第3節(jié)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

微課1構(gòu)造函數(shù)證明不等式

，題型分類突破

題型一移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式

【例1】已知函數(shù)段)=Λ?2L2.

⑴求曲線y=∕(x)在點(diǎn)(1,y∪))處的切線方程；

(2)當(dāng)χG［O,2］時(shí)，求證：ΛX)>-2X2+8X-5.

⑴解/(x)=2ek2(f+χ),/(I)=%g)=l,則曲線y=∕(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-

l=4(χ-1),即y=4x—3.

⑵證明當(dāng)χG［O,2］時(shí)，令g(x)=Λ2e2χ-2+2∕-8χ+5,則/(X)=2e"2(f+χ)+4χ-8,

令h(x)=g'(x),則∕ι'(x)=2e2x^2(2r+4x+1)+4>0,

所以g，(X)在［0,2］上單調(diào)遞增，且g<l)=O,

所以g(x)在［0,1］上單調(diào)遞減，在(1,2］上單調(diào)遞增，

所以g(x)的最小值為g(l)=O所以g(x)>O,

即4x)》一2f+8χ-5.

感悟升華待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右

減左”的函數(shù)，利用研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式.

【訓(xùn)練1】證明：當(dāng)Ql時(shí)，^X2+1ΠX<∣Λ3.

21

3

證明設(shè)g(x)=gx->2—inX9

則√(Λ)=2X2-%—p

(X—1)(2∕+x+l)

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

x>lg'(x)=X>0,

所以g(x)在(1,+8)上是增函數(shù)，

所以當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>g(l)=4>0,

12

所以當(dāng)x>l時(shí)，2χ2~^~^nx<yV3.

題型二放縮后構(gòu)造函數(shù)證明不等式

【例2】已知函數(shù)人X)=〃e"一In干一1.

(1)設(shè)x=2是7U)的極值點(diǎn)，求m并求KI)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)a2/時(shí)，Λx)?O.

(1)解y(x)的定義域?yàn)?0,+∞),/(x)≈ae'-?

由題設(shè)知，/(2)=0,所以α=2e?,

從而/U)≈2e5e'-lnx—1,f(x)=^er-?

當(dāng)0<x<2時(shí)，/(x)<0;當(dāng)x>2時(shí)，/(x)>0.

所以T(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞).

一1ev

⑵證明當(dāng)時(shí)，九02"一Inx-l(x>O).

設(shè)g(x)=*—∣nX-I(X>0),則g'(x)=M-&x>O).

當(dāng)O<x<l時(shí)，g'(x)<O;當(dāng)Ql時(shí)，g'(x)>O.

所以X=I是g(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).

故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)2g(l)=0.

因此，當(dāng)時(shí)，/(x))0.

感悟升華某些不等式，直接構(gòu)造不易求最值，可利用條件與不等式性質(zhì)，適當(dāng)放縮后，再

構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.

【訓(xùn)練2】已知函數(shù)兀C)=InX—怨3

(1)若α=l,求凡，)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若α=0,x∈(0,1),證明：x2-：).

InY

(1)解當(dāng)4=1時(shí)，“￥)=InX-F,x￡(0,+∞),

1I—21nXx2-l÷21nx

??∕(X)=嚏-P-

(χ-1)(x÷1)÷2lnX

=？?

當(dāng)Xe(0,1)時(shí)，/(x)<0,當(dāng)x∈(l,+8)時(shí)，/(χ)>0,

.?√(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞).

If(X)—InX1

(2)證明當(dāng)a=0,x∈(0,1)時(shí)，X2—-等價(jià)于一^÷+x2-q<O,

,,—Inx

v--

??當(dāng)XW(0,1)時(shí)，e∈(1,e),—Inx>0,~κ<—Inx,

.?.只需要證一Inx+f—J<0在(O,1)上恒成立.

令g(%)=-lnx+x2-《，x≡(0,1),

.?.g3=T+2x+52X3-X+1

^2>0,

則函數(shù)g(ι)在(0,1)上單調(diào)遞增,于是g(x)<-ln1+1—1=0,

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，X2-^<A^-.

題型三分拆函數(shù)法證明不等式

【例3】(2021?百校大聯(lián)考)已知函數(shù)危)=elnχ-αr(α∈R).

(1)討論函數(shù)火x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)α=e時(shí)，證明：狀X)—e"+2e%W0.

⑴解/(x)=，a(x>0),

①若αW0,則/(x)>0,./(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②若”>0,則當(dāng)044時(shí)，/(x)>0;

當(dāng)XW時(shí)，∕ω<o.

故危)在(θ,習(xí)上單調(diào)遞增，在仁，+8)上單調(diào)遞減.

⑵證明因?yàn)镼O,所以只需證危)W%2e,

當(dāng)α=e時(shí)，由(1)知，7U)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,十8)上單調(diào)遞減.

所以√U)maχ=<1)=-e.

e”(X—1)e"

設(shè)g(x)=嚏-2e(x>0),則g,(x)=一、2------,

所以當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g(l)=-e.

