4.4數(shù)學(xué)歸納法（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）

【夯實基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?上海?高二專題練習(xí)）已知〃為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明

?--+~-7+-1+-二++4）時、若已假設(shè)“=&（k≥2,且A為偶數(shù)）時等式成立，

234n-??n+2n+4In）

則還需利用假設(shè)再證（）

A.〃=%+1時不等式成立B.〃=%+2時不等式成立

C.〃=24+2時不等式成立D."=2（Z+2）時不等式成立

【答案】B

【分析】利用已知及其數(shù)學(xué)歸納法的定義即可得出.

【詳解】若已假設(shè)"=&（%>2,k為偶數(shù)）時命題為真，

因為〃只能取偶數(shù)，

所以還需要證明〃=Z+2成立.

故選：B.

2.（2022?上海?高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明l+；+g++^-y<n（∏∈N?,n>l）0<J-,第一步應(yīng)驗證

不等式（????）

A.14—<2B.1H1—<2

223

C.l+'+'<3D.1+W<3

23234

【答案】B

【分析】取〃=2即可得到第一步應(yīng)驗證不等式.

【詳解】由題意得，當(dāng)”=2時，不等式為l+（+!<2?

23

故選：B.

3.（2022?全國?高二課時練習(xí)）記凸k邊形的內(nèi)角和為加t）,則凸k+1邊形的內(nèi)角和加l+l）=Λ%）+（????）

A.-B.itC.—D.2Tr

22

【答案】B

【分析】根據(jù)題意相當(dāng)于增加了一個三角形，從而得出選項.

【詳解】由凸Z邊形變?yōu)橥梗?1邊形時，

增加了一個三角形，故,穴人+1）=/（Z）+兀

故選：B

4.(2022?浙江?嘉興一中高二期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明"」二+一二+一!二+…Jτ>l"時，假設(shè)〃=女時

n÷ln+2H+33∕Z÷1

命題成立，則當(dāng)〃=攵+1時，左端增加的項為(????)

111CIllclI2

A-------B-----------------C-------------------1-----------1---------D-------------F---------------------

'3k+?'3?+lk+?'3?+23%+33A+4-3左+23無+43(?+l)

【答案】D

【分析】求出,=A時，不等式的左邊，再求出當(dāng)〃=A:+1時，不等式的左邊,得到當(dāng)〃=%+1時，即可推

出不等式的左邊比〃=Z時增加的項.

【詳解】當(dāng)〃=Z時，不等式左邊等于J7+h=+丁二+…+JrMeN+,

Z+lk+2k+33k+l

當(dāng)〃=Z+1時，不等式左邊等于丁二+丁二+1二+…+七二+U√,

k+2k+3左+43?+334+4

Illl2

當(dāng)〃“+1時，不等式的左邊比〃=%時增加而T而T而T正rκ十百一而可

故選：D

5.(2022?全國?高二課時練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明：儼+22+…+,/+…+22+I2=%(2”2+1),第二步從〃

到女+1,等式左邊應(yīng)添加的項是(????)

A.(?2+l)2B.k2+lC.(k+?)2+k2D.(?+l)2+2?2

【答案】C

【分析】根據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，分別寫出與〃=%+1時的結(jié)論，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，

由于"=%,左邊=產(chǎn)+2?+…+(A-1)2+3+(Z-1)2+―+22+12,

〃=&+1時，左邊=F+2?+…+(A-I)?+公+(￠+1)2+公+(Jt-I)2+…+2?+F,

比較兩式，從而等式左邊應(yīng)添加的式子是(k+D2+k2,

故選：C.

二、多選題

6.(2022?全國?高二專題練習(xí))已知一個命題p(A),Z=2"("∈N*),若當(dāng)〃=1,2,…，1000時，P(Z)成立,

且當(dāng)”=1001時也成立，則下列判斷中正確的是(????)

A.p(A)對&=528成立

B.P(Z)對每一個自然數(shù)/都成立

C.P(Z)對每一個正偶數(shù)女都成立

02/20

D.p(k)對某些偶數(shù)可能不成立

【答案】AD

【分析】直接根據(jù)已知條件判斷每一個選項的正確錯誤.

【詳解】由題意知P(A)對％=2,4,6,....2002成立，當(dāng)左取其他值時不能確定P(A)是否成立，故選AD.

故選：AD

三、填空題

7.(2022?全國?高二專題練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明3"≥∕佗3,"GN*)第一步應(yīng)驗證_______.

