《2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》專題復(fù)習(xí)與訓(xùn)練第1課時(shí)不等關(guān)系與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會(huì)用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系．(難點(diǎn))2．會(huì)用比較法比較兩實(shí)數(shù)的大?。?重點(diǎn))1.借助實(shí)際問題表示不等式，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2.通過大小比較，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).【新課導(dǎo)入】1．不等關(guān)系不等關(guān)系常用不等式來表示．2．實(shí)數(shù)a，b的比較大小文字語言數(shù)學(xué)語言等價(jià)條件a－b是正數(shù)a－b＞0a＞ba－b等于零a－b＝0a＝ba－b是負(fù)數(shù)a－b＜0a＜b3.重要不等式一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立．1．大橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是指示司機(jī)要安全通過該橋，應(yīng)使車貨總重量T不超過40噸，用不等式表示為()A．T<40B．T>40C．T≤40D．T≥40C[限重就是不超過，可以直接建立不等式T≤40.]2．某高速公路要求行駛的車輛的速度v的最大值為120km/h，同一車道上的車間距d不得小于10m，用不等式表示為()A．v≤120km/h且d≥10mB．v≤120km/h或d≥10mC．v≤120km/hD．d≥10mA[v的最大值為120km/h，即v≤120km/h，車間距d不得小于10m，即d≥10m，故選A.]3．雷電的溫度大約是28000℃，比太陽表面溫度的4.5倍還要高．設(shè)太陽表面溫度為t℃，那么t應(yīng)滿足的關(guān)系式是________．4．5t<28000[由題意得，太陽表面溫度的4.5倍小于雷電的溫度，即4.5t<28000.]4．設(shè)M＝a2，N＝－a－1，則M、N的大小關(guān)系為________．M＞N[M－N＝a2＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，∴M＞N.]【合作探究】用不等式(組)表示不等關(guān)系【例1】京滬線上，復(fù)興號列車跑出了350km/h的速度，這個(gè)速度的2倍再加上100km/h，不超過民航飛機(jī)的最低時(shí)速，可這個(gè)速度已經(jīng)超過了普通客車的3倍，請你用不等式表示三種交通工具的速度關(guān)系．[解]設(shè)復(fù)興號列車速度為v1，民航飛機(jī)速度為v2，普通客車速度為v3.v1、v2的關(guān)系：2v1＋100≤v2，v1、v3的關(guān)系：v1＞3v3.在用不等式組表示不等關(guān)系時(shí)，要進(jìn)行比較的各量必須具有相同性質(zhì)，沒有可比性的兩個(gè)或幾個(gè)量之間不可用不等式組來表示.另外，在用不等式組表示實(shí)際問題時(shí)，一定要注意單位的統(tǒng)一.1．用一段長為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，要求菜園的面積不小于216m2，靠墻的一邊長為x[解]由于矩形菜園靠墻的一邊長為xm，而墻長為18m，所以0<x≤18，這時(shí)菜園的另一條邊長為eq\f(30－x,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))(m)．因此菜園面積S＝x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))，依題意有S≥216，即xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216，故該題中的不等關(guān)系可用不等式表示為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216.))比較兩數(shù)(式)的大小【例2】已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.把本例中“x≤1”改為“x∈R”，再比較3x3與3x2－x＋1的大?。甗解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；當(dāng)x＝1時(shí)，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；當(dāng)x＜1時(shí)，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的基本步驟：2．比較2x2＋5x＋3與x2＋4x＋2的大?。甗解](2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4).∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2≥0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞0.∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用【例3】某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊(duì)說：“如領(lǐng)隊(duì)買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”．乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠”．這兩車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠．[解]設(shè)該單位職工有n人(n∈N*)，全票價(jià)為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，則y1＝x＋eq\f(3,4)x·(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)nx.因?yàn)閥1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn－eq\f(4,5)nx＝eq\f(1,4)x－eq\f(1,20)nx＝eq\f(1,4)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n,5)))，當(dāng)n＝5時(shí)，y1＝y(tǒng)2；當(dāng)n＞5時(shí)，y1＜y2；當(dāng)n＜5時(shí)，y1＞y2.