第三章不等式性質(zhì)、一元二次函數(shù)、方程和不等式1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1a∈R，b>0?a>b,a∈R，b>0，,\f(a,b)＝1?a＝ba，b≠0，,\f(a,b)<1a∈R，b>0?a<b,a∈R，b>0.))2．不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a>b?b<a.(2)傳遞性：a>b，b>c?a>c.(3)同向可加性：a>b?a＋c>b＋c；a>b，c>d?a＋c>b＋d.(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd.(5)可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)．(6)可開方性：a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式解集的對應(yīng)關(guān)系設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac.判別式Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??4．常用結(jié)論（1）若a>b>0，m>0，則eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．（2）若ab>0，且a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).（3）eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0)；eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用【例1】若a<0，－1<b<0，則下列各式中正確的是()A．a(chǎn)>ab>ab2 B．a(chǎn)b>a>ab2C．a(chǎn)b2>ab>a D．a(chǎn)b>ab2>a歸納點(diǎn)撥(1)判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明．常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì)．(2)比較大小的4種常用方法：作差法、作商法、單調(diào)性法和特殊值驗(yàn)證法．(3)運(yùn)用不等式的性質(zhì)解決范圍問題時(shí)，應(yīng)正確推導(dǎo)和變形，注意整體思想的運(yùn)用．對點(diǎn)訓(xùn)練1．(多選)已知m>n，且m＋n>1，則()A．2m>2nB．m2>n2C．m2－m<n2－nD．ln|m|＋ln|n|>02．已知等比數(shù)列{an}中，a1>0，q>0，前n項(xiàng)和為Sn，則eq\f(S3,a3)與eq\f(S5,a5)的大小關(guān)系為__________．3．已知角α，β滿足－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，0<α＋β<π，則3α－β的取值范圍是________．考點(diǎn)二一元二次不等式的解法【例2】(1)不等式－2x2＋x＋3<0的解集為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))C．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪(1，＋∞)(2)不等式eq\f(1－x,2＋x)≥0的解集為()A．[－2,1]B．(－2,1]C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)(3)解關(guān)于x的不等式kx2－2kx>x－2(k∈R)．歸納點(diǎn)撥(1)不含參數(shù)的一元二次不等式可以利用因式分解或?qū)?yīng)方程的根求解，分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式進(jìn)行．(2)含有參數(shù)的一元二次不等式的求解，往往需要比較(相應(yīng)方程)根的大小，對參數(shù)進(jìn)行分類討論．①若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對判別式進(jìn)行分類討論．②若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形及判別式Δ的正負(fù)，以便確定解集的形式．③其次對相應(yīng)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集.對點(diǎn)訓(xùn)練1．函數(shù)f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2－x,2x＋3)))的定義域?yàn)?)A．{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<x≤－\f(4,5)))B．{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<x<－\f(4,5)))C．{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x>－\f(4,5)或x<－\f(3,2)))D．{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(4,5)或x<－\f(3,2)))2．已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－2或x>－\f(1,2)))，則不等式ax2－bx＋c>0的解集為__________．3．解關(guān)于x的不等式x2－2ax＋3≥0(a∈R)．考點(diǎn)三在實(shí)數(shù)集R上的恒成立【例3】若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．[－2,2]C．(－2,2] D．(－∞，－2)歸納點(diǎn)撥一元二次不等式恒成立的條件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0.))(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,b2－4ac<0.))對點(diǎn)訓(xùn)練1．若命題“?x∈R，使得x2＋mx＋2m－3<0”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[2,6] B．[－6，－2]C．(2,6) D．(－6，－2)考點(diǎn)四在給定區(qū)間上的恒成立【例4】若不等式x2＋ax＋4≥0對一切x∈(0,1]恒成立，則a的取值范圍為________．歸納點(diǎn)撥一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立問題的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或取值范圍)．(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.對點(diǎn)訓(xùn)練1．若對任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a為常數(shù))，則a的取值范圍是()A．