【答案】〃=3時是否成立

【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的方法與步驟即可得出答案.

【詳解】”的最小值為3,所以第一步驗證〃=3時是否成立.

故答案為：〃=3時是否成立

8.(2022?全國?高二專題練習(xí))已知加2)=1+；+?+!(n∈ΛΓ),證明不等式式2")>g時，12人，)比人2%)

23n2

多的項數(shù)是.

【答案】2k

【分析】由火〃)的表達(dá)式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，然后寫出八26和進(jìn)行比較可得答案

【詳解】觀察犬")的表達(dá)式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，

∕2fc)=l+^?+∣+...+?,

而y(2kz)=l÷?∣?+?+...+-?÷J+CJC+…+Ck]Ck-

232t2*+l2*+22A+2*

因此負(fù)2%+/)比人2%)多了2%項.

故答案為：2k

9.(2022?全國?高二課時練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明％。$廣8$2》1<。$(2"--)=孚21(〃€匠)”時，當(dāng)

〃=氏+10寸，應(yīng)證明的等式為.

【答案】cosx?cos2x?L?cosQix)?cos(2*X)=

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)學(xué)歸納法的定義及證明命題的方法步驟直接寫出結(jié)論作答.

【詳解】依題意，當(dāng)”=k+1時，應(yīng)證明的等式為：

cos%cos2x?L?cos(2*Tχ)?cos(2*x)=~.

2"ISinX

故答案為：cosXcos2x?L?cos(2*τx)?cos(2*X)=一/7

2sin?

10.(2022?全國?高二課時練習(xí))與正整數(shù)"有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，如果當(dāng)"=&(?∈N,k≥?)時該命題成

立，則可推得當(dāng)〃=A+1時該命題成立，那么為了推得〃=5時該命題不成立，需已知〃=時該命題

不成立.

【答案】6

【分析】根據(jù)己知的命題，可以假設(shè)〃=5時成立，可得到"=6時命題成立，故利用反證的思想可得答

案.

【詳解】由題意可知，〃=6時，該命題不成立，那么〃=5時該命題一定不成立，

否則〃=5時該命題成立，那么〃=6時一，該命題也成立，

故答案為：6

四、解答題

H.(2022.北京?北師大實驗中學(xué)高二階段練習(xí))在數(shù)列｛叫，｛〃,｝中，q=2,?,=4,且冊，b,,冊八成

等差數(shù)列，bn,〃向，加成等比數(shù)列(〃eN)

⑴求“2，%,%及外，4，%，由此猜測｛q｝,｛2｝的通項公式，并證明你的結(jié)論；

1111

(2)證明：-——+"?+―7Γ<?.

%+4a2+b2al,+bn2

【答案】⑴生=6,%=12,q=20也=9也=16也=25,猜想：an-n(n+l),bll=(n+l)^,證明見詳解

(2)證明見詳解

【分析】(1)根據(jù)題意可得：2b,,=an+an+l,aj=bnbn+l,分別令”=1,2,3求解，猜想：

《,=〃(〃+1)也=(〃+1)2,利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想；⑵利用

Ur(〃+缶+1)<而晶=哭-馬進(jìn)行放縮，結(jié)合裂項相消證明?

(1)

根據(jù)題意可得:2?=?÷0w+1,aJ=?1

令〃=1,貝lJ2b∣=q+/,?2=b?b2?可得〃2=6/2=9

令〃=2,則24=〃2+。3，a；=瓦b3,可得〃3=12也=16

令〃=3,則2Z>3=4+4,a；=b3b4,可得〃4=20也=25

猜想：?=n(n÷l),?=(n+l)2

04/20

當(dāng)"=1,q=2,4=4成立

2

假定當(dāng)"二%(A≥1),ak=k(k+l),bk=(fc+l)

26Z

當(dāng)九二Z+1時，24=%+?+l,即2(Z+1)=M左+l)+%+ι，則A+>=(?+l)(λ+2)

2bb

?+∣=kk+?<即[(Z+l)(A+2)]2=(m)%W則鼠=(k+2p成立

，%=〃(〃+i)，d=("+ι)-

⑵

1________]5+1)；2〃+1)<^71)女一總

M(∕?+1)+(/7+1)^

11

---------1

ax+?1---a2+b2

1

<—

2

【能力提升】

一、多選題

2

1.(2022?江蘇?南京師大附中高二開學(xué)考試)正項數(shù)列｛4｝滿足4=10,??+1=??,數(shù)列也｝滿足

%+1,〃為奇數(shù)

~2^

則(????)

