整式公式15.2.1平方差公式教學(xué)目標(biāo)①經(jīng)歷探索平方差公式的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力、歸納能力．②會(huì)推導(dǎo)平方差公式并掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算．③了解平方差公式的幾何背景，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法．教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：平方差公式的推導(dǎo)及應(yīng)用．難點(diǎn)：用公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式．教學(xué)準(zhǔn)備卡片及多媒體課件教學(xué)設(shè)計(jì)引入同學(xué)們，前面我們剛剛學(xué)習(xí)了整式的乘法，知道了一般情形下兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的法則．今天我們要繼續(xù)學(xué)習(xí)某些特殊情形下的多項(xiàng)式相乘．下面請(qǐng)同學(xué)們應(yīng)用你所學(xué)的知識(shí)，自己來(lái)探究下面的問(wèn)題：探究：計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)它們的運(yùn)算形式與結(jié)果有什么規(guī)律嗎?(1)(x+1)(x-1)=(2)(m+2)(m-2)=(3)(2x+1)(2x-1)=引導(dǎo)學(xué)生用自己的語(yǔ)言敘述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，允許學(xué)生之間互相補(bǔ)充，教師不急于概括．注：平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式，它的得出可以直接利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則，利用多項(xiàng)式乘法推導(dǎo)乘法公式是從一般到特殊的過(guò)程，對(duì)今后學(xué)習(xí)其他乘法公式的推導(dǎo)有一定的指導(dǎo)意義，同時(shí)也可培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括等能力，因此在教學(xué)中，首先應(yīng)讓學(xué)生思考：你能發(fā)現(xiàn)什么?讓學(xué)生經(jīng)歷觀察(每個(gè)算式和結(jié)果的特點(diǎn))、比較(不同算式之間的異同)、歸納(可能具有的規(guī)律)、提出猜想的過(guò)程，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，還應(yīng)通過(guò)符號(hào)運(yùn)算對(duì)規(guī)律進(jìn)行證明．舉例再舉幾個(gè)這樣的運(yùn)算例子．注：讓學(xué)生獨(dú)立思考，每人在組內(nèi)舉一個(gè)例子(可口述或書寫)，然后由其中一個(gè)小組的代表來(lái)匯報(bào)．驗(yàn)證我們?cè)賮?lái)計(jì)算(a+b)(a-b)=公式的推導(dǎo)既是對(duì)上述特例的概括，更是從特殊到一般的歸納證明，在此應(yīng)注意向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的思想方法：特例→歸納→猜想→驗(yàn)證→用數(shù)學(xué)符號(hào)表示．注：這里是對(duì)前邊進(jìn)行的運(yùn)算的討論，目的是讓學(xué)生通過(guò)觀察、歸納，鼓勵(lì)他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式的一些特點(diǎn)，如公式左右邊的結(jié)構(gòu)特征，為下一步運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算打下基礎(chǔ)．概括平方差公式及其形式特征．教師可以在前面的基礎(chǔ)上繼續(xù)鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式的一些特點(diǎn)：如公式左、右邊的結(jié)構(gòu)，并嘗試說(shuō)明這些特點(diǎn)的原因．應(yīng)用教科書第152頁(yè)例1運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)(3)(-x+2y)(-x-2y)填表：(a+b)(a-b)aba2—b2最后結(jié)果(3x+2)(3x-2)2(3x)2-22(b+2a)(2a-b)(-x+2y)(-x-2y)對(duì)本例的前面兩個(gè)小題可以采用學(xué)生獨(dú)立完成，然后搶答的形式完成；第三小題可采用小組討論的形式，要求學(xué)生在給出表格所提示的解法之后，思考別的解法：提取后一個(gè)因式里的負(fù)號(hào)，將2y看作“a”，將x看作“b”，然后運(yùn)用平方差公式計(jì)算．注：(1)正確理解公式中字母的廣泛含義，是正確運(yùn)用這一公式的關(guān)鍵．設(shè)計(jì)本環(huán)節(jié)，旨在通過(guò)將算式中的各項(xiàng)與公式里的a、b進(jìn)行對(duì)照，進(jìn)一步體會(huì)字母a、b的含義，加深對(duì)字母含義廣泛性的理解：即它們既可以是數(shù)，也可以是含字母的整式．(2)在具體計(jì)算時(shí)，當(dāng)有一個(gè)二項(xiàng)式兩項(xiàng)都負(fù)時(shí)，往往不易判明a、b，如第三小題，此時(shí)可以通過(guò)小組合作交流，放手讓學(xué)生去思考、討論，有助于學(xué)生思維互補(bǔ)、有條理地思考和表達(dá)，更有助于學(xué)生合作精神的培養(yǎng)．(3)例1第(3)小題引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問(wèn)題，可以加深對(duì)公式的理解．教科書第152頁(yè)例2計(jì)算：(1)102×98(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)此處仍先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后自主發(fā)言，口述解題思路，允許他們算法的多樣化，然后通過(guò)比較，優(yōu)化算法，達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)算的目的．