高2020級第三次月考考試試卷數(shù)學(xué)試題（理科）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】題目考查補集和交集的計算，先解不等式求得集合，之后求補集，再求交集即可【詳解】根據(jù)題意得：，，所以故選：A2.、表示不同的直線，是平面內(nèi)的一條直線，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合線面垂直的判定定理分析判斷即可.【詳解】當(dāng)時，不一定成立，也有可能等情況；當(dāng)時，因為，所以；綜上：是的必要不充分條件.故選：B.3.若函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得的x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在R上的偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，即在上增函數(shù)，要使成立，而有結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)列不等式，求x取值范圍【詳解】∵偶函數(shù)在上是減函數(shù)∴在上單調(diào)遞增∵∴使，即由為偶函數(shù)，故∴|x|>3，解得：x＜3或x>3故選：D【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)值的大小關(guān)系確定自變量范圍4.若函數(shù)在有極值，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求導(dǎo)得到，再根據(jù)題意得到，解不等式即可.【詳解】，，因為函數(shù)在有極值，所以，解得或故選：C5.基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)隨時間(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率與，近似滿足．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出=3.07，=6．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69)（）A.1.5天 B.2天 C.2.5天 D.3.5天【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，根據(jù)，解得即可得結(jié)果.【詳解】因為，，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B.【點睛】方法點睛：與實際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進行解答.6.現(xiàn)有四個函數(shù)：①y=x|sinx|，②y=x2cosx，③y=x·ex；④的圖象(部分)如下，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對應(yīng)的函數(shù)序號安排正確的一組是（）A.①②③④ B.①③②④ C.②①③④ D.③②①④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)各函數(shù)的特征如函數(shù)值的正負，單調(diào)性、奇偶性，定義域、值域等進行判斷．【詳解】左邊第一個圖象中時，，只有③滿足，此時只有D可選，實際上，左邊第二個圖象關(guān)于軸對稱，是偶函數(shù)，只有②滿足，而時，恒成立，只有最右邊的圖象滿足，由此也可得順序是③②①④，選D．故選：D．【點睛】思路點睛：本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，解題時可兩者結(jié)合，由函數(shù)解析式和圖象分別確定函數(shù)性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)值的正負，特殊的函數(shù)值，變化趨勢等等，兩者對照可得結(jié)論．7.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角和差正弦公式拆開，化簡知原式等于，進而得到結(jié)果.詳解】.故選：.【點睛】本題考查利用兩角和差正弦公式化簡求值的問題，屬于基礎(chǔ)題.8.已知某錐體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖為等邊三角形，則該錐體的體積為（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】先通過三視圖找到幾何體原圖，再求幾何體的體積得解.【詳解】由題得幾何體原圖是如圖所示的四棱錐，左側(cè)面垂直底面，所以棱錐的高為.所以幾何體的體積為.故選：D【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體原圖，考查幾何體的體積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.9.已知定義域為的奇函數(shù)的周期為，且時，，若函數(shù)在區(qū)間（且）上至少有5個零點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函數(shù)與函數(shù)在（且）上的圖象，可知，數(shù)形結(jié)合可知函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間、上各有一個交點，由此得出的最小值.【詳解】當(dāng)時，，，因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，則，因為函數(shù)的周期為，由可得，函數(shù)的最小正周期為，作出函數(shù)與函數(shù)在（且）上的圖象如下圖所示：因為，且函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間、上各有一個交點，因此，的最小值為.故選：A.10.已知：函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A.將的圖像向右平移個單位長度得的圖像B.在上的值域為C.若，則，D.的圖像關(guān)于點對稱【答案】C【解析】【分析】對函數(shù)化簡變形得，再利用正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)依次判斷選項即可.【詳解】化簡對于A，將的圖像向右平移個單位長度得，故A正確；對于B，，，，故B正確；對于C，的最小正周期為，故，則，，故C錯誤；對于D，，故的圖像關(guān)于點對稱，故D正確；故選：C11.如圖，已知正方體的棱長為1，點為上一動點，現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①面面；②面；③當(dāng)為的中點時，的周長取得最小值；④三棱錐的體積是定值，其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】證得平面，根據(jù)平面與平面垂直判定，可知①正確；由平面平面，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)可知②正確；根據(jù)三點共線，線段和最小，可得③正確；由三棱錐等體積法可求得，可知④錯誤．【詳解】連接,因為正方體，所以平面，且平面，所以，又因為，且，所以平面，平面，所以，同理，且，所以平面，且平面，所以平面平面，故①正確；因為平面平面，且平面，所以面，故②正確；的周長等于，而為體對角線是定值，所以周長最小即為最小，將平面展開到平面在同一個平面，如圖：當(dāng)三點共線時，最小，則為的中點時，故③正確；，故④正確.故選：D.12.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由于，，，所以只要比較的大小即可，然后分別構(gòu)造函數(shù)，，判斷出其單調(diào)性，利用其單調(diào)性比較大小即可【詳解】因為，，，所以只要比較的大小即可，令，則，所以在上遞增，所以，所以，所以，即，令，則，因為在上為減函數(shù)，且，所以當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，因為，，要比較與的大小，只要比較與的大小，令，則，所以在上遞增，所以，所以當(dāng)時，，所以，所以，所以，所以當(dāng)時，，所以在上遞增，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是對已知的數(shù)變形，然后合理構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題紙上）13.