“用頻率估計(jì)概率（第1課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)荊州市教育科學(xué)研究院熊乾荊州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)李宜紅王用華一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

內(nèi)容：人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊“25.3用頻率估計(jì)概率”（第一課時(shí)）.

內(nèi)容解析：

不確定現(xiàn)象大量存在于自然界和人類社會中，概率正是研究這種現(xiàn)象、揭示其統(tǒng)計(jì)規(guī)律并幫助我們形成決策的數(shù)學(xué)工具.且隨著生產(chǎn)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)水平的提高，概率在現(xiàn)實(shí)生活和科學(xué)預(yù)測中的作用愈加廣泛和重要，掌握概率的基本知識和思想方法已成為現(xiàn)代社會公民必備的素養(yǎng).

“用頻率估計(jì)概率”是“概率初步”這一章的第三節(jié)，是在學(xué)生初步了解概率的意義及會用概率的古典定義求一些簡單等可能事件的概率之后對概率的進(jìn)一步研究.教材這樣編排其主要意圖有三：1、遵從概率的產(chǎn)生及發(fā)展規(guī)律.歷史上概率（指客觀概率）的定義經(jīng)歷了三個(gè)階段：①概率的古典定義；②概率的統(tǒng)計(jì)定義；③概率的公理化定義.2、符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.概率的古典定義相對簡單，所涉事件的概率有確定的結(jié)果，學(xué)生易于接受，而概率的統(tǒng)計(jì)定義其內(nèi)涵更為深刻.3、相對于概率的古典定義，用頻率估計(jì)概率的方法更具一般性與普遍性，它不受列舉法求概率兩個(gè)條件的限制，適用范圍更廣.

所謂頻率，是在相同條件下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，其本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能夠確定，且隨著試驗(yàn)的不同而發(fā)生改變.而一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率是確定的常數(shù)，是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān).從以上角度上講，頻率與概率是有區(qū)別的，但在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性：隨著樣本量的增加，頻率將會越來越集中在一個(gè)常數(shù)附近，具有穩(wěn)定性，即試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于其理論概率.1713年，瑞士大數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利對這一客觀規(guī)律性從理論上給予了證明，并提出了大數(shù)定律中的伯努利定律.基于此，我們可以用這個(gè)穩(wěn)定的頻率作為事件發(fā)生的概率──“一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)P附近，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=P.”這也就是概率的統(tǒng)計(jì)定義.它突破了對隨機(jī)事件發(fā)生結(jié)果的等可能性與有限性的限制，揭示了偶然性中蘊(yùn)含的必然規(guī)律.“頻率穩(wěn)定性”是概率統(tǒng)計(jì)定義的核心，相比古典定義“用頻率估計(jì)概率”更具普適性，它是求概率最基本的方法.

教學(xué)重點(diǎn)：了解用頻率估計(jì)概率的必要性和合理性.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析：

目標(biāo)：了解用頻率估計(jì)概率的必要性和合理性，初步理解概率的統(tǒng)計(jì)定義；能通過對事件發(fā)生頻率的分析，估計(jì)事件發(fā)生的概率；培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和處理數(shù)據(jù)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神.

目標(biāo)解析：1、能夠通過試驗(yàn)獲得事件發(fā)生的頻率，并通過大量重復(fù)試驗(yàn)，讓學(xué)生體會到隨機(jī)事件內(nèi)部所蘊(yùn)涵的客觀規(guī)律——頻率的穩(wěn)定性.知道大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率可作為事件發(fā)生概率的估計(jì)值.

2、結(jié)合生活實(shí)例，能進(jìn)一步明晰頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系，了解用頻率估計(jì)概率的方法與列舉法求概率的區(qū)別，并能夠通過對事件發(fā)生頻率的分析，估計(jì)事件發(fā)生的概率.

3、在經(jīng)歷用試驗(yàn)的方法探究概率的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、處理數(shù)據(jù)的能力，進(jìn)一步增強(qiáng)統(tǒng)計(jì)意識、發(fā)展概率觀念，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的態(tài)度、勇于探索的精神及交流與協(xié)作精神.

三、教學(xué)問題診斷分析

1、由于學(xué)生初學(xué)概率，且在此之前面對求概率的隨機(jī)事件都是等可能事件，對于一些結(jié)果不是等可能的隨機(jī)事件（如：認(rèn)為姚明一次罰籃的結(jié)果進(jìn)與不進(jìn)是等可能的）會依然采取列舉法，這類現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是對用列舉法求概率的兩個(gè)條件把握不夠，對事件發(fā)生的可能性大小分析不透徹所致.