因此當(dāng)單位去的人數(shù)為5人時(shí)，兩車隊(duì)收費(fèi)相同；多于5人時(shí)，選甲車隊(duì)更優(yōu)惠；少于5人時(shí)，選乙車隊(duì)更優(yōu)惠．解決決策優(yōu)化型應(yīng)用題，首先要確定制約著決策優(yōu)化的關(guān)鍵量是哪一個(gè)，然后再用作差法比較它們的大小即可．3．甲、乙兩家旅行社對家庭旅游提出優(yōu)惠方案．甲旅行社提出：如果戶主買全票一張，其余人可享受五五折優(yōu)惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集體票，按七五折優(yōu)惠．如果這兩家旅行社的原價(jià)相同，那么哪家旅行社價(jià)格更優(yōu)惠？[解]設(shè)該家庭除戶主外，還有x人參加旅游，甲、乙兩旅行社收費(fèi)總額分別為y甲、y乙，一張全票價(jià)為a元，則y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a.y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a＝0.2a(1.25－x當(dāng)x＞1.25(x∈N)時(shí)，y甲＜y乙；當(dāng)x＜1.25，即x＝1時(shí)，y甲＞y乙．因此兩口之家，乙旅行社較優(yōu)惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社較優(yōu)惠．1．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要求出它們的差就可以了．a(chǎn)－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b.2．作差法比較大小的一般步驟第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“和”或“積”；第三步：定號，就是確定是大于0，等于0，還是小于0(不確定的要分情況討論)；最后得結(jié)論．概括為“三步一結(jié)論”，這里的“定號”是目的，“變形”是關(guān)鍵.【課堂達(dá)標(biāo)】1．思考辨析(1)不等式x≥2的含義是指x不小于2.()(2)若a<b或a＝b之中有一個(gè)正確，則a≤b正確．()(3)若a>b，則ac>bc一定成立．()[提示](1)正確．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此說法是正確的．(2)正確．不等式a≤b表示a<b或a＝b.故若a<b或a＝b中有一個(gè)正確，則a≤b一定正確．(3)錯(cuò)誤．a(chǎn)c－bc＝(a－b)c，這與c的符號有關(guān)．[答案](1)√(2)√(3)×2．下面表示“a與b的差是非負(fù)數(shù)”的不等關(guān)系的是()A．a(chǎn)－b＞0 B．a(chǎn)－b＜0C．a(chǎn)－b≥0 D．a(chǎn)－b≤0[答案]C3．若實(shí)數(shù)a>b，則a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)．>[因?yàn)?a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.]4．完成一項(xiàng)裝修工程，請木工共需付工資每人500元，請瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，試用不等式表示上述關(guān)系．[解]由題意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200.《不等關(guān)系與不等式》專題訓(xùn)練[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．下列說法正確的是()A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x＜2000”．B．小明的身高xcm，小華的身高ycm，則小明比小華矮表示為“x＞y”．C．某變量x至少是a可表示為“x≥a”．D．某變量y不超過a可表示為“y≥a”．C[對于A，x應(yīng)滿足x≤2000，故A錯(cuò)；對于B，x，y應(yīng)滿足x＜y，故B不正確；C正確；對于D，y與a的關(guān)系可表示為y≤a，故D錯(cuò)誤．]2．設(shè)a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，則()A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)≤bC[∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b.]3．若a≠2且b≠－1，則M＝a2＋b2－4a＋2bA．M＞－5 B．M＜－5C．M＝－5 D．不能確定A[M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5.故選A.]4．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0)，則糖水變甜了，根據(jù)這個(gè)事實(shí)提煉的一個(gè)不等式為()A.eq\f(a＋m,b＋m)＜eq\f(a,b) B.eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)C.eq\f(a－m,b－m)＜eq\f(a,b) D.eq\f(a－m,b－m)＞eq\f(a,b)B[糖水變甜了，說明糖水中糖的濃度增加了，故eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).]5．已知c＞1，且x＝eq\r(c＋1)－eq\r(c)，y＝eq\r(c)－eq\r(c－1)，則x，y之間的大小關(guān)系是()A．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定C[用作商法比較，由題意x，y＞0，∵eq\f(x,y)＝eq\f(\r(c＋1)－\r(c),\r(c)－\r(c－1))＝eq\f(\r(c)＋\r(c－1),\r(c＋1)＋\r(c))＜1，∴x＜y.]二、填空題6．已知a，b為實(shí)數(shù)，則(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“>”“<”或“＝”)<[因?yàn)?a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(7．一輛汽車原來每天行駛xkm，如果該汽車每天行駛的路程比原來多19km，那么在8天內(nèi)它的行程將超過2200km，用不等式表示為________．8(x＋19)>2200[因?yàn)樵撈嚸刻煨旭偟穆烦瘫仍瓉矶?9km，所以汽車每天行駛的路程為(x＋19)km，則在8天內(nèi)它的行程為8(x＋19)km，因此，不等關(guān)系“在8天內(nèi)它的行程將超過2200km”可以用不等式8(x＋19)>2200來表示．]