第1頁（共1頁）2023年北京市石景山區(qū)中杉學校中考數(shù)學一模試卷一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）1．（2分）某個立體圖形的側(cè)面展開圖如圖所示，它的底面是正三角形，那么這個立體圖形是（）A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱錐2．（2分）“兩岸猿聲啼不住，輕舟已過萬重山”．2023年8月29日，華為搭載自研麒麟芯片的mate60系列低調(diào)開售．據(jù)統(tǒng)計，截至2023年10月21日，華為mate60系列手機共售出約160萬臺，將數(shù)據(jù)1600000用科學記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．0.16×107 B．1.6×106 C．1.6×107 D．16×1063．（2分）苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國化學家凱庫勒提出的．隨著研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)苯分子中的6個碳原子與6個氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長都相等（如圖1），組成了一個完美的六邊形（正六邊形），圖2是其平面示意圖，則∠1的度數(shù)為（）A．130° B．120° C．110° D．60°4．（2分）實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，若|a|＞2，則下列說法不正確的是（）A．a(chǎn)的相反數(shù)大于2 B．﹣a＜2 C．|a﹣2|＝2﹣a D．a(chǎn)＜﹣25．（2分）如圖所示的是反比例函數(shù)y1＝（x＞0）和一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）A．反比例函數(shù)的解析式是y1＝ B．一次函數(shù)的解析式為y2＝﹣x+6 C．當x＞6時，y1最大值為1 D．若y1＜y2，則1＜x＜66．（2分）甲、乙兩人5次數(shù)學考試成績?nèi)绫恚簞t以下判斷中正確的是（）甲8486858387乙8485868585A．＝，＞ B．＝，＜ C．＜，＜ D．＝，＝7．（2分）用配方法解方程x2+x+1＝0時，正確的是（）A．（x+）2＝，x＝﹣± B．（x+）2＝﹣原方程無解 C．（x+）2＝，x＝﹣± D．（x+）2＝﹣原方程無解8．（2分）勻速地向如圖所示的一個空瓶里注水，最后把空瓶注滿，在這個注水過程中，水面高度h與注水時間t之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A． B． C． D．二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）9．（2分）二次根式中字母x的取值范圍是．10．（2分）因式分解：﹣3b2+12a2＝．11．（2分）如圖，已知?ABCD，通過測量、計算得到?ABCD的面積約為cm2．（結(jié)果保留一位小數(shù)）12．（2分）為慶祝南開中學84周年校慶，學校安排2位男老師和3位女老師籌備校慶晚會，并從中隨機挑選出2位老師擔任主持，則選出的2位老師恰好為一男一女的概率為．13．（2分）列方程組解題：“今有馬二、牛一，直金七兩；馬三、牛二，直金十二兩．馬、牛各直金幾何？”其大意是：2匹馬，1頭牛，一共價值7兩；3匹馬，2頭牛，一共價值12兩，問每匹馬、每頭牛各價值多少兩？設(shè)每匹馬x兩，每頭牛y兩．根據(jù)題意，可列方程組為．14．（2分）在平面直角坐標系中有A，B，C三個點，點B的坐標是（2，3），點A，點C關(guān)于點B中心對稱，若將點A往右平移4個單位，再往上10個單位，則與C重合，則點A的坐標是．15．（2分）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝120°，則∠BOD等于．16．（2分）如圖，小明將﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5分別填入九個空格內(nèi)，使每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等．若a，b，c分別表示其中的一個數(shù)，則a﹣b﹣c的值為．三．解答題（共12小題，滿分68分）17．