2、頻率在一定程度上可以反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，但頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，無法從根本上刻畫事件發(fā)生可能性的大小，只有在大量重復(fù)試驗(yàn)的條件下，可以近似地作為這個(gè)事件的概率.概率是巨大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)后得出的結(jié)論，是一種大的整體趨勢，是頻率在理論上的期望值，它是一個(gè)確定的常數(shù)，是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān).頻率與概率是從量變到質(zhì)變，是對立統(tǒng)一的.對于初學(xué)者，對兩者關(guān)系的理解，還需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過程.

3、容易忽略“大量重復(fù)試驗(yàn)”這個(gè)用頻率估計(jì)概率前提條件.這一問題的出現(xiàn)也是對概率思想的內(nèi)涵把握不夠所致.概率是針對大量重復(fù)試驗(yàn)而言的，如果試驗(yàn)次數(shù)太少，試驗(yàn)頻率可能會與理論概率值產(chǎn)生較大的偏差，進(jìn)而不能合理的估計(jì)概率.

教學(xué)難點(diǎn)：大量重復(fù)試驗(yàn)得到頻率穩(wěn)定值的分析，對頻率與概率之間關(guān)系的理解.

四、教學(xué)過程：

（一）情景引入：

問題1：姚明罰籃一次命中概率有多大？

播放“NBA”（美國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽）08—09賽季火箭隊(duì)VS奇才隊(duì)的比賽片段，在姚明罰籃球出手后，畫面停滯，屏幕顯示：問題：姚明罰進(jìn)的概率有多大？

學(xué)生先思考、討論、發(fā)言后媒體出示甲、乙、丙的說法：

甲：100%

姚明是世界明星嘛！乙：50%

因?yàn)橹挥羞M(jìn)和不進(jìn)兩種結(jié)果，所以概率為50%.丙：80%

姚明很準(zhǔn)的，大概估計(jì)有80%的可能性.

同學(xué)們，你們同意誰的觀點(diǎn)？

學(xué)生充分交流后，老師對不同說法進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u價(jià)，并借機(jī)復(fù)習(xí)用列舉法求概率的條件，引導(dǎo)學(xué)生分析進(jìn)與不進(jìn)的可能性不相等，不能用列舉法來求概率.

師：那它究竟有沒有規(guī)律，或者說還有沒有其它的辦法探求概率呢？

屏幕上閃爍顯示08—09賽季姚明罰籃命中率86.6%.

師：姚明的命中率從何而來？（統(tǒng)計(jì)結(jié)果）

怎么統(tǒng)計(jì)的？（罰中個(gè)數(shù)與罰球總數(shù)的比值）

這個(gè)比值叫什么？（這實(shí)際上就是頻率，這種方法實(shí)際上就是用頻率估計(jì)概率）

在此基礎(chǔ)上，導(dǎo)出課題.

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉、感興趣的事物和最喜歡的球星引入，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，得出姚明罰籃命中的可能性不相等，由此引發(fā)認(rèn)知沖突，導(dǎo)入新課.

（二）試驗(yàn)探究

問題2：怎樣用頻率估計(jì)概率？

1、拋擲一枚硬幣正面（有數(shù)字的一面）向上的概率是二分之一，這個(gè)概率能否利用剛才計(jì)算命中率方法──通過統(tǒng)計(jì)很多擲硬幣的結(jié)果來得到呢？

設(shè)計(jì)意圖：已知概率的情況下引入試驗(yàn)，基于以下原因：（1）拋擲硬幣試驗(yàn)所需條件容易實(shí)現(xiàn)，可操作性強(qiáng)；（2）硬幣試驗(yàn)歷史上積累了大量數(shù)據(jù)，更有利于問題的說明；（3）用頻率估計(jì)概率可以和前兩節(jié)學(xué)習(xí)的概率的古典定義統(tǒng)一，兩種不同的方法求得的是同一個(gè)概率，且概率的統(tǒng)計(jì)定義比古典定義更具一般性.

2、試驗(yàn)一（擲硬幣試驗(yàn)）（配合親切童聲播放）

全班共分8個(gè)小組，每小組5人，共拋50次，推薦組長一名，組長不參與拋擲.

（1）拋擲要求：①拋擲時(shí)請將書本文具收入課桌內(nèi)；②兩人一組合，完成25次拋擲，一人拋一人畫“正”記數(shù)，拋擲一次劃記一次，“正面向上”一次劃記一次；③拋的高度要達(dá)到自己坐姿的頭頂高度，若硬幣掉在地上，本次不作記錄.