8．當(dāng)m>1時(shí)，m3與m2－m＋1的大小關(guān)系為________．m3>m2－m＋1[∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)．又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.]三、解答題9．有糧食和石油兩種物資，可用輪船與飛機(jī)兩種方式運(yùn)輸，每天每艘輪船和每架飛機(jī)運(yùn)輸效果如下表：效果方式種類輪船運(yùn)輸量/t飛機(jī)運(yùn)輸量/t糧食300150石油250100現(xiàn)在要在一天內(nèi)至少運(yùn)輸2000t糧食和1500t石油．寫出安排輪船艘數(shù)和飛機(jī)架數(shù)所滿足的所有不等關(guān)系的不等式．[解]設(shè)需要安排x艘輪船和y架飛機(jī)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x＋150y≥2000，,250x＋100y≥1500，,x∈N，,y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋3y≥40，,5x＋2y≥30，,x∈N，,y∈N.))10．x∈R且x≠－1，比較eq\f(1,1＋x)與1－x的大?。甗解]∵eq\f(1,1＋x)－(1－x)＝eq\f(1－1－x2,1＋x)＝eq\f(x2,1＋x)，當(dāng)x＝0時(shí)，eq\f(1,1＋x)＝1－x；當(dāng)1＋x＜0，即x＜－1時(shí)，eq\f(x2,1＋x)＜0，∴eq\f(1,1＋x)＜1－x；當(dāng)1＋x＞0且x≠0，即－1＜x＜0或x＞0時(shí)，eq\f(x2,1＋x)＞0，∴eq\f(1,1＋x)＞1－x.[等級過關(guān)練]1．足球賽期間，某球迷俱樂部一行56人從旅館乘出租車到球場為中國隊(duì)加油，現(xiàn)有A、B兩個(gè)出租車隊(duì)，A隊(duì)比B隊(duì)少3輛車．若全部安排乘A隊(duì)的車，每輛車坐5人，車不夠，每輛車坐6人，有的車未坐滿；若全部安排乘B隊(duì)的車，每輛車坐4人，車不夠，每輛車坐5人，有的車未坐滿．則A隊(duì)有出租車()A．11輛 B．10輛C．9輛 D．8輛B[設(shè)A隊(duì)有出租車x輛，則B隊(duì)有出租車(x＋3)輛，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＜56，,6x＞56，,4x＋3＜56，,5x＋3＞56.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜11\f(1,5),x＞9\f(1,3),x＜11,x＞8\f(1,5).))∴9eq\f(1,3)＜x＜11.而x為正整數(shù)，故x＝10.]2．將一根長5m的繩子截成兩段，已知其中一段的長度為xm，若兩段繩子長度之差不小于1m，則x所滿足的不等關(guān)系為()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－5≥1,0＜x＜5))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－2x≥1,0＜x＜5))C．2x－5≥1或5－2x≥1D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－5|≥1,0＜x＜5))D[由題意，可知另一段繩子的長度為(5－x)m，因?yàn)閮啥卫K子的長度之差不小于1m，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－5－x|≥1，,0＜x＜5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－5|≥1，,0＜x＜5.))]3．一個(gè)棱長為2的正方體的上底面有一點(diǎn)A，下底面有一點(diǎn)B，則A、B兩點(diǎn)間的距離d滿足的不等式為________．2≤d≤2eq\r(3)[最短距離是棱長2，最長距離是正方體的體對角線長2eq\r(3).故2≤d≤2eq\r(3).]4．某公司有20名技術(shù)人員，計(jì)劃開發(fā)A、B兩類共50件電子器件，每類每件所需人員和預(yù)計(jì)產(chǎn)值如下：產(chǎn)品種類每件需要人員數(shù)每件產(chǎn)值(萬元/件)A類eq\f(1,2)7.5B類eq\f(1,3)6今制定計(jì)劃欲使總產(chǎn)值最高，則A類產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)________件，最高產(chǎn)值為________萬元．20330[設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件，則開發(fā)B類電子器件(50－x)件，則eq\f(x,2)＋eq\f(50－x,3)≤20，解得x≤20.由題意，得總產(chǎn)值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，當(dāng)且僅當(dāng)x＝20時(shí)，y取最大值330.所以應(yīng)開發(fā)A類電子器件20件，能使產(chǎn)值最高，為330萬元．]5．甲、乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)B地，甲車一半時(shí)間的速度為a，另一半時(shí)間的速度為b；乙車用速度a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若a≠b，試判斷哪輛車先到達(dá)B地？[解]設(shè)A，B兩地路程為2s，甲車走完A地到B地的路程所用時(shí)間為t1，則eq\f(t1,2)a＋eq\f(t1,2)b＝2s，t1＝eq\f(4s,a＋b)，乙車走完A地到B地的路程所用的時(shí)間為t2，則t2＝eq\f(s,a)＋eq\f(s,b).又t1－t2＝eq\f(4s,a＋b)－eq\f(s,a)－eq\f(s,b)＝eq\f(4sab－sba＋b－saa＋b,aba＋b)＝eq\f(－sa－b2,aba＋b)＜0(∵a≠b，a＞0，b＞0，s＞0)，∴t1＜t2，即甲車先到達(dá)B地．第2課時(shí)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握不等式的性質(zhì)．(重點(diǎn))2．能利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)或式的大小比較或不等式的證明．(難點(diǎn))3．通過類比等式與不等式的性質(zhì)，探索兩者之間的共性與差異.1.通過不等式性質(zhì)的判斷與證明，培養(yǎng)邏輯推理能力．2．借助不等式性質(zhì)求范圍問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【新課導(dǎo)入】1．