注：(1)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)的形式特征，把相乘的兩數(shù)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積形式，教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生自己尋找相乘兩數(shù)的形式特征．(2)第二小題要引導(dǎo)學(xué)生注意到一般形式的整式乘法與特殊形式的整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)：只有符合公式要求的乘法，才能運(yùn)用公式簡(jiǎn)化運(yùn)算，其余的運(yùn)算仍按整式乘法法則進(jìn)行．鞏固教科書第153頁(yè)練習(xí)1、2練習(xí)1口答完成；練習(xí)2采用大組競(jìng)賽的形式進(jìn)行，其中(1)(4)由兩個(gè)大組完成，(2)(3)由另兩個(gè)大組完成．注：讓學(xué)生通過(guò)鞏固練習(xí)，達(dá)成本節(jié)課的基本學(xué)習(xí)目標(biāo)，并通過(guò)豐富的活動(dòng)形式，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和集體榮譽(yù)感．解釋你能根據(jù)下面的兩個(gè)圖形解釋平方差公式嗎?多媒體動(dòng)畫演示圖形的變換過(guò)程，體會(huì)過(guò)程中不變的量，并能用代數(shù)恒等式表示．注：(1)重視公式的幾何背景，可以幫助學(xué)生運(yùn)用幾何直觀理解、解決有關(guān)代數(shù)問(wèn)題．(2)此處將教科書的圖15.3-1分解為兩個(gè)圖形，是考慮到學(xué)生數(shù)與形結(jié)合的思想方法掌握的不夠熟練；利用兩個(gè)圖形可以清楚變化的過(guò)程，便于聯(lián)想代數(shù)的形式．小結(jié)談一談：你這一節(jié)課有什么收獲?注：這兒采取的是先由每個(gè)學(xué)生自己小結(jié)，然后由小組代表作答，把教師做小結(jié)變成了課堂上人人做小結(jié)，有助于學(xué)生概括能力、抽象能力、表達(dá)能力的提高．同時(shí)，由于人人都要做小結(jié)，促使學(xué)生注意力集中，學(xué)習(xí)主動(dòng)性加強(qiáng)．作業(yè)1．必做題：教科書第156頁(yè)習(xí)題15.2第1題2．選做題：計(jì)算：(1)x2+(y-x)(y+x)(2)20082-2009×2007(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)(4)(a+b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)教學(xué)后記15．2．2完全平方公式教學(xué)目標(biāo)①經(jīng)歷探索完全平方公式的過(guò)程，使學(xué)生感受從一般到特殊的研究方法，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感和推理能力．②會(huì)推導(dǎo)完全平方公式，能說(shuō)出公式的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算．③了解公式的幾何背景，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題的能力．教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：(a±b)2=a2±2ab+b2的推導(dǎo)及應(yīng)用．難點(diǎn)：公式的結(jié)構(gòu)特征及教科書P184例5．教學(xué)準(zhǔn)備投影儀；多媒體課件；小黑板,邊長(zhǎng)為a、b的兩種正方形卡片每小組一張；長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形卡片每小組一張．教學(xué)設(shè)計(jì)引入同學(xué)們，前一節(jié)課我們已經(jīng)探究了一種特殊形式的多項(xiàng)式乘法，學(xué)會(huì)了平方差公式的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用．今天我們?cè)谶@個(gè)基礎(chǔ)上要繼續(xù)學(xué)習(xí)另一種特殊形式的多項(xiàng)式乘法．下面請(qǐng)同學(xué)們像上一節(jié)課一樣，自己來(lái)探究下面的問(wèn)題：(1)完全平方公式也是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式，由于學(xué)生在前面已經(jīng)接觸過(guò)乘法公式推導(dǎo)的思路和方法，所以在此引導(dǎo)他們?cè)俅巫灾魍茖?dǎo)即可．在推導(dǎo)公式的過(guò)程中，要重視學(xué)生對(duì)運(yùn)算依據(jù)的理解與敘述，強(qiáng)調(diào)推理，培養(yǎng)他們的代數(shù)推理能力、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)的能力．探究計(jì)算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)它們的運(yùn)算形式與結(jié)果有什么規(guī)律嗎?(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=(2)(m+2)2=(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=(4)(m-2)2=注：引導(dǎo)學(xué)生用自己的語(yǔ)言敘述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，允許學(xué)生之間互相補(bǔ)充，教師不急于概括．(2)這里是對(duì)前邊進(jìn)行的運(yùn)算的討論，目的是讓學(xué)生通過(guò)觀察、歸納，鼓勵(lì)他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式的一些特點(diǎn)，如公式左右邊的特征，便于進(jìn)一步應(yīng)用公式計(jì)算．