題型三三角形“四心”與向量結(jié)合(一)平面向量與三角形內(nèi)心1、O是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P點的軌跡一定通過的（）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心2、已知△ABC，P為三角形所在平面上的一點，且點P滿足：，則P是三角形的（

）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心3、在三角形ABC中，動點P滿足：，則P點軌跡一定通過△ABC的：（）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心(二)平面向量與三角形垂心“垂心定理”H是△ABC所在平面內(nèi)任一點，點H是△ABC的垂心.證明：由,同理，.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（證略））4、已知△ABC，P為三角形所在平面上的動點，且動點P滿足：，則P點為三角形的（

）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心5、點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足，則點O是的（ ）（A）三個內(nèi)角的角平分線的交點 （B）三條邊的垂直平分線的交點 （C）三條中線的交點 （D）三條高的交點6、在同一個平面上有及一點Ｏ滿足關(guān)系式：＋＝＋＝＋，則Ｏ為的（

）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心(三)平面向量與三角形重心“重心定理”G是△ABC所在平面內(nèi)一點，=0點G是△ABC的重心.證明圖中連結(jié)BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點，AD為BC邊上的中線.將代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（證略））P是△ABC所在平面內(nèi)任一點.G是△ABC的重心.證明∵G是△ABC的重心∴=0=0，即由此可得.（反之亦然（證略））7、已知O是平面上一

定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：，則P的軌跡一定通過△ABC的（

）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心8、已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是三角形ABC的重心，動點P滿足=(++2),則點P一定為三角形ABC的（）A.AB邊中線的中點B.AB邊中線的三等分點（非重心）C.重心D.AB邊的中點(四)平面向量與三角形外心9、若為內(nèi)一點，，則是的（

）A．內(nèi)心

B．外心

C．垂心

D．重心10、的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，，則實數(shù)m=(五)平面向量與三角形四心11、已知向量，，滿足條件++=0，||=||=||=1，求證△P1P2P3是正三角形.（《數(shù)學》第一冊（下），復(fù)習參考題五B組第6題）12、在△ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點共線，且QG:GH=1:2。13、若O、H分別是△ABC的外心和垂心.求證.14、設(shè)O、G、H分別是銳角△ABC的外心、重心、垂心.求證即，故Q、G、H三點共線，且QG：GH=1：213證明若△ABC的垂心為H，外心為O，如圖.連BO并延長交外接圓于D，連結(jié)AD，CD.∴，.又垂心為H，，，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四邊形AHCD為平行四邊形，∴，故.著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點共線——“歐拉線”；（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外——垂連線的第一個三分點，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。“歐拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題.14證明按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理由此可得.三角形“四心”與向量結(jié)合總結(jié)1．O是的重心;若O是的重心，則故;為的重心.2．O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，則故3．O是的外心(或)若O是的外心則故4．O是內(nèi)心的充要條件是引進單位