%,〃為偶數(shù)’

A.〃,,=『B.=t>2,,-?

C.｛%｝的前〃項積為102JD.圾｝的前2〃項積為102(2"+3)

【答案】ABC

【分析】利用｛%｝的遞推公式列出數(shù)列的前幾項，即可猜想%=10”,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，即可判斷

A、B,再根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則及等比數(shù)列前〃項和公式計算即可判斷C、D；

222x222

【詳解】解：因為4=10,?+l=√,所以az=。：=1。？，ɑ?=α√≈(10)=10=IO,

?=√≈(102x2)2=IO3x2x2=IO2,,可猜想為=10叫當(dāng)肛=1時，4=10*成立，假設(shè)N=&時％=10?',

所以%∣=%2=(IO=10**2=G也成立，所以4=10*故A正確；

4“+1，〃為奇數(shù)

因為2=F、,便柏，所以邑=旬=4,=1°?%,τ=α22±1=4,,=lθ",故邑=%-,故B正確；

為偶數(shù)22

22222+2+22++2

α1?α2?t?all=10"?10'10'?IO"'=100'^^'

其中20+2∣+2?++2"T=牛>=2"T，所以勺%9?=102°?102'?1022?Ur=IO2"τ,故C正確;

blb2b3b4-b5-b6b2n_t?b2n

=(???)?(?A)?(???)(%-也“)

=(WK)2》⑻卜(Kr)2=附+23+*)2=(]0?2=[0”),故D錯誤；

故選：ABC

2.(2022?全國?高二課時練習(xí))以下四個命題，其中滿足“假設(shè)當(dāng)〃=MZeN*M≥%)時命題成立，則當(dāng)

〃=%+1時命題也成立"，但不滿足“當(dāng)”=%(許是題中給定的〃的初始值)時命題成立''的是(????)

A.2">2n+l(π>3)

B.2+4+6+???+2Π=H2+∕I+2(Π≥1)

C.凸〃邊形的內(nèi)角和為"〃)=(〃-1)兀(〃≥3)

D.凸"邊形的對角線條數(shù)g(〃)=4展1(〃≥4)

【答案】BC

【分析】A將初始值〃=3代入判斷是否滿足要求；B、C應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法判斷是否滿足要求；D在

g(&)=筆辿成立的條件下判斷〃=&+1是否成立即可判斷.

【詳解】A：2n>2n+l(n≥3),顯然〃=3時有8>7,故當(dāng)”為給定的初始值時命題成立，故不滿足要求;

B：假設(shè)當(dāng)〃=A時命題成立，即2+4+6+…+2%=/+k+2,當(dāng)“=k+l時有

2+4+6+…+2Z+2(A:+I)=Jt2+左+2+2(々+1)=左2+2%+1+欠+3=(々+1)；!+(々+1)+2,故當(dāng)〃=%+1時命題

也成立，當(dāng)〃=1時，等號左邊為2,右邊為1+1+2=4,2≠4,所以當(dāng)〃=1時命題不成立，故滿足要求；

C：假設(shè)當(dāng)〃=%時命題成立，βp∕(?)=(?-l)π,當(dāng)〃=%+1時有,f(k+l)=∕(k)+τt=E,故當(dāng)"=k+1時

命題也成立，當(dāng)〃=3時內(nèi)角和為兀命題不成立，故滿足要求；

D：假設(shè)當(dāng)〃=%時命題成立，即g(A)=業(yè)二義，當(dāng)〃=%+1時有

/./.?.k(k-2^k2—2(k+1)(?-?)口才田口而-FL

g(R+l)=g(Z)+k-I=-^--+Λ-1=---≠?^------------L,故不滿足要求.

故選：BC.

06/20

二、填空題

3.(2022?全國高二課時練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Fr,若/(X)=/(x),ΛW=∕(ZW).

f,,(X)=/(九(X))，猜想f,l(H的函數(shù)表達(dá)式為.

【答案】￡(x)=/.、SeN*)

?∣?-nx~

【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

【詳解】工(X)=/("=丁「，

√l-x

X

Vll2

假設(shè)〃=k,即力(X)=JjT成立，

X

X

對于〃=Z+1也成立.

√l-(?+l)x2

?

