【2023年中考攻略】專題8：幾何最值問題解法探討

在平面幾何的動態(tài)問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周

長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。

解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1）應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的三邊關系）

求最值；（2）應用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應用軸對稱的性質(zhì)求最值；（4）應用二次函數(shù)求最值;

（5）應用其它知識求最值。下面通過近年全國各地中考的實例探討其解法。一、應用兩點間線段最短的

公理（含應用三角形的三邊關系）求最值：典型例題：例L（2023山東濟南3分）如圖，ZM0N=90o,

矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM,ON±,當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的

形狀保持不變，其中AB=2,BC=I,運動過程中，點D到點0的最大距離為【】

rτ/T455

A.√2+lB.√5C.-——5D.-

52

【答案】A。

【考點】矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形三邊關系，勾股定理。

【分析】如圖，取AB的中點E,連接0E、DE、0D,

Λ

VOD≤OE+DE,

當0、D、E三點共線時，點D到點0的距離最大，A

此時，VΛB=2,BC=I,AOE=AE=-S-AB=Io

DE==VAD2+AE2=Λ∕∣2+12=\/2,

.?.0D的最大值為：√2+k應選A。

例2.（2023湖北鄂州3分）在銳角三角形ABC中，BC=4√2,NABC=45°,BD平分NABC,M、小分別是

BD、BC上的動點，那么CM+MN的最小值是▲。

【答案】4。

【考點】最短路線問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關系，垂直線段的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定

義，特殊角的三角函數(shù)值。

A

【分析】如圖，在BA上截取BE=BN,連接EM。

YNABC的平分線交AC于點D,.?.∕EBM=NNBM0/?n

在aAME與aAMN中，?/BE=BN,ZEBM=ZNBM,BM=BM,

B

Λ?BME^ΔBMN(SAS)。ΛME=MN,.?CM+MN=CM+ME≥CE,,

又?.?CM+MN有最小值，.?.當CE是點C到直線AB的距離時，CE取最小值。

VBC=4√2,∕ABC=45°,,CE的最小值為4夜sin45°=4°

ΛCM+MN的最小值是4。

例3.（2023四川涼山5分）如圖，圓柱底面半徑為2c〃?，高為9乃加，點A、B分別是圓柱兩底面圓周

上的點，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B,求棉線最短為▲CnI。

【答案】15%。

【考點】圓柱的展開，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)。-------I（B）

【分析】如圖，圓柱展開后可見，棉線最短是三條斜線，第一條斜線與底面

圓周長、！高組成直角三角形。由周長公式，底面圓周長為4%0n,L高為L

??

3兀cm,根據(jù)勾股定理，得斜線長為5）。加，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，棉線A*1--------------AJ（A）

最短為I5τVCm。

例4.（2023四川眉山3分）在aABC中，AB=5,AC=3,AD是BC邊上的中線，那么AD的取值范圍是

【答案】1<AD<4,

【考點】全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關系。

【分析】延長AD至E,使DE=AD,連接CE.根據(jù)SAS證明AABD絲4ECD,得CE=AB,/

再根據(jù)三角形的三邊關系即可求解：/ID

延長AD至E,使DE=AD,連接CE。

VBD=CD,ZADB=ZEDC,AD=DE,ΛΔABD^ΔECD(SAS)O

.,.CE=ABo

在aACE中，CE-AC<AE<CE+AC,即2V2ADV8。

Λl<AD<4o

練習題：

1.（2023湖北荊門3分）如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm,高為5cm.假設一只螞蟻從P

點開

始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q點，那么螞蟻爬行的最短路徑長為【】

A.13cmB.12cmC.IOcmD.8cm

2.（2023四川廣安3分）如圖，圓柱的底面周長為6cm,AC是底面圓的直徑，高BC=6cm,點P是母線BC

2

上一點，且PC=-BC.一只螞蚊從A點出發(fā)沿著圓柱體的外表爬行到點P的最短距離是【】

3

A、（4H—）cmB、5cmC、3?[5cmD、7cm

π

3.（2023廣西貴港2分）如下圖，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC,BC的中點,

點P為線段EF上一個動點，連接BP、GP,那么ABPG的周長的最小值是▲.