（2）組長職責(zé)：①檢查組員拋擲是否符合要求；②收集本組數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)錄入教師機(jī)中的拋擲情況表.全班共同填寫硬幣拋擲統(tǒng)計(jì)表（表3），將第1組數(shù)據(jù)填在第一列，第1、2組的數(shù)據(jù)之和填在第二列，……8個(gè)組的數(shù)據(jù)之和填在第8列.

設(shè)計(jì)意圖：①“在相同條件下”使數(shù)據(jù)更真實(shí)有效；②合理分組，可以減少勞動強(qiáng)度，加快試驗(yàn)速度，同時(shí)在培養(yǎng)動手能力與探索精神中，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神.

表1（個(gè)人拋擲情況統(tǒng)計(jì)表）

表2（小組拋擲情況統(tǒng)計(jì)表）

表3（硬幣拋擲統(tǒng)計(jì)表）

設(shè)計(jì)意圖：這幾個(gè)圖表的給出可以正確有效地引導(dǎo)學(xué)生在有限的課堂時(shí)間內(nèi)高效率地得到相關(guān)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)及整理描述數(shù)據(jù)，為分析數(shù)據(jù)作準(zhǔn)備.同時(shí)，試驗(yàn)整個(gè)操作過程均由學(xué)生參與完成，教師只是作為組織者參與其中，關(guān)注學(xué)生的投入程度──能否積極、主動地從事各項(xiàng)活動，向同伴解釋自己的想法，聽取別人的建議與意見；關(guān)注學(xué)生在活動中表現(xiàn)出的實(shí)踐能力、思維水平、團(tuán)隊(duì)意識.

問題3：分析試驗(yàn)結(jié)果及史上數(shù)學(xué)家大量重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，大家有何發(fā)現(xiàn)？

3、分析數(shù)據(jù)

全班填寫表3得到硬幣正面向上頻率的同時(shí)，教師在黑板上繪制折線圖，完成后教師提問：

①隨著拋擲次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率在哪個(gè)數(shù)字的左右擺動？

②隨著拋擲次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率在0.5的左右擺動幅度有何規(guī)律？（學(xué)生從折線圖1中難以發(fā)現(xiàn)）

師：接下來，我們增加試驗(yàn)次數(shù)，看看有什么新的發(fā)現(xiàn)，歷史上有許多數(shù)學(xué)家為了弄清其中的規(guī)律，曾堅(jiān)持不懈的做了成千上萬次的擲硬幣試驗(yàn).

引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)，師：還有一位數(shù)學(xué)家，做了八萬多次的試驗(yàn).

觀察頻率在0.5附近擺動幅度有何規(guī)律？

觀察折線圖2：

③請大家分析，兩個(gè)折線圖反映的規(guī)律有何區(qū)別？什么原因造成了不同？學(xué)生得出：圖一，試驗(yàn)次數(shù)少一些，“正面向上”的頻率在0.5左右擺動的幅度大一些.

④你們認(rèn)為出現(xiàn)的規(guī)律與試驗(yàn)次數(shù)有何關(guān)系？（試驗(yàn)次數(shù)越多頻率越接近0.5，即頻率穩(wěn)定于概率.）

⑤數(shù)學(xué)家為什么要做那么多試驗(yàn)？

⑥當(dāng)“正面向上”的頻率逐漸穩(wěn)定到0.5時(shí)，“反面向上”的頻率呈現(xiàn)什么規(guī)律？概率與頻率穩(wěn)定值的關(guān)系是什么呢？

師生共同小結(jié)：至此，我們就驗(yàn)證了可以用計(jì)算罰籃命中率的方法來得到硬幣“正面向上”的概率.

設(shè)計(jì)意圖：這六個(gè)問題的設(shè)置，循序漸進(jìn)，促使學(xué)生更深入的分析數(shù)據(jù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率穩(wěn)定于概率，在頭腦中再現(xiàn)了知識的形成過程，避免單純地記憶，使學(xué)習(xí)成為一種再創(chuàng)造的過程.

問題4：從一定高度落下的圖釘，落地后可能圖釘尖著地，也可能圖釘尖不著地，估計(jì)一下哪種事件的概率更大.

試驗(yàn)二（拋擲圖釘試驗(yàn)）

試驗(yàn)規(guī)則：1、全班分成8個(gè)小組，每小組5人，每組共完成50次試驗(yàn)，兩人一組合完成25次試驗(yàn)，統(tǒng)一從數(shù)學(xué)課本高度處落下，做好記錄；2、每個(gè)小組的組長匯總50次試驗(yàn)的結(jié)果，并報(bào)給教師，教師利用電子表格自動得出各組頻率及累加后頻率，繪制折線圖.