所以一定有：E,(x)=/2(〃eN*)

?∣i-nx

JQ

故答案為：Z,(χ)=/'25∈N*)

√l-nx

4.(2022?黑龍江?哈爾濱市第六中學(xué)校高二期中)若函數(shù)〃“)=n2sin?(//eN"),且4="〃)+〃〃+1),

則4+%+%"l-----a2O22=.

【答案】-4048

【分析】由f(")="si嗒(〃eM),可得f(26與/(21)表達(dá)式，又4=小)+小+1),得到味,.，

k

可得:a2k,l+a2t=(-l)-8k,即可解出原式.

【詳解】f(〃)="sin彳(〃eN*),.?./(1)=1J⑵=OJ⑶=V?J(4)=0,…,

可得/(2?)=可2sinAx=QkWN*,

f(2k-1)=Qk-I)2Sin俳”-=Qk-1)2(-1∕^,.

2

又an=/(n)+f(n+1),Λα2t.1=/(2fc-l)+f(2k)=Qk-I)(-l∕-',

2

?2t=∕(2?)+∕(2?+1)=(2?+1)(-1)?

212t

Λ?t..+a2k=(2k-1)(-1∕-+(2Λ+1)(-1)*=(-l)?8?.

貝IJq+%+%++%P2=8x[-1÷2-3÷4÷..1009÷1010-IOl1]

=^ΦO48

故答案為：-4048

5

?<2022.全國嘀二課時練習(xí))若/⑺+>y+???+*ITMN,〃叫,則

f(k+D-f(k)=.

【答案】

2k+?2k+2

【分析】類比推理到下一項即可.

【詳解]f(外=I-，+，一，+…+-^-----

2342k-12k

,八，、，Ill11I1

f(?÷1)=11---------11----------------1—；-----；----------；-----τ,

23422-12k2(?÷1)-12(fc÷l),

1111

所以浜+1)T(Q=而Fr而T2%+1-2%+2'

1______1

故答案為:

2?+l-2?÷2

6.(2022?遼寧?沈陽二中高二期中)證明不等式l+,+,+L+L+1一＞“(〃eN*)

假設(shè)〃=k時成立,

2342,,-l2

當(dāng)“=k+l時，不等式左邊增加的項算是.

【答案】2?

【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)合不等式左邊的特征判斷增加的項數(shù)即可.

【詳解】當(dāng)，Z=Z時，左邊l+!+!+!+L+工，

2342-1

當(dāng)"=%+1時，?iil+→∣+→L+?-+-+J-

Z?4Z_1Z-JL

而(2*+l-l)-(2*-l)≈2"I-2*=2*,

所以n=Z+l時不等式左邊增加了2*項.

故答案為：2k

7.(2022?湖南?衡陽市一中高二階段練習(xí))已知向量0=(1,1),θ],?+l=?-(???+l)?,,+l(n∈N*),

ΓΓΓΓΓΓ

∏ι∣∣ci?'bτ,Ciz?h4(29,b]?

貝IJ—L+—L+LT+——L=_____?

2232IO2

27

【答案】五

【分析】先通過數(shù)學(xué)歸納法證明出%=(誓,l),"eN”,然后代入式子中，利用裂項相消法進(jìn)行求和計算.

【詳解】/=4-(4也N=(1,1)-蛆,OH*1)

08/20

誓』”N*.

下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明:

言』J=(Ll)滿足題意;

當(dāng)〃=1時，41

假設(shè)當(dāng)〃=Z時，%=≡4

則當(dāng)〃=上+1時,

.ci???3a2?b4Cikbn?1??,??..??1__?1?1]_27

.?γ+.+Lτ+.=Wm詬+汨-熱++病屯一同一醞

、27

故答案沏函.

三、解答題

8.(2022?江蘇?蘇州中學(xué)高二階段練習(xí))一個計算裝置有一個入口A和一輸出運(yùn)算結(jié)果的出口8,將自然

數(shù)列｛”｝("之1)中的各數(shù)依次輸入A口，從8口得到輸出的數(shù)列｛q｝,結(jié)果表明：①從A口輸入〃=1時，

從8口得4=g；②當(dāng)〃22時，從A口輸入",從8口得到的結(jié)果凡是將前一結(jié)果τ先乘以自然數(shù)列｛"中

的第個奇數(shù)，再除以自然數(shù)列｛〃｝中的第”+1個奇數(shù).試問：

(1)從4口輸入2和3時，從B口分別得到什么數(shù)？

(2)從A口輸入100時，從B口得到什么數(shù)？并說明理由.

