

「號&=L譚&+J：?

h—?lru*d(2√7)+flnxd(2√Cr)

J?Jl

=Tan?n[,2d?+2?J-??,d?

rIfβ8(1^?)?

——+4.f+4e-44

,1

JP=-∣?y9><x).Q=儼工)—y^V.

由積分與路徑無關(guān),得

刈=更.

e??y

即

(φz(j)—?x)y-3>ψ(x)或φ/(j)-3φ(j)≈?.

得

』*

φ(x)=e-Hq_rd_r+C]

=e-,?^∫xe*u<Lr+C]

=叫一???de^+C]

=e*,[-j(xe^,*-?e-^d?)+C]

=e"[-?(-u÷?e")+c]

=—?—?-+Ce”.

?)?z

由φ>(l)=1得.1=—[-]+mc二號廠.故有

^<x)≡.f-?÷?ejl'π?

71.

P=y∕φ(x)?Q=[6工)一?!V.

由積分與路徑無關(guān),得

迨=也

e??y*

即

(√(j)—?)?r≡≡3yφ(x)或φ/(x)-3φ(j)=?.

得

φ(jc?>H。-卜如[卜』-山<!工+勺

=e-"[&e-"<lr+c]

=/[-yjjde^κ,+Cj

≡叫一j(xe^1,-∫e^udj)+C]

=叫T(i+W)+q

由g(D=I得.]=_?—y+CeL解得C=導(dǎo)「放有

?1113Xr1>

φ(x)=--^3^7+Ve?

用換元積分法.令?r=tan/.則

2

----------jd?=I'—J-------------------secZdr

Jt.J?+12Jftan^∕?sec/

=?:cscZ?COttdr

,?3√2-2√3

=-CSCZ=—―5——?

72.τJ

用換元積分法.令」=tan/?則

『一L=U1，

-----------sectdjt

Jl*z?/Γ+JrJftan/?sec/

=?:CSCZ

?cotzd∕

?_3√2-2√3

=-CSa

?3,

73.

,j

函數(shù)/(?)=Je^的定義域?yàn)椤?8.+8),且/(j?)處處可導(dǎo);

因?yàn)楱M,(jr)=e^,—?e4=e'(l—工)，令f(x)=O

得駐點(diǎn)工=1.且JrVl時.，(才)>0.J>1H?t.∕(j-)<O

所以/(1)=e,=?為函數(shù)?(?)的最大值.

e

又Iim/(?)=IimereF=-81

Iim/(?)=Iim?ej=Iim===Iim?=0.

上i?r??∣?3尸e?'e

于是f(x)定義域內(nèi)無最小值。

函數(shù)/(x)=τe~1的定義域?yàn)?—8,+00),且/(?)處處可導(dǎo);

因?yàn)閒,(.Jr)≈e~*—are'=bFl一工).令f(?)=O

得駐點(diǎn)1=1.且zV1時.∕?J?)>0,j?>1B?t.∕(j-)<O

所以/(1)=e,=?為函數(shù)?(?)的最大值.

C

又Iim/(?)=Iim?er=-81

Iim/(?)=Iim?ej=Iim工=Iim?=0.

于是f(x)定義域內(nèi)無最小值。

74.

方程兩邊同乘以COSy,則得cosy?y's=?r+1—siny,即

d(sinv),..

—五產(chǎn)—Fs?n?/=X+1.

令U=Sinw則方程化為“=?r+l?屬線性方程,用求通解公式得

u=e^Id,[j(j÷l)e∫,u+C]

=e-[J(?x+1)e?d?+C]

=e^??(?+De*—er+C]

rz

=c*(je÷C)4

則原方程的通解為siny=c,(xej+C).

方程兩邊同乘以COSy?則得CoSy?y'=l+1-Siny,即

?^÷siny=x÷l.

d?

令U=Siny,則方程化為,+〃=*+1.屬線性方程,用求通解公式得

u=e-IAr[[(J+l)eld4+C]

=e^[?(?+1)crdr+C]

=e^??(?+De,—e'+CJ

則原方程的通解為

將微分方程改寫為案+加7

這是一階線性微分方程，我們用公式法求解.

y=e-J^d,[J?e???^^d?+C

=i?(I3"+C)

β?lnx+?

將y(e)=1代人.解得C=；.所以特解為

y,=?(lrur+?)?

將微分方程改寫為定+j?y=j

這是一階線性微分方程，我們用公式法求解.

1,,C

=Rn?r+后'

將y(e)=1代入,解得C=3.所以特解為

.1lnj÷?)?

y=2

76.因?yàn)閥,=4x3sinx+x4cosx,所以dy=(4x3sinx+x4cosx)dx

77.設(shè)F(x,y,z)=x2+y2-ez,

則g=2χ,

?F

所以?z?x2x

—="----=—i.

?×arc

a?

令北7+1=〃?即r=-?-(U4—?)*cLr=4<∕du.于是

JJr>∕2x+?d?=??(ui-1)∣4?-∣it2dα

一u∣)du=—?tt*+C

—^(2jr+l)T-^(2x÷υ÷÷C

78.

令42Jr+I=".即?τ=-?-(u—1)vcLr≡,/du?于是

t

??YLJt+Idz=?-∣-(MJ-I)U?-∣-tt*dtt

^27f<w<u1)du=?u7-?n'+C

4JZo16

l°l?^?(2x+n÷-?(2x+l)÷+C.

4010

79.

①S=f(4-X2)dx-J(4-x2)dx

J0

4

=(4x-?)L-(X*T)L=16,

4i

②匕=πj×dy=πj(4-y)dy

=n(4y-4√)I=8U.

COSyI≤1.

V當(dāng)?T?→O時是無窮小W,

：?lim(ej-1)cos?=0.

，?。X

而IimE-e7e"+e'?

r-*08Isin3x8?3?eos??3

:?原式=J+0=[

80.OJ

COSyI≤1,

V當(dāng)“f0時是無窮小鼠,

:?IimS—1)cos—≈Q.

-e=Iim7e"÷<x=I

而Iim-ι

*?0I8sin3jrLO8?3?CoS31

?原式=W+°=V?

Ou

設(shè)U=cθλr?則du=—Sinj?cLr?當(dāng)jr≡≡O(shè)時U=11當(dāng)Jr=5時,〃=0

_.原式=-u`du

81.T4

設(shè)〃=cow■則du=-sin?d??當(dāng)Jr==O時V=1.當(dāng)工=￡?時?u=0

原式=_Juydu=—:

：?4*

1令，.tan/

Qr――^≡≡≡≡≡≡----?-----------?sec2rd/

Jr1?√T+7rtanr?seel

d(sin/)

1八變■同代