表4（小組拋擲圖釘統(tǒng)計(jì)表）

表5（圖釘拋擲統(tǒng)計(jì)表）

從表中可以發(fā)現(xiàn)，“圖釘尖著地”的頻率在

左右擺動，并且隨著統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的增加，這種規(guī)律愈加明顯，所以估計(jì)從一定高度落下的圖釘，圖釘尖著地的概率是

.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過拋擲硬幣試驗(yàn)，初步得出大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)硬幣正面向上的頻率具有穩(wěn)定性，可以用試驗(yàn)方法獲得概率，但對于試驗(yàn)結(jié)果不具有等可能性的隨機(jī)事件（如姚明罰籃一次進(jìn)與不進(jìn)可能性不等）是否具有穩(wěn)定性尚不清楚，意在進(jìn)一步說明頻率的“穩(wěn)定性”.

（三）揭示新知

問題5：為什么可以用頻率估計(jì)概率？

師：其實(shí)，不僅僅是擲硬幣、擲圖釘事件有規(guī)律，人們在大量的生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)：對于一般的隨機(jī)事件，在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率也總在一個(gè)固定數(shù)附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性.

引出瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利最早闡明頻率具有穩(wěn)定性，介紹其家族前后三代共出13位大數(shù)學(xué)家和大物理學(xué)家，進(jìn)行數(shù)學(xué)史的教育.

師：由于大量重復(fù)試驗(yàn)的頻率具有穩(wěn)定性，由此可根據(jù)這個(gè)穩(wěn)定的頻率來估計(jì)概率.

歸納：一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的概率m/n會穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=P.

教師指出這是從統(tǒng)計(jì)的角度給出了概率的定義，也是探求概率的一種新方法，列舉法僅限于試驗(yàn)結(jié)果有限個(gè)和每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等的事件求概率，而用頻率估計(jì)概率的方法不僅適用于列舉法求概率的隨機(jī)事件，而且對于試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等的隨機(jī)事件，我們也可以用頻率來估計(jì)概率.

設(shè)計(jì)意圖：引入瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利的故事，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)，增加學(xué)習(xí)自信心，通過比較概率的統(tǒng)計(jì)定義與古典定義，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用頻率估計(jì)概率思想方法的重要作用.

問題6：隨機(jī)事件的概率P（A）有什么范圍？對一個(gè)隨機(jī)事件A，用頻率估計(jì)的概率P（A）可能小于0嗎？可能大于1嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過探求取值范圍，促進(jìn)學(xué)生對用頻率估計(jì)概率的內(nèi)涵有更深一層的認(rèn)識.

（四）鞏固練習(xí)

問題7：“搶”

某射擊運(yùn)動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：

①計(jì)算表中相應(yīng)的“射中9環(huán)以上”的頻率（精確到0.01）；

②這些頻率穩(wěn)定在哪一個(gè)常數(shù)附近？

③根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動員射擊一次時(shí)“射中9環(huán)以上”的概率（精確到0.1）.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固新知，知能升級.

問題8：“辯”

（1）天氣預(yù)報(bào)說下星期一降水概率為90%，下星期三降水概率為10%，于是有位同學(xué)說：下星期一肯定下雨，下星期三肯定不下雨，你認(rèn)為他說的對嗎？

（2）拋擲硬幣100次，一定有50次正面向上嗎？拋擲2n次一定有n次正面向上嗎？

（3）小明投籃5次，命中4次，他說一次投中的概率為5分之4對嗎？

（4）小明的爸爸這幾天迷上了體育彩票，該體育彩票每注是一個(gè)7位的數(shù)碼，如能與開獎(jiǎng)結(jié)果一致，則獲特等獎(jiǎng)；如果有相連的6位數(shù)碼正確，則獲一等獎(jiǎng)；……；依次類推，小明的爸爸昨天一次買了10注這種彩票，結(jié)果中了一注一等獎(jiǎng)，他高興地說：“這種彩票好，中獎(jiǎng)率高，中一等獎(jiǎng)的概率是10%！小明爸爸的說法正確嗎？”

設(shè)計(jì)意圖：通過對生活中實(shí)例的辨析，進(jìn)一步揭示概率的內(nèi)涵──概率是針對大量重復(fù)試驗(yàn)而言的，大量重復(fù)試驗(yàn)