舉例：再舉幾個(gè)這樣的運(yùn)算例子．讓學(xué)生獨(dú)立思考，每人在組內(nèi)舉一個(gè)例子(可口述或書寫)，然后由其中一個(gè)小組的代表來(lái)匯報(bào)．驗(yàn)證我們?cè)賮?lái)計(jì)算(a+6)2，(a-b)2．公式的推導(dǎo)既是對(duì)上述特例的概括，更是從特殊到一般的歸納證明，在此應(yīng)注意向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的思想方法：特例——?dú)w納——猜想——驗(yàn)證——用數(shù)學(xué)符號(hào)表示．概括完全平方公式及其形式特征．注：教師可以在前面的基礎(chǔ)上繼續(xù)鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式的一些特點(diǎn)：如公式左、右邊的結(jié)構(gòu)，并嘗試說(shuō)明產(chǎn)生這些特點(diǎn)的原因．還可以引導(dǎo)學(xué)生將(a-b)2的結(jié)果用(a+b)2來(lái)解釋：(a-b)2={a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2(3)對(duì)公式(a-b)2=a2-2ab+b2的多角度解釋，是為了加深學(xué)生對(duì)公式中字母a、b的廣泛意義的理解，并再次讓學(xué)生體會(huì)加、減法的互相轉(zhuǎn)化與統(tǒng)一應(yīng)用教科書第154頁(yè)例3運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)(4m+n)2(2)(y-)2引導(dǎo)學(xué)生用如下的填空形式完成例3：解：(1)∵(4m+n)2是__與__和的平方，(2)∵(y-)2是__與__和的平方，注：可由學(xué)生口答完成，教師多媒體展示結(jié)果，提高課堂效率．(1)正確理解公式中字母的廣泛含義，是正確運(yùn)用這一公式的關(guān)鍵．設(shè)計(jì)本環(huán)節(jié)，旨在通過(guò)將算式中的各項(xiàng)與公式里的a、b進(jìn)行對(duì)照，進(jìn)一步體會(huì)字母a、b的含義，加深對(duì)字母含義廣泛性的理解．(2)在具體計(jì)算時(shí)，當(dāng)二項(xiàng)式的項(xiàng)不再是單獨(dú)的數(shù)或字母時(shí)，或者項(xiàng)是小數(shù)時(shí)，往往容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤，如例1第(1)小題，易錯(cuò)解得(4m)2=4m2，通過(guò)這樣的填空，可引起學(xué)生的思考、討論，有助于學(xué)生辨析公式，熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征，繼而正確進(jìn)行運(yùn)用．教科教科書第154頁(yè)例4運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)1022(2)992此處可先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后自主發(fā)言，口述解題思路，可先不給出題目中“運(yùn)用完全平方公式計(jì)算”的要求，允許他們算法的多樣化，但要求明白每種算法的局限和優(yōu)越性．注：運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算的目的是進(jìn)一步鞏固完全平方公式，體會(huì)符號(hào)運(yùn)算對(duì)解決問(wèn)題的作用，教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生自己獨(dú)立解決此問(wèn)題．鞏固教科書第155頁(yè)練習(xí)1、2練習(xí)1采用大組競(jìng)賽的形式進(jìn)行，其中(1)(3)由兩個(gè)大組完成，(2)(4)由另兩個(gè)大組完成；練習(xí)2由學(xué)生獨(dú)立完成，投影儀顯示兩位學(xué)生的完成情況．注：讓學(xué)生通過(guò)鞏固練習(xí)，達(dá)成本節(jié)課的基本學(xué)習(xí)目標(biāo)．利用投影儀可以提高課堂效率。思考(a+b)2與(-a-b)2相等嗎?(a-b)2與(b-a)2相等嗎?(a-b)2與a2-b2相等嗎?為什么?組織學(xué)生進(jìn)行討論，通過(guò)自主推導(dǎo)，互相合作交流，共同解決難題．注：前兩對(duì)算式可通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的同次偶次冪相等”得出結(jié)論，后面一對(duì)算式由于前面學(xué)習(xí)的(ab)2=a2b2等公式的負(fù)遷移作用，學(xué)生常出現(xiàn)(a-b)2=a2-b2、(a+b)2=a2+b2等錯(cuò)誤，教學(xué)時(shí)有必要辨析．拓展教科書第155頁(yè)例5運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)(2)(a+b+c)2講解此例之前可先讓學(xué)生自學(xué)教科書第183頁(yè)的“添括號(hào)法則”并完成教科書第184頁(yè)練習(xí)1．然后給出例5的題目，讓學(xué)生思考該選擇哪個(gè)公式．第(1)小題的解決關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生比較兩個(gè)因式的各項(xiàng)符號(hào)，分別找出符號(hào)相同及相反的項(xiàng)，學(xué)會(huì)運(yùn)用整體思想，將其與公式中的字母a、b對(duì)照，其中-2y+3=-(2y-3)，故應(yīng)運(yùn)用平方差公式．第(2)小題可將任意兩項(xiàng)之和看作一個(gè)整體，然后運(yùn)用完全平方公式．注：在解此例的過(guò)程中，應(yīng)注意邊辨析各項(xiàng)的符號(hào)特征，邊對(duì)照兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征，教師應(yīng)完整詳細(xì)地書寫解題過(guò)程，幫助學(xué)生理解這一公式的拓展應(yīng)用，突破難點(diǎn)．(1)“添括號(hào)法則”采用自學(xué)的方法得出，可培養(yǎng)學(xué)生一定的自學(xué)能力．(2)有些整