（5分）計算：（﹣1）2019+（﹣）﹣2﹣|2﹣|+4sin60°．18．（5分）解不等式組：．19．（5分）已知實數(shù)a是x2﹣5x﹣17＝0的根，不解方程，求（a﹣1）（2a﹣1）﹣（a+1）2+1的值．20．（5分）我們學習利用尺規(guī)作圖平分任意一個角，而“利用尺規(guī)作圖三等分任意一個角”曾是數(shù)學史上一大難題，之后被數(shù)學家證明是不可能完成的．人們根據(jù)實際需要，發(fā)明了一種簡易操作工具——三分角器．如圖1是它的示意圖，其中AB與半圓O的直徑BC在同一直線上，且AB的長度與半圓的半徑相等；DB與AC垂直于點B，DB足夠長．三分角器的使用方法如圖2所示，若要把∠MEN三等分，只需適當放置三分角器，使DB經(jīng)過∠MEN的頂點E，點A落在邊EM上，半圓O與另一邊EN恰好相切，切點為F，則EB，EO就把∠MEN三等分了．根據(jù)該操作過程，回答問題：（1）直線DE與圓O的位置關(guān)系是，依據(jù)是；（2）求證：∠1＝∠2＝∠3；（3）若被測量的∠MEN＝3α，AB＝m，則DB的長度至少為，才保證該三分角器能夠三等分該角．（用含有α，m的代數(shù)式表示）21．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，延長DC到點E，使CE＝CD．過點E作EF∥AD交AC的延長線于點F，連接AE，DF．（1）求證：四邊形ADFE是平行四邊形；（2）過點E作EG⊥DF于點G，若BD＝2，AE＝5，求EG的長．22．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（m≠0）的圖象交于A（2，n），B（﹣4，﹣2）兩點．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＞的解集．23．（6分）如圖①，⊙O是△ABC的外接圓，點O在AB上，延長AB至點D，使得∠DCB＝∠CAB．（1）求證：DC為⊙O的切線；（2）若∠ACB的角平分線CE交線段AB于點F，交于點E，連接BE，如圖②，其中CD＝4，tan∠CEB＝，求CF?CE．24．（6分）社會消費品零售總額按消費類型可劃分為商品零售和餐飲收入，它是表現(xiàn)國內(nèi)消費需求最直接的數(shù)據(jù)，也是研究國內(nèi)零售市場變動情況、反映經(jīng)濟景氣程度的重要指標．如圖是我國2019年1﹣2月﹣2023年1﹣2月按消費類型分零售額同比增速以及社會消費品零售總額的統(tǒng)計圖．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）2019年1﹣2月﹣2023年1﹣2月我國社會消費品零售總額的中位數(shù)是億元；（2）根據(jù)國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)顯示，2022年1﹣2月我國商品零售66708億元，則2023年1﹣2月我國的餐飲收入為億元；（結(jié)果保留整數(shù)）（3）寫出一條關(guān)于我國2019年1﹣2月﹣2023年1﹣2月期間我國社會消費品零售總額變化趨勢的信息．25．（6分）如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長CD均為24m，在距離D點6m的點E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐標系．（1）求橋拱頂部點O離水面的距離；（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為1m．①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達式；②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，設(shè)其中一條彩帶與支柱OH的水平距離為dm，當這條彩帶的長度小于m時，求d的取值范圍．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點（1，m）和點（3，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求該拋物線的對稱軸；（2）已知點（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在該拋物線上．若mn＜0，比較y1，y2，y3的大小，并說明理由．27．