(－∞，－3] B．(－∞，0]C．[1，＋∞) D．(－∞，1]考點(diǎn)五給定參數(shù)范圍的恒成立【例5】設(shè)關(guān)于x的不等式mx2－2x－m＋1<0對于滿足|m|≤2的一切m都成立，則x的取值范圍為__________．歸納點(diǎn)撥解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．1．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，則x的取值范圍是________．考點(diǎn)六配湊法求最值【例6】(1)已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時(shí)x的值為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(2,3)(2)若x>2，則x＋eq\f(4,x－2)的最小值為()A．4B．5C．6D．7歸納點(diǎn)撥配湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵．對點(diǎn)訓(xùn)練1．已知x≥eq\f(5,2)，則f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)的最小值為__________．考點(diǎn)七常數(shù)代換法求最值【例7】(1)若a>0，b>0，且a＋b＝1，則eq\f(1,4a)＋eq\f(1,9b)的最小值為()A．eq\f(1,25)B．5C．eq\f(25,36)D．25(2)已知x>1，y>0，且eq\f(1,x－1)＋eq\f(2,y)＝1，則x＋2y－1的最小值為()A．9 B．10C．11 D．7＋2eq\r(6)歸納點(diǎn)撥常數(shù)代換法首先根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))，并把該定值(常數(shù))變形為1，然后把“1\”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式，最后利用基本不等式求解最值．對點(diǎn)訓(xùn)練1．(2023·山東濱州期末)已知正實(shí)數(shù)m，n滿足eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝4，則m＋n的最小值是()A．2B．4C．9D．eq\f(9,4)考點(diǎn)八消元法求最值【例8】(1)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為__________．(2)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值是__________．歸納點(diǎn)撥消元法是針對所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值．對點(diǎn)訓(xùn)練1．若實(shí)數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，則ab的最小值為()A．eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．4一、選擇題1．已知集合A＝{x∈N|2x－7<0}，B＝{x|x2－3x－4≤0}，則A∩B＝()A．{1,2,3} B．{0,1,2,3}C．{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≤\f(7,2))) D．{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(7,2)))2．已知a，b∈R，且a>|b|，則下列不等式中不恒成立的是()A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)＋b>0C．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) D．a(chǎn)2>b23．當(dāng)x∈R時(shí)，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，則k的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．[0,4) D．(0,4)4．已知函數(shù)y＝ax2＋2bx－c(a>0)的圖象與x軸交于A(2,0)，B(6,0)兩點(diǎn)，則不等式cx2＋2bx－a<0的解集為()A．(－6，－2)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,6)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，＋∞))5．(多選)已知a>1,0<c<b<1，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)b>ac B．eq\f(c,b)>eq\f(c＋a,b＋a)C．logba<logca D．eq\f(b,b＋a)>eq\f(c,c＋a)6．若關(guān)于x的不等式x2－4x－a>0在區(qū)間(1,5)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，5) B．(5，＋∞)C．(－4，＋∞) D．(－∞，4)7．(多選)已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a>b>1，c<0，則下列不等式一定成立的是()A．a(chǎn)2>b2>c2B．a(chǎn)－ac>b－bcC．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))c>1D．loga(a－c)<logb(b－c)8．(多選)已知關(guān)于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，則()A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－8C．－2<x1<x2<4 D．x2－x1>69．若a，b是正實(shí)數(shù)，則“ab≤1”是“a＋b＝2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件10．已知f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3處取得最小值，則a＝()A．48B．36C．16D．411．已知x>0，y>0，且(x－2)(y－4)＝8，則2x＋y的最小值為()A．16B．8＋4eq\r(2)C．12D．6＋4eq\r(2)12．已知向量m＝(a，－1)，n＝(2b－1,3)(a>0，b>0)，若m∥n，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．12B．8＋4eq\r(3)C．16D．10＋2eq\r(3)13．(多選)已知a>0，b>0，a＋b＝1，則以下不等式正確的是()A．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤4 B．eq\f(1,\r(a))＋eq\f(1,\r(b))≥2eq\r(2)C．a(chǎn)2＋b2≥1 D．a(chǎn)b2＋