二、應用垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題：例L（2023山東萊蕪4分）在AABC中，ΛB=ΛC=5,

BC=6.假設點P在邊AC上移動，那么BP的最小值是▲.

24

【答案】A

【考點】動點問題，垂直線段的性質(zhì)，勾股定理。/?p

【分析】如圖，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當BP'IAC時，BP取得最小值?/?p

設AP'=x,那么由AB=AC=5得CP'=5-χ,---**\

BC

又：BC=6,在RtZ?ABP'?Rt?CBP,中應用勾股定理，得

BP,2=AB2-AP,2,BP,2=BC2-CP,2。

ΛAB2-APz2=BC2-CPf2,即52—x2=62-（6-xJ,解得χ=（。

.?.BP=，；？—（：）=^^=y,即BP的最小值是高。

例2.（2023浙江臺州4分）如圖，菱形ABCD中，AB=2,NA=120°,點P,Q,K分別為線段BC,CD,BD

上的任意一點，那么PK+QK的最小值為【】

A.1B.√3C.2D.√3+1

【答案】B?

【考點】菱形的性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關系，垂直線段的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角

三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。

【分析】分兩步分析：AL

（1）假設點P,Q固定，此時點K的位置：如圖，作點P關于BD

的對稱點R,連接RQ，交BD于點K。

由線段中垂線上的點到線段兩端距離相等的性質(zhì)，得PC

PlKl=PK1,P∣K=PK°

由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，得RK+QK>P∣Q=PlK,+QKl=PK,+QKlo

，此時的K就是使PK+QK最小的位置。

（2）點P,Q變動，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點P關于BD的對稱點R在AB上，即不管點P在BC上任一

點，點P總在AB上。

因此，根據(jù)直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)，得，當RQLAB時Pa最短。

過點A作AQ」DC于點QKVZA=120O,ΛZDAQ,=30o。，C

D

又,.?ΛD=ΛB=2,；.PQ=AQ=AD?cos300=2?-=√3?

113/

綜上所述，PK+QK的最小值為6。應選B。//?

HPC

例3.(2023江蘇連云港12分)梯形ABCD,AD〃BC,AB±BC,AD=I,AB=2,

BC=3,

問題1：如圖1,P為AB邊上的一點，以PD,PC為邊作平行四邊形PCQI),請問對角線PQ,DC的長能否相

等，為什么？

問題2：如圖2,假設P為AB邊上一點，以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD,請問對角線PQ的長是否存在

最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由.

問題3：假設P為AB邊上任意一點，延長PD到E,使DE=PD,再以PE,PC為邊作平行四邊形PCQE,請

探究對角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由.

問題4：如圖3,假設P為DC邊上任意一點，延長PA到E,使AE=nPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作平行

四邊形PBQE,請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明

理由.

【答案】解：問題1：對角線PQ與DC不可能相等。理由如下：

?.?四邊形PCQD是平行四邊形，假設對角線PQ、DC相等，那么四邊形PCQD是矩形，

ΛZDPC=90°?

VAD=1,AB=2,BC=3,ΛDC=2√2?

設PB=x,那么AP=2—X,

在RtZ?DPC中，PD2+PC2=DC2,即Y+3ii+(2-χ)?+仔=8,化簡得χ2-2x+3=0,

?.?△=(-2)2-4*1乂3=-8<0,二方程無解。

.?.不存在PB=x,使NDPC=90°。.?.對角線PQ與DC不可能相等。

問題2：存在。理由如下：

如圖2,在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G,

那么G是DC的中點。4

過點Q作QHJ_BC,交BC的延長線于H。尸

BC~^H

圖2

VAD/7BC,ΛZADC=ZDCH,即NADP+/PDG=NDCQ+NQOL

VPD/7CQ,ΛZPDC=ZDCQo'NADP=NQCIL

又?.?PD=CQ,ΛRtΔADP^RtΔHCQ(AAS)oΛAD=HCo

VAD=1,BC=3,ΛBH=4,

???當PQLAB時，PQ的長最小,即為4。

問題3：存在。理由如下:

如圖3,設PQ與DC相交于點G,

1

.DG_PD_1—

VPE√CQ,PD=DE,J

*GC^CQ-2Λ

???G是DC上一定點。圖3

作QHj_BC,交BC的延長線于H,

ADpn1

同理可證NADP=NQCH,ΛRtΔADP<^RtΔHCQ，一=—=一。

oCHCQ2

VAD=1,.?.CH=2<,ΛBH=BG+CH=3+2=5o

；.當PQJ_AB時,PQ的長最小,即為5。

問題4：如圖3,設PQ與AB相交于點G,

-PA_AG1

VPE∕/BQ,AE=nPA,*BQ^BG-n+1

0

???G是DC上一定點。

作QiI〃PE,交CB的延長線于IL過點C作CKLCD,交QH的

延長線于Ko

VAD√BC,ABlBC,

JND=ZQIIC,ZDΛP+ZPAG=ZQBII+NQBG=90°

ZPΛG=ZQBG,

ADPAI

ΛZQBH=ZPADΛΔADP^ΔBHQ,/.一=一=一,

αBHBQn÷l

VAD=1,ΛBH=n+loΛCH=BH+BC=3+n+1=n+4o

過點D作DM,BC于M,那么四邊形ABND是矩形。

ΛBM=AD=I,DM=AB=2oJCM=BC-BM=3-1=2=DM°

ΛZDCM=45ooΛZKCH=45o°

五

ΛCK=CH?cos45°=----(n+4),

2

.?.當PQj_CD時,PQ的長最小，最小值為J(n+4)0

2

【考點】反證法，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)。.

【分析】問題L：四邊形PCQD是平行四邊形，假設對角線PQ、DC相等，那么四邊形PCQD是矩形，然后利

用矩形的性質(zhì)，設PB=x,可得方程/+夕+(2—X)?+1=8,由判別式△<(),可知此方程無實數(shù)根，即對

角線PQ,DC的長不可能相等。

問題2：在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G,可得G是DC的中點,過點Q作QH±BC,

交BC的延長線于H,易證得RtZ?ADPgRtz?HCQ,即可求得BH=4,那么可得當PQLAB時，PQ的長最小，

即為4。

問題3：設PQ與DC相交于點G,PE√CQ,PD=DE,可得變=型=,，易證得Rt^ADPsRtaHCQ,

GCCQ2

繼而求得Bll的長，即可求得答案。

ADp?1

問題4：作QH√PE,交CB的延長線于H,過點C作CKXCD,交QH的延長線于K,易證得——=——=―

BHBQn+l

與4ADPS∕?BHQ,又由∕DCB=45°,可得ACKH是等腰直角三角形，繼而可求得CK的值，即可求得答案。

例4.(2023四川廣元3分)如圖，點A的坐標為0),點B在直線y=x上運動，當線段AB最短

時，點B的坐標為【】

…近√21nf√2√21

A.(0,0)B.C.(—,-----)D.(-----,-----)

222222

【答案】B.

【考點】一次函數(shù)的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì).

【分析】如圖，過點A作ABUOB,垂足為點BI過B，作BCj_x軸，垂足為C.

由垂線段最短可知，當B與點B重合時AB最短.

???點B在直線y=x上運動，.?.△AOB，是等腰直角三角形.

.?.?B;CO為等腰直角三角形.

：點A的坐標為(-1,0),OC=CBjLOA=Lxl=L.

222

??.B坐標為--).

22

???當線段AB最短時，點B的坐標為(-L,--).故選B.

22

例5.(2023四川樂山3分)如圖，在aABC中，ZC=90o,AC=BC=4,D是AB的中點，點E、F分別在AC、

BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF,連接DE、DF、EF.在此運動變化的過程中，有以下

結(jié)論:

①ADFE是等腰直角三角形;

②四邊形CEDF不可能為正方形;

③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化;

④點C到線段EF的最大距離為√]?