（7分）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b滿足，點C是第一象限內(nèi)的點，∠ABC＝90°，AB＝BC．（1）分別求出點A、B、C的坐標．（2）如果在第二象限內(nèi)有一點P（m，1），是否存在點P，使得△ABP的面積等于△ABC的面積？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，說明理由．（3）在平面直角坐標系是否存在點E，使△ABE與△ABC全等，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．28．（7分）在平面直角坐標系xOy中，O為原點，對于兩個圖形X，Y和直線y＝m，若在圖形X上存在點A，在圖形Y上存在點B，使得點A和點B關(guān)于直線y＝m對稱，就稱圖形X和Y互為m關(guān)聯(lián)圖形．（1）已知點P的坐標為（0，3），①點P與點Q互為﹣1關(guān)聯(lián)圖形，則點Q的坐標為；②若⊙O的半徑為1，點P與⊙O互為m關(guān)聯(lián)圖形，則m的值為；（2）已知點A（3，4），射線OA與線段l：y＝﹣2（﹣1≤x≤2）互為t關(guān)聯(lián)圖形，求t的取值范圍．（3）已知⊙O的半徑為2，直線與x軸，y軸分別交于C，D，若⊙O關(guān)于y＝m對稱的圖形S與點C互為2m關(guān)聯(lián)圖形，直接寫出m的值及點D與圖形S的位置關(guān)系．

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）1．解：由底面是正三角形，側(cè)面是三個矩形，因此這個立體圖形為三棱柱，故選：A．2．解：1600000＝1.6×106，故選：B．3．解：如圖2，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AB＝AF＝EF，∠BAF＝＝120°，∴∠ABF＝∠AFB＝＝30°，同理∠EAF＝30°，∴∠1＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故選：B．4．解：由圖得a＜0，且|a|＞2，∴a＜﹣2，D正確，不符合題意；∴a的相反數(shù)大于2，故A正確，不符合題意；a的相反數(shù)大于2即是﹣a＞2，故B不正確，符合題意；∵a＜2，∴|a﹣2|＝2﹣a，故C正確，不符合題意；故選：B．5．解：A、∵反比例函數(shù)y1＝（x＞0）的圖象過點（1，5），∴k＝1×5＝5，∴反比例函數(shù)的解析式是y1＝，故結(jié)論錯誤；B、把x＝6代入y1＝得，y＝，∴反比例函數(shù)y1＝（x＞0）和一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象另一個交點為（6，），把點（1，5），（6，）分別代入y2＝mx+n，得，解得，∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x+，故結(jié)論錯誤；C、由圖象可知當x＞6時，0＜y1＜，故結(jié)論錯誤；D、由函數(shù)圖象知，雙曲線在直線下方時x的范圍是1＜x＜6，∴若y1＜y2，則1＜x＜6，故結(jié)論正確；故選：D．6．解：＝（84+86+85+83+87）÷5＝85，＝（84+85+86+85+85）÷5＝85，＝，S甲2＝[（84﹣85）2+（86﹣85）2+（85﹣85）2+（83﹣85）2+（87﹣85）2]＝2，S乙2＝[（84﹣85）2+（85﹣85）2+（86﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2]＝0.4．S甲2＞S乙2．故選：A．7．解：用配方法解方程x2+x+1＝0時，正確的是（x+）2＝﹣原方程無解．故選：B．8．解：由題知，因為勻速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圓錐的一部分，所以在剛開始注水的時候，水面隨著注水時間的增加，高度逐漸升高，且單位時間內(nèi)升高的高度越來越高．因為瓶子的上半部分是圓柱，所以水面隨著注水時間的增加，高度逐漸升高，且單位時間內(nèi)升高的高度相同，即勻速上升．故選：A．二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）9．解：要使二次根式有意義，必須﹣5x≥0，解得：x≤0，故答案為：x≤0．10．解：﹣3b2+12a2＝﹣3（b2﹣4a2）＝﹣3（b+2a）（b﹣2a）．故答案為：﹣3（b+2a）（b﹣2a）．11．