綜上，當(dāng)QO時(shí)，/(x)Wg(X),即√(x)W￡-2e.

即狀x)—e*+2exW0得證.

感悟升華1.若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無(wú)從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從

而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo).

2.在證明過(guò)程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處g(x)min2∕U)max恒成立，從而7U)Wg(x)恒成立.

2

【訓(xùn)練3】已知函數(shù)於)=e*lnx+F1,證明：危)>1.

證明函數(shù)應(yīng)0的定義域?yàn)?O,+o°).

2

∕x)>l等價(jià)于JdnX>xe"―g

設(shè)函數(shù)g(x)=XlnX9則√(x)=l+lnXa>0),

所以當(dāng)XG(0,§時(shí)，g'(x)<0;當(dāng)XGa+8)時(shí)，g(v)>O.

故g(x)在(0,§上單調(diào)遞減，在Q,+8)上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0,+8)上的最小值為

gQ)=T?

2

設(shè)函數(shù)fι(x)=xe*—)，則h?x)=e.v(l-x),

所以當(dāng)x∈(0,D時(shí),h'(x)>O;

當(dāng)x∈(l,+8)時(shí),∕2'(χ)<0.

故/?(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

從而∕j(x)在(0,+8)上的最大值為"(1)=一：.

因?yàn)間(x)min=g6)="(l)=∕z(x)max,

所以當(dāng)x>0時(shí),g(x)>h(x),即y(x)>l.

拓展視野/“雙變量”問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

近年高考應(yīng)考，常涉及“雙變量"或''雙參"相關(guān)問(wèn)題，能力要求高，破解問(wèn)題的關(guān)鍵：一

是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量滿足的關(guān)系式，并把含雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含單變量

的問(wèn)題，二是巧妙構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值.

【例1】(2021?長(zhǎng)沙調(diào)研)已知函數(shù)段)=lnχ-αr2+(α-b-I)X+b+l(α,?∈R).

(1)若α=0,試討論火X)的單調(diào)性；

(2)若OVa<2,b—1,實(shí)數(shù)xι,及為方程TU)=機(jī)一以2的兩個(gè)不等實(shí)根，求證：^^+~>4-

?l兀2

2a.

(1)解依題意知x>0,當(dāng)。=0時(shí)，/(X)=:一3+D，

①當(dāng)匕W-I時(shí)，/(x)>0恒成立，,危:)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)6>一1時(shí)，x∈(o,壯力時(shí)，/(χ)>0;

當(dāng)Xe(W'，+8)時(shí)，f(x)<O.

故外)在(0,Wj上單調(diào)遞增，在T+8)上單調(diào)遞減.

(2)證明由J(x)=m-ax2得In犬+(。-2)無(wú)+2—m=0,

令g(x)=ln/+(〃-2)x+2,x>0,

則g(xι)=g(M)=m,

依題意有Inxl+(。-2)幻=In也+(。-2)也.

.X2

In-

.?a-2=(xι≠%2,且xι,X2>0).

Xl—X2

要證;+；>4—20,

??工2

I-21nzτ

只需證>2(2—G=—：(*)，

人142X?X2

不妨設(shè)X2>X∣>0?

要證(*)式成立，

只要證那一空<一21產(chǎn)，

XlX?X?

即證21口工+”—二V0.

XlX2Xl

r??1

令∕=?Q>1),則力⑺=21nt-t+~.

,：h'(t)=γ-1-J=-θ?-<0,

...〃(。在(1,+8)上單調(diào)遞減，

ΛA(0<Λ(1)=0,從而5+m>4—2α

【例2】(2020?成都調(diào)研)已知函數(shù)KX)=(X+辦/，若曲線y=∕(x)在點(diǎn)(0,a))處的切線與

直線y=χ-2平行.

(1)求實(shí)數(shù)4的值；

⑵如果0<xιV2,且兀q)=y(X2)，求證：3X∣+X2>3.

⑴解由y(x)=(x+a)er,得/(x)=(l-a—x)e-*.

依題設(shè)/(0)=1—〃=1,?.〃=0.

x

(2)證明由(1)知，J(x)=xe~9

因?yàn)镺<X1<￥2,且危1)="2)，

得gr=藁，所以X2=x∣?ex2-x∣,

令，=尤2-汨。>0),則XIex∣=f,

出__!_ze'

仔XLe,_]，冷一S一]?

3/id

要證3xι+尤2>3,即證-;一f+~;—r>3,

e—1e1

因?yàn)椤?,所以"一1>0,即證(L3)e'+3f+3>0.

設(shè)g(r)=Q-3)e'+3r+3(f>0),

則g'(f)=(f—2)U+3(f>0).

令?(z)=(r-2)e,+3(z>0),

則"⑺=(LI)S,

當(dāng)O<f<l時(shí)，〃")<0,當(dāng)r>l時(shí)，Λ,(r)>O,所以函數(shù)/7⑺在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)

上單調(diào)遞增，

所以〃⑺2A(l)=3-e>0,即g")>0,

所以g(f)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以g(f)>g(O)=O,所以3XI+X2>3.