其中正確結(jié)論的個數(shù)是【

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】Bo

【考點】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理。

【分析】①連接CD（如圖1）。

o

「△ABC是等腰直角三角形，ΛZDCB=ZA=45,CD=AD=DBo

VAE=CF,Λ?ADE^ΔCDF(SAS)0

ΛED=DF,ZCDF=ZEDAO

VZADE+ZEDC=90o,/EDC+/CDF=NEDF=90°。

.?.?DFE是等腰直角三角形。

故此結(jié)論正確。

②當E、F分別為AC、BC中點時，?；由三角形中位線定理，DE平行且等于士BC。

2

四邊形CEDF是平行四邊形。

又TE'F分別為AC、BC中點，AC=BC,二四邊形CEDF是菱形。

又?.?∕C=90°,四邊形CEDF是正方形。

故此結(jié)論錯誤。

③如圖2,分別過點1）,作DMLAC,DN±BC,于點M,N,

由②，知四邊形CMDN是正方形，.?.DM=DN°

由①，知ADFE是等腰直角三角形，.?.DE=DF.

.?.RtZkADE絲RtNkCDF(IlL)。

由割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。

.四邊形CEDF的面積不隨點E位置的改變而發(fā)生變化。

故此結(jié)論錯誤。

④由①，^DEF是等腰直角三角形，.?.DE=J∑EF.

當DF與BC垂直，即I）F最小時，EF取最小值2加。此時點C到線段EF的最大距離為尤。

故此結(jié)論正確。

故正確的有2個：①④。應選B。

例6.（2023四川成都4分）如圖，長方形紙片ABCD中，AB=8cm,AD=6cm,按以下步驟進行裁剪和拼圖：

第一步：如圖①，在線段AD上任意取一點E,沿EB,EC剪下一個三角形紙片EBC（余下局部不再使用）；

第二步：如圖②，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩局部，并在線段GH上任意取一點M,線段

BC上任意取一點N,沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩局部；

第三步：如圖③，將MN左側(cè)紙片繞G點按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°,使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)

紙片繞H點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180。，使線段He與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊

形紙片.

（注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊）

那么拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為▲Cm,最大值為▲cm.

【答案】20；12+49。

【考點】圖形的剪拼，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理。

【分析】畫出第三步剪拼之后的四邊形M此Nz岫的示意圖，如答圖1所示。

圖中,N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC,

MIM2=M,G+GM+MH+M2H=2(GM+MH)=2GH=BC(三角形中位線定理)。

又Y此詼〃MN2,二四邊形MNNM是一個平行四邊形，

其周長為2N,N2+2M,N.=2BC+2MN≈

；BC=6為定值，；.四邊形的周長取決于MN的大小。答?4

如答圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖。

過G、H點作BC邊的平行線，分別交AB、CD于P點、Q點，那么四邊形PBCQP

是一個矩形，這個矩形是矩形ABCD的一半。

?.?M是線段PQ上的任意一點，N是線段BC上的任意一點，

B

根據(jù)垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離，即MN最答圖2

小值為4；

而MN的最大值等于矩形對角線的長度，即'PB?+BC2=&+6?=2后。

,

.?四邊形MiN1N2M2的周長=2BC+2MN=12+2MN,

.?.四邊形MNN2M2周長的最小值為12+2X4=20；最大值為12+2×2√13≈12+4√13o

例7.（2023四川樂山3分）如圖，在AABC中，ZC=90o,AC=BC=4,D是AB的中點，點E、F分別在AC、

BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF,連接DE、DF、EF.在此運動變化的過程中，有以下

結(jié)論：

①^DFE是等腰直角三角形；

②四邊形CEDF不可能為正方形；

③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；

④點C到線段EF的最大距離為√]?

其中正確結(jié)論的個數(shù)是【】

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】Bo

【考點】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理。

【分析】①連接CD(如圖1)。

「△ABC是等腰直角三角形，ΛZDCB=ZΛ=45o,CD=AD=DBo

VAE=CF,ΛΔADE^ΔCDF(SAS)?