【答案】(咕?

(2)—!—

39999

【分析】(1)根據(jù)題意，依次求得答案：

(2)找到數(shù)列前幾項的規(guī)律，猜想數(shù)列的通項公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明，即可求得答案.

(1)

當(dāng)，=1時，4=g;

當(dāng)n=2時，?=Λ1×1×∣=--

當(dāng)n=3時，

(2)

111111

,31x3t153×5355x7

故猜想a=~;

n(2n-ι1)v(o2〃+n1)

理由：顯然〃二I時，猜想成立，

假設(shè)〃Y時，猜想成立，即，二，

°(2κ-l):(2κ…+I)、

2?-l1__________1__________

cik

則〃=M+1時'?÷ι-2k+3~(2k+1)(2?+3)-[2(?+1)-1][2(k+1)+1]

???當(dāng)〃=Al時,猜想成立，

(2n-l)(2n+I)

1_1

故從口輸入時，從得的數(shù)為

AIOOBrI2ΘΦ?39999~

,、a(n-?](2n+?)

9.(2022?全國?高二課時練習(xí))已知數(shù)列｛“∕中，~=~y~~焉~~其中〃≥2,且〃∈N*?從條件

4τ(∕2+1)(2H-1)

①43與條件②4%=-：5，且4>°中選擇一個，結(jié)合上面的已知條件，完成下面的問題.

(1)求生，?3，，，并猜想｛%｝的通項公式4；

⑵證明(1)中的猜想.

79一㈠廣'(2〃+1)

【答案】(1)。)二一工，/

o12420∕z(n÷l)

(2)證明見解析.

【分析1(1)分別取①②代入計算出4，%4,并根據(jù)計算的結(jié)果猜想數(shù)列的通項公式;

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

(1)

選條件①,

(2-l)×(2×2+l)579

同理可得生=遺十一而

由題意可得生=葉；2+篙2x27；

10/20

(-I)”/"+。

猜想=(n∈N*)?

選條件②,

o2=(2-l)×(2×2+l)—5

山題意可得-――,V?|>0,aa

^^(2+l)×(2×2-l)l2426

(3-l)×(2×3÷l)79

正，同理可得4=-與，

(3+l)×(2×3-l)

(-U(2"+1)

猜想為(〃∈N').

H(H+1)

(2)

顯然當(dāng)〃=1時，猜想成立，

假設(shè)當(dāng)〃時'猜想成立,即…t?需1αeN.),

ik(2k+3)k(2k+3)1(2&+3)(-?)*'(2?+l)

當(dāng)〃=女+1時，由%a

可得M--%伏+

ak(A+2)(2A+1)(A+2)(2A+1)(?+2)(2?+l)1)

G-I)*?h(2Z+l)?(2k+3)(7)*(2k+3)(-1嚴(yán)Z[2(l+1)+1]

(jt+2)?Jt?(?+l)?(2?+l)—(?+l)(?+2)-(Jt+l)[(fc+l)+l]

即當(dāng)”=左+1時，猜想成立，

(Tn2〃+i)

綜上所述,(〃eN*).

10.(2022?全國?高二課時練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明：Ix2+2x5+…+”(3〃-I)=W(weN,w≥l).

【答案】證明見解析

【分析】先驗證〃=1時，等式成立，再假設(shè)“=Z時，Iχ2+2χ5+…+%(3"1)=公(％+1),由此需推出

〃=&+1時，等式也成立，由此可得結(jié)論成立.

【詳解】證明：①當(dāng)”=1時，Iχ2+2χ5+…+"(3"—l)=lχ2,√(n+l)=l×2,等式成立；

②假設(shè)”=上時，Iχ2+2χ5+…+Z(3Z—1)=F(A:+1),

則”=k+1時，Iχ2+2χ5+…+%(3Z-1)+(Z+1)(3%+2)=∕(%+I)+(Z+1)(3Z+2)

=(k+1)(?2+3k+2)=(k+1)2[(?+1)+1],

即〃=左+1時,等式成立,

綜合①②可知，1×2+2×5H〃-1)="("+1)(w∈N,n≥l).

11.(2022.全國?高二課時練習(xí))觀察下列等式:

l-i=l

22

IllIl

1—+------=—卜一

23434

11111111

1----4----------1--------=-H-----1—

23456456

據(jù)此規(guī)律，請你猜想出第〃個等式并證明你的結(jié)論.