等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；(2)性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的基本性質(zhì)(1)對稱性：a＞b?b＜a.(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c.(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.(5)加法法則：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.(6)乘法法則：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.(7)乘方法則：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．1．若a＞b，c＞d，則下列不等關(guān)系中不一定成立的是()A．a(chǎn)－b＞d－c B．a(chǎn)＋d＞b＋cC．a(chǎn)－c＞b－c D．a(chǎn)－c＜a－dB[根據(jù)不等式的性質(zhì)．]2．與a>b等價(jià)的不等式是()A．|a|>|b| B．a(chǎn)2>b2C.eq\f(a,b)>1 D．a(chǎn)3>b3D[可利用賦值法．令a＝－5，b＝0，則A、B正確而不滿足a>b.再令a＝－3，b＝－1，則C正確而不滿足a>b，故選D.]3．設(shè)x<a<0，則下列不等式一定成立的是()A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>axB[∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]【合作探究】利用不等式性質(zhì)判斷命題真假【例1】對于實(shí)數(shù)a，b，c下列命題中的真命題是()A．若a＞b，則ac2＞bc2B．若a＞b＞0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．若a＜b＜0，則eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＞0，b＜0[思路點(diǎn)撥]本題可以利用不等式的性質(zhì)直接判斷命題的真假，也可以采用特殊值法判斷．D[法一：∵c2≥0，∴c＝0時(shí)，有ac2＝bc2，故A為假命題；由a＞b＞0，有ab＞0?eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)?eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，故B為假命題；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＜b＜0?－a＞－b＞0?－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0?－a＞－b＞0))?eq\f(a,b)＞eq\f(b,a)，故C為假命題；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b?b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)?\f(1,a)－\f(1,b)＞0?\f(b－a,ab)＞0))ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D為真命題．法二：特殊值排除法．取c＝0，則ac2＝bc2，故A錯(cuò)．取a＝2，b＝1，則eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝1.有eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故B錯(cuò)．取a＝－2，b＝－1，則eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，有eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)，故C錯(cuò)．]運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷時(shí)，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).解有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計(jì)算.1．下列命題正確的是()A．若a2＞b2，則a＞bB．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＜bC．若ac＞bc，則a＞bD．若eq\r(a)＜eq\r(b)，則a＜bD[A錯(cuò)，例如(－3)2＞22；B錯(cuò)，例如eq\f(1,2)＞eq\f(1,－3)；C錯(cuò)，例如當(dāng)c＝－2，a＝－3，b＝2時(shí)，有ac＞bc，但a＜b.]利用不等式性質(zhì)證明簡單不等式【例2】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).[思路點(diǎn)撥]可結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，分析所證不等式的結(jié)構(gòu)，有理有據(jù)地導(dǎo)出證明結(jié)果．[證明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.兩邊同乘以eq\f(1,a－c2b－d2)，得eq\f(1,a－c2)＜eq\f(1,b－d2).又e＜0，∴eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).本例條件不變的情況下，求證：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).[證明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d)，又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)1利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.2應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.2．已知a>b，e>f，c>0，求證：f－ac<e－bc.[證明]∵a>b，c>0，∴ac>bc.又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，∴e－bc>f－ac，∴f－ac<e－bc.不等式性質(zhì)的應(yīng)用[探究問題]1．小明同學(xué)做題時(shí)進(jìn)行如下變形：∵2<b<3，∴eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，又∵－6<a<8，∴－2<eq\f(a,b)<4.