ΛED=DF,ZCDF=ZEDAo

,.,ZADE+ZEDC=90o，：.ZEDC+ZCDF=ZEDF=90o。

.,.ΔDFE是等腰宜角三角形.

故此結(jié)論正確。

②當E、F分別為AC、BC中點時，：由三角形中位線定理，DE平行且等于工BC。

2

四邊形CEDF是平行四邊形。

又?.?E?F分別為AC、BC中點,AC=BC,.?.四邊形CEDF是菱形。

又?.?∕C=90°,.?.四邊形CEDF是正方形。

故此結(jié)論錯誤。

③如圖2,分別過點D,作DkUAaDNlBC,于點M,N,

由②，知四邊形CMDN是正方形，.?.DM=DN.

由①，知4DFE是等腰直角三角形，.?.DE=DF.

ΛRtΔAI）E^Rt?CDE（HL）o

.?.由割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面枳。

/.四邊形CEDF的面積不隨點E位置的改變而發(fā)生變化。

故此結(jié)論錯誤。

④由①，ZXDEF是等腰直角三角形，,DE=√∑EF.

當DF與BC垂直，即DF最小時，EF取最小值2夜。此時點C到線段EF的最大距離為立。

故此結(jié)論正確。

故正確的有2個：①④。應選B。

例8.（2023浙江寧波3分）如圖，ZXABC中，ZBAC=60o,NABC=45°,AB=2√2,D是線段BC上的一

個動點，以AD為直徑畫。0分別交AB,AC于E,F,連接EF,那么線段EF長度的最小值為上—.

【答案】√3,

【考點】垂線段的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)

值。

【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當AD為aABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段

EF=2EH=20E?sinZE0H=20E?sin60°,當半徑OE最短時，EF最短。如圖，連接0E,0F,過0點作OHj_EF,

垂足為Ho

,.,?RtΔADBΦ,NABC=45°,AB=2√2,∕7K^'''X

.?.AD=BD=2,即此時圓的直徑為2。0?\

由圓周角定理可知NEOH=g∕E0F=NBAC=60°,√z

Λ?RtΔEOHψ,EH=OE?sinZEOH=l×—=—?BDC

22

由垂徑定理可知EF=2EH=6。

例9.（2023四川自貢12分）如下圖，在菱形ABCD中，AB=4,ZBΛD=120°,4AEF為正三角形，點E、F

分別在菱形的邊BCCD上滑動，且E、F不與B.C.D重合.

（1）證明不管E、F在BC.CD上如何滑動，總有BE=CF;

（2）當點E、F在BC.CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和ACEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求

出這個定值；如果變化，求出最大（或最?。┲?

【答案】解：（1）證明：如圖，連接AC

：四邊形ABCD為菱形，∕BAD=120°,

E

C

ZBAE+ZEAC=60o，ZFAC+ZEAC=60o，

.?.ZBΛE=ZFΛC1,

VZBAD=120o,ΛZABF=60o。

ΛΔABC和AACD為等邊三角形。

ΛZACF=60o,AC=ABoΛZABE=ZAFC(.

在AABE和AACF中，VZBΛE=ZFΛC,ΛB=ΛC,ZΛBE=ZAFC,

ΛΔABE^ΔACF(ASA)oΛBE=CF0

(2)四邊形AECF的面積不變，ACEF的面積發(fā)生變化。理由如下:

由(1)得AABEZ^ACF,那么SM=S、皿

?"?SraaSΛtΓrzS?ΛEC+S?ΛCΓzS?ΛEC+S?ABlFS?ΛBC>是定值。

作AH_LBC于H點，那么BH=2,

LBCAH=JBe??∕AB2-BH2=46。

S四邊形AECF=SAABC=

22

由“垂線段最短"可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短.

故aAEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小,

又S?CEF=S四邊形AECF一SΔΛE1-,那么此時ACEF的面積就會最大.