慘題型跟蹤訓(xùn)練一

InFP12

1.已知函數(shù)y(x)=l-7，g(x)=—6+1+x.證明：當(dāng)時(shí)，Kt)+g(x)2p

證明yw+g(x)號(hào)2=1一I手nγ一>p；1+x2o.

令恤)=1一乎一AQ+X(X21)，

11,?1—InXlell

則Ml)=0,h,(x)=——p+最+丁

∣nre

因?yàn)閤el,所以〃(X)=詈+,+DO,

所以∕7(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

InXpI

所以∕7(X)N∕J(I)=0,即l-^7^一百一最+x20?

2

故當(dāng)時(shí)，y(x)+g(x))7

2.(2021?太原模擬)設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)犬x)=e'-2Λ+24,x∈R.

(1)求段)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)求證：當(dāng)”>ln2—1且x>0時(shí)，ev>jr—2αr÷1.

⑴解由./U)=eA-2x+2a,x∈R,得八X)=e'-2,x∈R,令/(x)=0,得X=In2.

于是當(dāng)X變化時(shí)，∕ω,/(X)的變化情況如下表:

X(—8,?n2)In2(In2,+∞)

/(x)—0+

於)2(1—In2+a)

故兀V)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,In2),單調(diào)遞增區(qū)間是(In2,+∞).

.?√(x)在X=In2處取得極小值，極小值y∏n2)=2(l—ln2+n),無(wú)極大值.

⑵證明設(shè)g(x)=e*-Λ2+2αχ-1,x∈R.

于是g'(x)=e*-2x+24,x∈R.

由(1)知當(dāng)4>ln2-l時(shí)，g<x)的最小值為g(n2)=2(1—In2+α)>0.

于是對(duì)任意XeR,都有g(shù)'(x)>O,所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.

于是當(dāng)4>ln2—1時(shí)，對(duì)任意XW(0,+∞),都有g(shù)(x)>g(O).

又g(0)=0,從而對(duì)任意XG(0,+o°),g(x)>0.

即ex-χ2+2aχ-?>0,故ev>x2-20x+l.

3.已知函數(shù)兀V)=(X—l)(x2+2)e'-2r.

⑴求曲線y=Ax)在點(diǎn)(0,./(0))處的切線方程；

(2)證明：ΛX)>-Λ2-4.

(I)解因?yàn)?(X)=2X(X-l)eχ+x(Λ2+2)?et-2

=x2(x+2)ex-2,所以/(0)=-2.

因?yàn)槿?)=—2,所以曲線y=∕(x)在點(diǎn)(0,10))處的切線方程為2x+y+2=0.

(2)證明要證y(x)>—f—4,

只需證(X—I)(X2+2)e*>—X2+2X—4,

設(shè)g(x)=—X2÷2Λ,-4=—(X—I)2—3,

h(x)-(χ-l)(x2÷2)ev,

則"(x)=Λ2α+2)e*.

由〃(x)》0,得X2一2,

故〃(x)在［―2,+8)上單調(diào)遞增；

由/ι'(x)<0,得x<-2,

故〃(X)在(一8,—2)上單調(diào)遞減，

1Q

所以Λ(x)m?=A(-2)=—p-.

因?yàn)閑22.718,所以一百>一3.

又g(?θmaX-^—3,所以g(?X)max<%(x)min,

從而(X-l)(x2÷2)ex>-x2÷2χ-4,

即yu)>一/一4.

4.已知函數(shù)/W=喈+3曲線y=∕(x)在點(diǎn)(1,川))處的切線方程為x+2廠3=0.

XII?

(1)求4,6的值；

InY

(2)證明：當(dāng)x>0,且x≠l時(shí)，

fx+1、

d—InxJ,

⑴解f(x)=(T+])2--/(x>0)?

由于直線x+2y—3=0的斜率為一/且過(guò)點(diǎn)(1，1)，

/(1)=1,f?=l,

解得〃=1,b—1.

(2)證明由(1)知y(x)=咨?+:(x>0),

所以共X)一管=T?QlnX一—).

√-l

考慮函數(shù)∕ι(x)=21n%—χ(x>0),

,22x2-(%2—1)(χ-1)2

則rll"(X)=I一√一=一「^,

所以當(dāng)Xrl時(shí)，"(x)<0.而∕7(l)=0,故當(dāng)尤G(o,1)時(shí)，A(X)>0,可得y4p(x)>0;

當(dāng)XG(1,+8)時(shí)，h(x)<O,可得T與力(x)>0.

InY

從而當(dāng)χ>o,且x≠ι時(shí)，7U)一二γ>o,

即網(wǎng)>普?

5.(2021?豫北名校聯(lián)考)已知函數(shù)KX)=eχ+ι一心一2%(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，?∈R).

(1)討論函數(shù)7U)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)函數(shù)/U)有兩個(gè)零點(diǎn)XI，X2時(shí)，證明Xl+X2>-2.

(1)解易得/(X)=e'+i—K

當(dāng)fc>