你認(rèn)為正確嗎？為什么？提示：不正確．因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€(gè)正數(shù)，不等號的方向不變，但同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號方向改變，在本題中只知道－6<a<8.不明確a值的正負(fù)．故不能將eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)與－6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能分別相乘．2．由－6<a<8，－4<b<2，兩邊分別相減得－2<a－b<6，你認(rèn)為正確嗎？提示：不正確．因?yàn)橥虿坏仁骄哂锌杉有裕荒芟鄿p，解題時(shí)要充分利用條件，運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)變形，而不可隨意“創(chuàng)造”性質(zhì)．3．你知道下面的推理、變形錯(cuò)在哪兒嗎？∵2<a－b<4，∴－4<b－a<－2.又∵－2<a＋b<2，∴0<a<3，－3<b<0，∴－3<a＋b<3.這怎么與－2<a＋b<2矛盾了呢？提示：利用幾個(gè)不等式的范圍來確定某不等式的范圍要注意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形．本題中將2<a－b<4與－2<a＋b<2兩邊相加得0<a<3，又將－4<b－a<－2與－2<a＋b<2兩邊相加得出－3<b<0，又將該式與0<a<3兩邊相加得出－3<a＋b<3，多次使用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了a＋b范圍的擴(kuò)大．【例3】已知1＜a＜4,2＜b＜8，試求a－b與eq\f(a,b)的取值范圍．[思路點(diǎn)撥]依據(jù)不等式的性質(zhì)，找到－b與eq\f(1,b)的范圍，進(jìn)而求出a－b與eq\f(a,b)的取值范圍．[解]因?yàn)?＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2.所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.又因?yàn)閑q\f(1,8)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜eq\f(4,2)＝2，即eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜2.求含字母的數(shù)或式子的取值范圍時(shí)，一要注意題設(shè)中的條件，二要正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個(gè)同方向的不等式可加不可減，可乘不可除.3．已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范圍．[解]∵已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，兩式相加，得－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).∵－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4).∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4).∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2)，又知α＜β，∴eq\f(α－β,2)＜0.故－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0.1．在應(yīng)用不等式性質(zhì)時(shí)，一定要搞清它們成立的前提條件，不可強(qiáng)化或弱化成立的條件．2．要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說每條性質(zhì)是否具有可逆性.【課堂達(dá)標(biāo)】1．思考辨析(1)若a>b，則ac>bc一定成立．()(2)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d.()[提示](1)錯(cuò)誤．由不等式的可乘性知，當(dāng)不等式兩端同乘以一個(gè)正數(shù)時(shí)，不等號方向不變，因此若a>b，則ac>bc不一定成立．(2)錯(cuò)誤．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.滿足a＋c>b＋d，但不滿足a>b.[答案](1)×(2)×2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，則下列不等式中不正確的是()A．a(chǎn)－d＞b－c B．－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)C．a(chǎn)＋d＞b＋c D．a(chǎn)c＞bdC[由已知及不等式的性質(zhì)可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正確；由c＞d＞0，得eq\f(1,d)＞eq\f(1,c)＞0.又a＞b＞0，所以eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)，－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)即B正確；顯然D正確，因此不正確的選項(xiàng)是C.]3．若－1＜α＜β＜1，則下列各式中恒成立的是()A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1A[由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1.∴－2＜α－β＜2，但α＜β.故知－2＜α－β＜0.]4．若bc－ad≥0，bd>0.求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).[證明]因?yàn)閎c－ad≥0，所以ad≤bc，因?yàn)閎d>0，所以eq\f(a,b)≤eq\f(c,d)，所以eq\f(a,b)＋1≤eq\f(c,d)＋1，所以eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》專題訓(xùn)練[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．已知：a，b，c，d∈R，則下列命題中必成立的是()A．若a＞b，c＞b，則a＞cB．若a＞－b，則c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，則eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)D．