SΔΛ∏≈4√3-∣?2√3?^(2√3)2-(√3)2

?*?S?CEI^=Sμq.ii.?ΛEC∣?1=G。

ΛΔCEF的面積的最大值是6。

【考點】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)。

【分析】(1)先求證AB=AC,進而求證aABC?ZXACD為等邊三角形，得NACF=60°,AC=AB,從而求證

ΔABE^ΔACF,即可求得BE=CF。

(2)由AABE咨ZXACF可得SAAK=SAACF,故根據(jù)SISi1眼"：CF=SAΛBC+SAMT=SAAMSAABE=S△謝即可得四邊形

AECF的面積是定值。當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短.AAEF的面積會隨著AE的變化而

變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，根據(jù)S△由=S叫皿回，一S△.，那么aCEF的面積就會最

大。

例10.(2023浙江義烏10分)在銳角aABC中，ΛB=4,BC=5,ZΛCB=45o,將aABC繞點B按逆時針方向

旋轉(zhuǎn)，得到^A∣BC∣.

(1)如圖1,當點G在線段CA的延長線上時，求/CCA的度數(shù)；

(2)如圖2,連接AA”CC1.假設4ABA∣的面積為4,求ACBG的面積;

(3)如圖3,點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在AABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中,

點P的對應點是點P∣,求線段EPl長度的最大值與最小值.

o

【答案】解：(1)■由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:ZA,ClB=ZACB=45,BC=BC,,

ΛZCC∣B=ZC,CB=45°。

ΛZCC∣Λ,=ZCCιB+ZΛ,C.B=45o+45°=90°。

[2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:ΔABC^?A>BC,,

ΛBA=BAl,BC=BC1,ZABC=ZAlBC∣?

BABA

—=—?-,ZABC+ZABCl=ZA1BCl+ZABC1,,ΛZABA1=ZCBC,o

BCBC1

?'SΔΛMIZZ4,SACBCI=--。

4

(3)過點B作BDJ_AC,D為垂足，

???△ABC為銳角三角形，.?.點D在線段AC上。

在RtZXBCD中，BD=BC×sin45o=-√2<>

2

①如圖1,當P在AC匕?動至垂足點D,AABC繞點B旋

轉(zhuǎn)，使點P的對應點R在線段AB上時，EP：最小。

最小值為：EP1=BP,-BE=BD-BE=-√2-2?

2

②如圖2,當P在AC上運動至點C,AABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使

卻

點P的對應點R在線段AB的延長線上時，EPl最大。

最大值為：EP,=BC+BE=5+2=7o

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角

形的判定和性質(zhì)。

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：NACB=NACB=45°,BC=BC1,又由等腰三角形

的性質(zhì)，即可求得NCCA的度數(shù)。

C(P1)

圖2

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ΔABC^ΔA,BC.,易證得4ABA∣sACBα,利用相

似三,角形的面積比等于相似比的平方，即可求得acBc,的面積。

(3)由①當P在AC上運動至垂足點D,ΔABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P∣在線段AB上時，EP1

最?。孩诋擯在AC上運動至點C,4ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點R在線段AB的延長線上時，EPl最

大，即可求得線段EPl長度的最大值與最小值。

例IL(2023福建南平14分)如圖，在aABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD.DE,且Nl=NB=NC.

(1)由題設條件，請寫出三個正確結(jié)論：(要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過程中添加的字母和

輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明)

答：結(jié)論一：；結(jié)論二：；結(jié)論三：.

(2)假設NB=45°,BC=2,當點D在BC上運動時(點D不與B、C重合)，

①求CE的最大值；

②假設aADE是等腰三角形，求此時BD的長.

(注意：在第(2)的求解過程中，假設有運用(1)中得出的結(jié)論，須加以證明)

【答案】解：(1)AB=ACiZAED=ZADC;ΔADE<×>ΔACD1,

(2)①?.?NB=∕C,NB=45°,.?.AACB為等腰宜角三角形。

/.AC=-BC=-×2=√2。

22

VZl=ZC,ZDAE=ZCAI),Λ?ADE<^ΔACDC

ΛAD:AC=AE:AD,：.AE=處=空J?=也AD2。

AC√22

當AD最小時，AE最小，此時AI)_LBC,AD=?BC=Io

2

.?.AE的最小值為也x「=立。.?.CE的最大值=41--=—

2222

②當AD=AE時，ΛZ1=ZΛED=45",ΛZDAE=90o。<

二點D與B重合，不合題意舍去。/

當EA=ED時，如圖1,NEAD=N1=45°。//\

BDC

.?.AD平分∕BAC,...AD垂直平分BC。ΛBD=1(,圖ι

當DA=DE時，如圖2,?