________．【答案】6【解析】【詳解】，故答案為6.14.若的最小正周期為，則________.【答案】【解析】【分析】由周期公式得出，進而得出解析式.【詳解】因為的最小正周期為，所以，,故答案為：15.已知直線與曲線相切，則的最小值為________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)切點為，曲線求導(dǎo)得到切線斜率，利用斜率相等求得切點坐標(biāo)，代入直線方程后得，利用基本不等式即可求得的最小值.【詳解】設(shè)切點為，由求導(dǎo)得，因直線與曲線相切,則，解得，則，而切點在直線上，即，于是得，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，所以當(dāng)時，取最小值2.故答案為：2.16.棱長為6的正方體內(nèi)有一個棱長為a的正四面體，且該四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則a的最大值為______【答案】【解析】【分析】該四面體在棱長為6的正方體的內(nèi)切球內(nèi)，從內(nèi)該四面體內(nèi)接于球時棱長最大【詳解】易知正方體的內(nèi)切球半徑為3，正四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，只需該正四面體為球的內(nèi)接正四面體，也就是說，棱長為x的正四面體的外接球半徑為3，設(shè)正四面體為P－ABC，過點作PO垂直于平面ABC，垂足為O，則O為三角形ABC的中心，從而，正四面體的高為.此時有，解得.故答案為：．三、解答題：（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）（一）必考題：共60分.17.已知：（1）求在上的值域.（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡，再利用整體法求得在上的值域；（2）由結(jié)合解析式，求得，即，再利用二倍角公式得到，從而可求得結(jié)果.【小問1詳解】由題意，得，因為，所以，所以，所以，則在上的值域為.【小問2詳解】因為，所以，所以，因為，所以，所以，故.18.已知函數(shù).（1）若，試討論在上的單調(diào)性；（2）若有三個極值點，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)得，然后分和討論導(dǎo)數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意可得恰有3個互不相等的實根，分別記為，由于，所以為的一個根，則可得方程有2個異于的實根，令，然后分和兩種情況利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的零點情況，從而可求出a的取值范圍.【小問1詳解】解：，，若，，有，則在上的單調(diào)遞增；若，令，得，①當(dāng)即時，，有，則在上的單調(diào)遞減，，有，則在上的單調(diào)遞增，②當(dāng)即時，，有，則在上的單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時，在上的單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上的單調(diào)遞減，在上的單調(diào)遞增.【小問2詳解】解：，，若有3個極值點，則恰有3個互不相等的實根，分別記為，因為，所以為的一個根，所以方程有2個異于的實根，令，則.①當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，所以至多有1個根，不符合題意，②當(dāng)時，令，即，解得，，有，則在上的單調(diào)遞減，，有，則在上的單調(diào)遞增，，.當(dāng)，即時，，至多有1個零點，不符合題意，當(dāng)時，，，令，，所以在遞減，所以，即，所以，且，所以存在，，使得，，所以當(dāng)時，若，則，，則，，則，所以有3個極值點，所以a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值點問題，第（2）問解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為恰有3個互不相等的實根，而，所以進一步轉(zhuǎn)化為方程有2個異于的實根，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其零點即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.19.已知函數(shù)只能同時滿足以下三個條件中的兩個.①函數(shù)的最大值是2；②函數(shù)的圖象可由函數(shù)左右平移得到；③函數(shù)的對稱中心與的對稱軸之間的最短距離是.（1）寫出這兩個條件的序號（不必說明理由）并求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，滿足，點D為BC的中點，且，求的值.【答案】（1）①③，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）【解析】【分析】（1）可得函數(shù)只能同時滿足①③，結(jié)合最值可求，結(jié)合周期可求，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求；（2）由可求，然后結(jié)合直角三角形性質(zhì)及正弦定理可求.【詳解】（1）由①得，由②得，由③知，則，所以函數(shù)只能同時滿足①③，故，由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），，，，，即，設(shè)線段的中點為，，，，即，，由正弦定理可得.20.如圖，在三棱柱中，，，、分別為和的中點，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)且，且可知四邊形為平行四邊形，由此，進而得證；（2）先證明平面，由此可以為坐標(biāo)原點，射線、分別為軸、軸的正半軸，以平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用向量的夾角公式得解.【詳解】（1）如圖，取線段的中點，連接、，為的中點，且，又為的中點，且，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；（2）作于點，由，得，，即為的中點，，，，又，平面，平面，從而有，又，，平面，故可以點為坐標(biāo)原點，射線、分別為軸、軸的正半軸，以平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，令，則、、、、，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，，可得，又平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的判定以及利用空間向量求解二面角問題，考查邏輯推理能力及運算求解能力，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）求最大值；（2）若恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，研究單調(diào)性，從而得到的最大值；（2）原問題等價于構(gòu)造新函數(shù)求最小值即可.【詳解】(1)，定義域，，由，在增，在減，(2)令，令，在單調(diào)遞增，，在存在零點，即，由于在單調(diào)遞增，故即在減，在增，所以.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最大值和最小值問題，以及對于不等式恒成立問題，解決不等式恒成立問題的常用方法是轉(zhuǎn)化為最值恒成立．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直