111_11

【答案】…十五二T一五二Q十二+五，證明見解析.

n

【分析】根據(jù)規(guī)律寫出第"個等式，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

111_11

【詳解】由己知：第"個等式為…+五口■一五=Q+…+五,

n

當(dāng)〃=1時，顯然成立；

22

111111

右〃=%，22k-?2k?+l2k成"，

那么Zt=I+1時,

1111

=----------F...H---------F

22?-l2k2k+?2(?+l)k+?2k2k+?2(攵+1)

IlllIllll1

=----------1------------j-------------1--------------1----------------------------=-----------H---------1--------------1----------------

k+?k+2"'2k2?+l2(k+l)k+lk+2^"2k2k+?2(k+l),

1_J_____1_11

所以“wN"都有…+五二T_五一TTl+…+萬成立?

12.(2022?江蘇?高二課時練習(xí))將正整數(shù)作如下分組：(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),

(16,17,18,19,20,21),…分別計算各組包含的正整數(shù)的和如下，試猜測*+S3+S5++$2,1的結(jié)果，并用

數(shù)學(xué)歸納法證明.

s∣=l,

S2=2+3=5,

12/20

53=4+5+6=15,

S4=7+8+9+10=34,

S5=ll+12+13+14+15=65,

S6=16+17+18+19+20+21=111,

4

【答案】S1+S3+S5++S2π-,=ni證明見解析；

【分析】由題意，寫出”=1至〃=4的情況，可推斷得S∣+S3+S5++S2π-,=√,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，

〃=1與”=左+1時對應(yīng)的情況.

4

【詳解】由題意，S7=22+23+24+25+26+27+28=175,當(dāng)〃=1時，S1=I=I,當(dāng)〃=2時，

444

SI+S3=16=2,當(dāng)〃=3時，S,+S,+S5=81=3,當(dāng)”=4時，S,+S3+S5+S7=256=4,故猜想：

44

S,+S3+S5++S2l^=n,下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)”=1時，S1=I=I,等式成立；②假設(shè)當(dāng)

般=)(A∈N*)時等號成立,即S∣+S3+S5++S”T=&4,那么，當(dāng)〃=左+1時,

S∣+S3+S5++S2k^+S2k+i=/+[(2公+Z+l)+(2&?+%+2)+…+Q*+jt+2k+l)]=∕+(2"l)(2F+2笈+l)

=/+4/+6/+4左+1=(A:+1)4,所以當(dāng)〃=%+1時，等式也成立，根據(jù)①②可知，對于任意的”eN*,

S1+S3+S5++52“_=〃4都成立.

【點(diǎn)睛】1.數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.證明時步

驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù).

2.在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第(1)步驗算〃=%的〃。不一定為1,而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值.第

(2)步，證明〃=%+1時命題也成立的過程，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.

13.(2022?江蘇?高二課時練習(xí))先猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想：/+5”(neN")能被哪些自然數(shù)

整除？

【答案】"+5〃(〃eN*)能被自然數(shù)6,1,2,3整除;證明見解析

【分析】先分別用〃取∣,2,3,4時驗證，則可猜想：/+5”可以被6整除，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

【詳解】

”=1時，原式=6,〃=2時，原式=18,〃=3時，原式=42,n=4時，原式=84,這些數(shù)都可以被6整

除，所以猜想：/+5〃可以被6整除，那么也可被1,2,3整除;

證明：(1)當(dāng)〃=1時，F(xiàn)+5χl=6,命題顯然成立;

(2)假設(shè)當(dāng)“=MkeN')時，爐+5々能被6整除.

當(dāng)"=k+l(A∈N*)時，(a+l)3+5(k+l)=r+3/+3&+l+5jt+5=(&3+5k)+3k(Jl+l)+6,

其中兩個連續(xù)自然數(shù)之積是偶數(shù)，它的3倍能被6整除，

由假設(shè)知犬+5%能被6整除，

故北+5人,3?ɑ+l),6分別能被6整除，

所以當(dāng)〃=%+1時，命題也成立.

據(jù)(1)(2),可知〃3+5〃可以被6整除.

故〃3+5〃(〃eN")能被自然數(shù)6,,1,2,3整除.

14.(2022?浙江溫州?高二期末)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S),,等比數(shù)列他,｝的前〃項和為7.，且

4=4=2,by=ci-l,=S4.