解：如圖所示，過點A作AE⊥BC于點E，經(jīng)測量AE≈0.7cm，BC≈1.1cm，S?ABCD＝BC?DE＝1.1×0.7≈0.8（cm2），故答案為：0.8．12．解：根據(jù)題意畫圖如下：共有20種等可能的情況數(shù)，選出的2位老師恰好為一男一女的有12種，則最后確定的主持人是一男一女的概率為＝．故答案為：．13．解：由題意得：，故答案為：．14．解：設(shè)A，C關(guān)于原點O中心對稱，則令A(yù)（x，y），則C為（﹣x，﹣y），∵將點A往右平移4個單位，再往上10個單位，則與C重合，∴x+4＝﹣x，y+10＝﹣y，解得：x＝﹣2，y＝﹣5，把中心點O平移到點B的位置，其操作為向右平移2個單位，再向上平移3個單位，∴點A的坐標也隨之變動，∴點A的坐標變?yōu)椋海ī?+2，﹣5+3）即（0，﹣2）．故答案為：（0，﹣2）．15．解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C+∠A＝180°，∵∠A＝120°，∴∠C＝60°，∴∠BOD＝2∠C＝120°，故答案為：120°．16．解：∵﹣2+1+4＝3，∴﹣2+a＝3，3+1+b＝3，﹣3+4+c＝3，∴a＝5，b＝﹣1，c＝2，∴a﹣b﹣c＝5+1﹣2＝4，故答案為4．三．解答題（共12小題，滿分68分）17．解：原式＝﹣1+2﹣（2﹣2）+4×＝﹣1+2﹣2+2+2＝3．18．解：解不等式2（x+1）≥3x﹣5，得：x≤7，解不等式＞x，得：x＞﹣1，則不等式組的解集為﹣1＜x≤7．19．解：∵實數(shù)a是x2﹣5x﹣17＝0的根，∴a2﹣5a﹣17＝0，即a2﹣5a＝17，（a﹣1）（2a﹣1）﹣（a+1）2+1＝2a2﹣a﹣2a+1﹣（a2+2a+1）+1＝2a2﹣3a+1﹣a2﹣2a﹣1+1＝a2﹣5a+1＝17+1＝18．20．（1）解：∵直線DE經(jīng)過圓O的半徑外端點B，且DB⊥AC于點B，∴直線DE與圓O的位置關(guān)系是相切，依據(jù)是：經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．故答案為：相切；經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）如圖2，連接OF，∵AB＝BO，DB⊥AO于點B，∴EA＝EO，又∵AB＝BO，∴∠1＝∠2，∵EB，EF分別切圓O于B和F，∴OB⊥EB于B，OF⊥EF于F，OB＝OF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3；（3）∵DB⊥AO于點B，∴∠ABE＝90°，∵∠MEN＝3α，∠1＝∠2＝∠3，∴∠1＝α，在Rt△ABE中，∠1＝α，AB＝m，tanα＝，∴BE＝，即DB的長度至少為．故答案為：．21．（1）證明：∵EF∥AD，∴∠FEC＝∠ADC，又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD，∴△FCE≌△ACD（ASA），∴EF＝AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形；（2）解：如圖，由（1）可知，四邊形ADFE是平行四邊形，∴DF＝AE＝5，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD＝2，∴CE＝CD＝2，∴DE＝2CD＝4，∵EF∥AD，∴EF⊥BC，∴∠DEF＝90°，∴EF＝＝＝3，∵EG⊥DF，∴S△DEF＝DF?EG＝DE?EF，∴EG＝＝＝，即EG的長為．22．解：（1）∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點B（﹣4，﹣2），∴m＝﹣4×（﹣2）＝8．∴反比例函數(shù)的表達式為y＝又∵點A（2，n）在反比例函數(shù)y＝的圖象上．∴n＝＝4，即A（2，4）．∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過A（2，4）、B（﹣4，﹣2）兩點．∴，解得，∴一次函數(shù)的表達式為y＝x+2；（2）觀察圖象，關(guān)于x的不等式kx+b＞的解集是﹣4＜x＜0或x＞2．23．（1）證明：如圖①，連接OC，則OC＝OA，∴∠OCA＝∠CAB，∵∠DCB＝∠CAB，∴∠DCB＝∠OCA，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OCD＝∠OCB+∠DCB＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，∵OC是⊙O的半徑，且DC⊥OC，∴DC是⊙O的切線．