VΔΛDE^?ΛCD,,DA：ΛC=DE：DC?/?r

ΛDC=CA=√2?ΛBD=BC-DC=2-√2,,/\

BDC

綜上所述，當AADE是等腰三角形時，BD的長的長為1或圖2

2—>/2?

【考點】相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】（1）由∕B=∕C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB=AC；由/1=NC,NAED=/EDC+NC得到NAED=/ADC；

又由NDAE=NCAD,根據(jù)相似三角形的判定可得到^ADEs∕?ACD0

（2）①由NB=NC,ZB=45o可得aACB為等腰直角三角形，那么AC=?|BC=注x2=夜，由

22

Zl=ZC,ZDAE=ZCAD,根據(jù)相似三角形的判定可得AADESAACD,那么有AD：AC=AE：AD,即

2?I

AE=a±=A[=Y2AD2,當ADLBC,AD最小，此時AE最小，從而由CE=AC-AE得到CE的最大值。

AC√22

②分當AD=AE,,EA=ED,DA=DE三種情況討論即可。

練習題：

1.（2023浙江衢州3分）如圖，OP平分/M0N,PΛ±0N于點A,點Q是射線OM上的一個動點，假設PΛ=2,

那么PQ的最小值為【】

A、1B、2C、31）、4

2.（2023四川南充8分）如圖,等腰梯形ABCD中,AD〃BC,AD=AB=CD=2,ZC=60o,M是BC的中點.

（1）求證：4MDC是等邊三角形；

（2）將aMDC繞點M旋轉(zhuǎn)，當MD（即MD'）與AB交于一點E,MC（即MC'）同時與AD交于一點FH寸，

點E,F和點A構成aAEF.試探究aAEF的周長是否存在最小值.如果不存在，請說明理由；如果存在，

請計算出aAEF周長的最小值.

3.（2023浙江臺州4分）如圖，。。的半徑為2,點0到直線1的距離為3,點P是直線1上的一個動點，

PQ切。0于點Q,那么PQ的最小值為【】

A.713B.√5C.3D.2

4.（2023河南省3分）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90o,AD=4,連接BD,BD±CD,ZADB=ZC.假設P

是BC邊上一動點，那么DP長的最小值為▲.

5.（2023云南昆明12分）如圖，在RtZXABC中，ZC=90o,AB=IOcm,AC：BC=4：3,點P從點A出發(fā)沿

AB方向向點B運動，速度為ICm∕s,同時點Q從點B出發(fā)沿BfC-A方向向點A運動，速度為2cm∕s,當

一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動.

（1）求AC、Be的長；

（2）設點P的運動時間為X（秒），APBQ的面積為y（cm2）,當aPBQ存在時，求y與X的函數(shù)關系式，

并寫出自變量X的取值范圍；

（3）當點Q在CA上運動，使PQ_LAB時，以點B、P、Q為定點的三角形與AABC是否相似，請說明理由；

（4）當x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點M,使ABCM得周長最小，假設存在，求出最小周長，假設

不存在，請說明理由.

三、應用軸對稱的性質(zhì)求最值：典型例題：例1.（2023山東青島3分）如圖，圓柱形玻璃杯高為

12cm、底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點

C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，那么螞蟻到達蜂蜜的

最

短距離為▲cm.

【答案】15.

【考點】圓柱的展開，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關系，勾股定理。

【分析】如圖，圓柱形玻璃杯展開〔沿點A豎直剖開）后側(cè)面是一個長5V

4

18寬12的矩形，作點A關于杯上沿MN的對稱點B,連接BC交MN于點P,M

連接BM,過點C作