若a2＞b2，則－a＜－bB[選項(xiàng)A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立，選項(xiàng)C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a＞b＞0，c＜0＜d時(shí)，不成立；選項(xiàng)D只有a＞b＞0時(shí)才可以．否則如a＝－1，b＝0時(shí)不成立，故選B.]2．設(shè)a>1>b>－1，則下列不等式中恒成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．a(chǎn)2>2b D．a(chǎn)>b2D[A錯(cuò)，例如a＝2，b＝－eq\f(1,2)時(shí)，eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝－2，此時(shí)，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；B錯(cuò)，例如a＝2，b＝eq\f(1,2)時(shí)，eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝2，此時(shí)，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；C錯(cuò)，例如a＝eq\f(5,4)，b＝eq\f(15,16)時(shí)，a2＝eq\f(25,16)，2b＝eq\f(30,16)，此時(shí)a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2，故D正確．]3．已知a>b，則下列不等式：①a2>b2；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a).其中不成立的個(gè)數(shù)是()A．0B．1D[雖然已知a>b，但并不知道a、b的正負(fù)，如有2>－3，但22<(－3)2，故①錯(cuò)；2>－3?eq\f(1,2)>－eq\f(1,3)，②錯(cuò)；若有a＝1，b＝－2，則eq\f(1,a－b)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,a)＝1，故③錯(cuò)．]4．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，則()A．b<0，c<0 B．b>0，c>0C．b>0，c<0 D．0<c<b或c<b<0D[由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，又∵b>c，∴0<c<b或c<b<0.]5．若a，b，c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是()A.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．a(chǎn)2＞b2C.eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1) D．a(chǎn)|c|＞b|c|C[對A，若a＞0＞b，則eq\f(1,a)＞0，eq\f(1,b)＜0，此時(shí)eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，∴A不成立；對B，若a＝1，b＝－2，則a2＜b2，∴B不成立；對C，∵c2＋1≥1，且a＞b，∴eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1)恒成立，∴C正確；對D，當(dāng)c＝0時(shí)，a|c|＝b|c|，∴D不成立．]二、填空題6．給出以下四個(gè)命題：①a＞b?an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|?an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0?eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)；④a＜b＜0?eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a).其中真命題的序號是________．②③[①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；③a＜b＜0，得eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)成立；④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)，④不成立．]7．設(shè)x＞1，－1＜y＜0，試將x，y，－y按從小到大的順序排列如下：________.y＜－y＜x[∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜x.]8．若8<x<10,2<y<4，則eq\f(x,y)的取值范圍是________．2<eq\f(x,y)<5[∵2<y<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,y)<eq\f(1,2).∵8<x<10，∴2<eq\f(x,y)<5.]三、解答題9．(1)a<b<0，求證：eq\f(b,a)<eq\f(a,b)；(2)已知a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，求證：ab>0.[證明](1)由于eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(b＋ab－a,ab)，∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，∴eq\f(b＋ab－a,ab)<0，故eq\f(b,a)<eq\f(a,b).(2)∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.10．已知：3＜a＋b＜4,0＜b＜1，求下列各式的取值范圍．(1)a；(2)a－b；(3)eq\f(a,b).[解](1)∵3＜a＋b＜4，又∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0，∴2＜a＋b＋(－b)＜4，即2＜a＜4.(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.又∵2＜a＜4，∴1＜a－b＜4.(3)∵0＜b＜1，∴eq\f(1,b)＞1，又∵2＜a＜4，∴eq\f(a,b)＞2.[等級過關(guān)練]1．a(chǎn)＞b＞c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是()A．a(chǎn)c＞bc B．a(chǎn)b＞acC．a(chǎn)|b|＞c|b| D．a(chǎn)