（2）解：如圖②，作FH⊥AC于點H，則∠CHF＝∠AHF＝90°，∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠HCF＝∠HFC＝45°，∴FH＝CH，∵∠A＝∠CEB，∴＝＝tanA＝tan∠CEB＝，∴＝，HA＝2FH，∵∠AHF＝∠ACB＝90°，∴FH∥BC，∴＝＝，∴FA＝2BF，∵∠DCB＝∠DAC，∠D＝∠D，∴△DCB∽△DAC，∴＝＝＝，∴BD＝CD＝×4＝2，AD＝2CD＝2×4＝8，∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2＝6，∴2BF+BF＝6，∴BF＝2，F(xiàn)A＝4，∴FH2+（2FH）2＝42，∴CH＝FH＝，∴CF＝＝＝，∵∠E＝∠A，∠EFB＝∠AFC，∴△EFB∽△AFC，∴＝，∴FE＝＝＝，∴CE＝CF+FE＝+＝，∴CF?CE＝×＝．24．解：（1）根據(jù)題意，這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列為：52130，66064，69737，74426，77067；所以中位數(shù)為：69737億元．故答案為：69737．（2）74426﹣66708＝7718（億元），7718×（1+9.2%）≈8428（億元）．故答案為：8428．（3）從2021年起我國社會消費品零售總額逐年增加，到2023年社會消費品零售總額達到77067億元．25．解：（1）根據(jù)題意可知點F的坐標為（6，﹣1.5），可設(shè)拱橋側(cè)面所在二次函數(shù)表達式為：y1＝a1x2，將F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，解得a1＝﹣，∴y1＝﹣x2，當x＝12時，y1＝﹣×122＝﹣6，∴橋拱頂部離水面高度為6m；（2）①由題意可知右邊鋼纜所在拋物線的頂點坐標為（6，1），可設(shè)其表達式為y2＝a2（x﹣6）2+1，將H（0，4）代入其表達式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2＝，∴右邊鋼纜所在拋物線表達式為：y2＝（x﹣6）2+1，同理可得左邊鋼纜所在拋物線表達式為：y3＝（x+6）2+1，②設(shè)彩帶的長度為Lm，則L＝y(tǒng)2﹣y1＝（x﹣6）2+1﹣（﹣x2）＝x2﹣x+4＝（x﹣4）2+2，∵這條彩帶的長度小于m，∴（x﹣4）2+2＜，解得＜x＜．∴d的取值范圍＜d＜．26．解：（1）∵m＝3，n＝15，∴點（1，3），（3，15）在拋物線上，將（1，3），（3，15）代入y＝ax2+bx得：，解得，∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣1．（2）∵y＝ax2+bx（a＞0），∴拋物線開口向上且經(jīng)過原點，當b＝0時，拋物線頂點為原點，x＞0時y隨x增大而增大，n＞m＞0不滿足題意，當b＞0時，拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，同理，n＞m＞0不滿足題意，∴b＜0，拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，x＝1時m＜0，x＝3時n＞0，即拋物線和x軸的2個交點，一個為（0，0），另外一個在1和3之間，∴拋物線對稱軸在直線x＝與直線x＝之間，即＜﹣＜，∴點（2，y2）與對稱軸距離2﹣（﹣）＜，點（﹣1，y1）與對稱軸距離＜﹣﹣（﹣1）＜，點（4，y3）與對稱軸距離＜4﹣（﹣）＜∴y2＜y1＜y3．解法二：∵點（1，m）和點（3，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上，∴a+b＝m，9a+3b＝n，∵mn＜0，∴（a+b）（9a+3b）＜0，∴a+b與3a+b異號，∵a＞0，∴3a+b＞a+b，∴a+b＜0，3a+b＞0，∵（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在該拋物線上，∴y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b，∵y3﹣y1＝（16a+4b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞0，∴y3＞y1，∵y1﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