⑴求?！?，bn.

II1222

(2)已知勺=7+不+…+丁，Q11=—+------+-■■+---------,試比較心，?！钡拇笮?

b`b1bnata2a2a3anan+i

n

【答案】(IM="+1,bn=2i

(2)Pπ>Qn.

【分析】⑴設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差，等比數(shù)列他,,｝的公比，由已知列式計算得解.

(2)由(1)的結(jié)論，用等比數(shù)列前〃項和公式求出心，用裂項相消法求出Q,,,再比較大小作答.

(1)

設(shè)等差數(shù)列也,｝的公差為"，等比數(shù)列他｝的公比為4,依題意，Cjj；"=8+6”

q2=l+3d

整理得:解得d=l,q=2,

Q+Q2=3+3d

所以4=〃+1,bn=T.

⑵

14/20

1111.；。一91

由⑴知，二行,數(shù)列｛7｝是首項為M公比為T的等比數(shù)列，則e,=?=—F-=I-莉

Dn乙Dn|_￡2

2

2

-----------------=2(----------------)

a(n+l)(n+2)〃+1〃+2

A+ι

1

2則匕一Q“=萬丁

21

Q=嗎T)+gq)+(H)+÷<?-?)>?-?>"十2---r1

2

n

用數(shù)學(xué)歸納法證明2">W+1,neN?,

2

?3

①當(dāng)”=1時，左邊=2,右邊=],左邊>右邊，即原不等式成立，

②假設(shè)當(dāng)〃=RMwN*時，不等式成立，即>>?∣+1,

則2人">2^∣-+1^=+1+???>-^??+1,即〃=%+1時，原不等式成立,

n

綜合①②知，T"∈N*,2">；+1成立，

因此，Pn~Q"=V~~T>Q，即2>2,，

一+1

2

所以力>Q?

1111

15.（2022?全國?高二專題練習(xí)）若數(shù)列?j?^?,~2×2,3^4,,*,〃（〃+1），…的前，7項和為S〃，計算S∣,

S?,S3,由此推測計算5“的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

【答案】牛；，,=|,邑4，SL胃i,證明見解析.

【分析】逐個計算鳥，與，$3即可；根據(jù)岳，邑,易猜想5,,=二，再按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟，證明結(jié)論.

邑=$弓

【詳解】解:S=-,s,=s+-=-+-=~2+￡=|+2

t'2-1i2×3263

由S1=；，s2=∣,S3=5，猜想s,,=∕?,下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明:

檢驗初始值〃=1時等式成立，假設(shè)〃=上時命題成立，證明當(dāng)〃=%+1時，命題也成立.

①M(fèi)=I時，s,??-^?,成立；

②假設(shè)"=笈時，有Slt=J7成立，則當(dāng)〃=4+1時,

κ+I

Sg?=Sk+--------J--------=—+--------]---------

*'"(?+l)U+2)?+l(Z+1)伏+2)

F+2Z+1_(4+1)2

(?+l)(?+2)(左+1)伏+2)

?+l

α+i)+ι

.?."=%+l時，猜想也成立，

故由①，②可知，猜想對〃∈N?都成立.

16.(2022.北京豐臺.高二期末)已知數(shù)列｛4｝是無窮數(shù)歹Il.若。用—4,則稱｛"｝為數(shù)列以｝的1階差

數(shù)列；若孰=〃川-2，則稱數(shù)列｛g｝為數(shù)列｛4｝的2階差數(shù)列；以此類推，可得出數(shù)列｛〃,,｝的P階差數(shù)歹I],

其中peN*.

⑴若數(shù)列｛qj的通項公式為α,,=n2,求數(shù)列｛4｝的2階差數(shù)列的通項公式；

(2)若數(shù)列｛〃“｝的首項為1,其一階差數(shù)列｛〃,｝的通項公式為a=2〃，求數(shù)列｛”“｝的通項公式；

(3)若數(shù)列｛〃”｝的通項公式為%="'"(meN*),寫出數(shù)列｛《｝的機(jī)階差數(shù)列的通項公式，并說明理由.

【答案】(I)C(I=2

(2)=n^-n+?

(3)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)差數(shù)列的定義直接求解可得；

(2)使用累加法可得；

(3)先計算〃?=1,加=2時的機(jī)階差數(shù)列，然后使用數(shù)學(xué)歸納法可證.

(1)

因為為="2,所以"=4+]-q,=("+l)2-1=2”+1,?????

c

n=?+ι-?=2(∕!+l)+l-(2n+l)=2;

⑵

因為4=%+∣-q,,且4=2”,所以α,,+∣-%=2”,

所以。2-4=2,03-02=4,04-α3=6,…，an-an,l=2(n-l),

把上面n-l個等式左右兩邊分別依次相加，得到4-4=2+4+6+???+2("-l),

于是4,_4

又因為4=1,所以a,,=/-”+1.

16/20

⑶

數(shù)列｛α,J的〃?階差數(shù)列的通項公式為△%“=〃?!.

理由如下：當(dāng)W=I時，an=n,

其1階差數(shù)列的通過項公式“="+l-"=l,W>l)階差數(shù)列各項均為0.

2

當(dāng)m=2時，an=n,

其1階差數(shù)列的通過項公式2=5+1)?-1=2〃+1,

2階差數(shù)列的通項公式為%=2,f(f>2)階差數(shù)列各項均為0.

假設(shè)機(jī)≤%時，與="(MN,0<i≤&)的i階差數(shù)列為常數(shù)&!,W>i)階差數(shù)列各項均為0.

當(dāng)初=%+1時，a,=nM的1階差數(shù)列為

%=(〃+l∕÷l-ΠM=CL/+C^nkl++C3〃+?

因為%=*的左+1階差數(shù)列就是b,,=C[/+C黑++Ma+1的k階差數(shù)列，

由假設(shè)知4的左階差數(shù)列各項均為常數(shù)《*/!=(&+1)!.

因為/Lα,,+M2的1階差數(shù)列為

(?1+μhn)-(!??,,+Hb吁、)=λ(an-απ-1)+MbK-ba,l),

所以為+么的1階差數(shù)列為〃”的1階差數(shù)列與仇,的1階差數(shù)列的和，

進(jìn)而有4+bn的k階差數(shù)列為%的k階差數(shù)列與幺的Z階差數(shù)列的和.

所以，數(shù)列｛《｝的機(jī)階差數(shù)列的通項公式為"&=，〃!.

17.(2022?全國?高二專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=加?+6x+c.

(1)當(dāng)α=l,?=2[?,若存在4，Λ2∈[-2,0](Λ,≠Λ2),使得Iya)I=2(i=l,2),求實數(shù)C的取值范圍；

(2)若二次函數(shù)y="x)對一切XeR恒有d-2x+4期?(x)2丁_以+5成立，且/⑸=27,求”11))

的值；

(3)是否存在一個二次函數(shù)/(x),使得對任意正整數(shù)晨當(dāng)X=F■時，都有/(X)=端冒成立，請給

出結(jié)論，并加以證明.

【答案】⑴ce[-2,-l)u[2,3);(2)"11)=153；(3)存在，/(x)=∣√+2x5證明見解析.

【解析】(1)當(dāng)α=l,匕=2時，/(x)=(x+l)2+c-l,由題意可得關(guān)于C的不等式，解得即可，

(2)利用二次函數(shù)求出兩個函數(shù)值相等時，X的值，利用函數(shù)的對稱性設(shè)出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)然后

求解函數(shù)值；

(3)先假設(shè)存在這樣的二次函數(shù)，設(shè)出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)所給的三對數(shù)值，寫出關(guān)于。，h,C的

方程組，利用待定系數(shù)法得到結(jié)果，后面進(jìn)行證明.

【詳解】解：(1)當(dāng)α=l,6=2時，/(x)=(x+l)2+c-l

由題意可知，/(x)=2在［-2,0］上有兩個不等實根，或/(x)=-2在［-2,0］上有兩個不等實根,

/(-1)<2f∕(-l)<

/(O)..2或L(O)2

解得2,c<3或-2,c<T

即實數(shù)C的取值范圍是-2,c<T或25,C<3.

(2)二次函數(shù)y=∕(x)對一切XeR恒有χZ-2x+4頒(X)2產(chǎn)_?+5成立,

可得X2-2x+4=2x°-4x+5,解得X=1,f(1)=3>

函數(shù)的對稱軸為x=l,

設(shè)函數(shù)f(x)=a(x2-2x)+h,

由/(1)=3,f(5)=27,

可得一α+匕=3,15α+?=27,

解得“=；3,b=J9,

22

39

/W=I(X2-2幻+—,

3