2020—2021學(xué)年度上期高中調(diào)研考試二年級(jí)理數(shù)試題時(shí)間：120分鐘 分值：150分 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要1.設(shè)命題:,,則為()A.,B.,C.,D.,2．若且，則下列不等式成立的是()A． B． C． D．3．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面3節(jié)的容積共6升，下面節(jié)的容積共12升，則第5節(jié)的容積為（）升。A．2 B．3 C．4 D．54.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5．曲線方程的化簡(jiǎn)結(jié)果為（）A． B． C． D．6.在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.7.若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則等于（）A.1或13 B.1 C.13 D.1或128.給出如下四個(gè)命題：①若“且”為假命題，則均為假命題；②命題“若，則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)”的逆命題為真命題；③若是的必要條件，則是的充分條件；④在中，“”是“”充要條件.其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.49.圓的半徑為6，圓心為是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（）A.B.C.D.10.已知，等于（）A.1 B.1 C.3 D.611.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，且,其中，，分別是，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③面；④面；其中恒成立的為（）A.①③ B.③④ C.①④ D.②③12.已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),左?右焦點(diǎn)分別為,,且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為,是以為底邊的等腰三角形,若,橢圓與雙曲線的離心率分別為,,則的取值范圍是()A.B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13.拋物線的準(zhǔn)線方程是________14.過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為．15．設(shè)，，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍________16.《九章算術(shù)》中的“邪田”意為直角梯形，上、下底稱為畔，高稱為正廣，非高腰邊稱為邪。在四棱錐中，底面為邪田，兩畔分別為1，3，正廣為，平面，邪所在直線與平面所成角的大小為_(kāi)_______.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.(本小題滿分10分)已知命題p：直線y＝x＋m與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓無(wú)公共點(diǎn)，命題q：方程表示雙曲線。(1)若命題p是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。18.(本小題滿分12分)求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。(1)長(zhǎng)軸是短軸的3倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，0)；(2)過(guò)點(diǎn)(，)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)。19.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐QUOTE中，側(cè)面PAB為等邊三角形且垂直于底面ABCD，QUOTE，,E是PD的中點(diǎn)．(1)證明：直線QUOTE∥平面；(2)求二面角QUOTE的余弦值．20(本小題滿分12分)新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻(xiàn)．生產(chǎn)口罩的固定成本為300萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)箱，需另投入成本萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量不足90萬(wàn)箱時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于90萬(wàn)箱時(shí)，，若每箱口罩售價(jià)120元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷(xiāo)售完．（1）求口罩銷(xiāo)售利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量（萬(wàn)箱）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中所獲得利潤(rùn)最大？21(本小題滿分12分)如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22.(本小題滿分12分)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2。(1)求拋物線C的方程；(2)若點(diǎn)P(－4，0)，問(wèn)x軸上是否存在點(diǎn)T，使得過(guò)點(diǎn)T的任一條直線與拋物線C交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)T到直線MP，NP的距離相等？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。2020—2021學(xué)年度上期高中調(diào)研考試二年級(jí)理數(shù)答案一．選擇題：1【答案】D【詳解】因?yàn)槊}:，，所以，，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，屬于簡(jiǎn)單題.2．【答案】D【詳解】選項(xiàng)A:，符合，但不等式不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)B:當(dāng)符合已知條件，但零沒(méi)有倒數(shù)，故不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)C:當(dāng)時(shí)，不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)D:因?yàn)?，所以根?jù)不等式的性質(zhì)，由能推出，故本選項(xiàng)是正確的，因此本題選D.【答案】B【詳解】設(shè)此等差數(shù)列為，公差，由題意可得：，4【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，不是遞增數(shù)列；當(dāng)且時(shí)，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.考點(diǎn)：等比數(shù)列5．【答案】D【詳解】由橢圓定義得2a=10，a=5，又c=4，方程為6【答案】D【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，選D.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.7【答案】C【解析】由雙曲線定義得，由雙曲線性質(zhì)知， ,故選選C考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義．故選C8【答案】B【解析】①：若“且”為假命題，則中至少有一個(gè)假命題，故①錯(cuò)誤；②：若只有一個(gè)零點(diǎn),則當(dāng)時(shí),只有一個(gè)零點(diǎn),或當(dāng)時(shí)即,故只有一個(gè)零點(diǎn),有或,故②不正確;③若是的必要條件，則q是p的充分條件，因?yàn)槿?所以若是的必要條件，則是的充分條件；故③正確；④：充分性：中，若，則a>b，根據(jù)正弦定理，可得到，反之也成立，故④項(xiàng)正確.故選B.9【答案】B數(shù)形結(jié)合利用垂直平分線的定義得到動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)、的距離之和為定值4（大于兩定點(diǎn)間的距離，符合橢圓定義，從而得到橢圓方程．【詳解】解：如圖，直線為線段的垂直平分線，連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)得：，而半徑，且、兩點(diǎn)為定點(diǎn)，，由橢圓定義得：點(diǎn)軌跡是以、兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，且，，，，，橢圓方程為：，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義，考查了橢圓方程的求法，考查了直線的垂直平分線的性質(zhì)，是中檔題，也是軌跡方程的常見(jiàn)題型．10【答案】D【詳解】因?yàn)?，所?故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念，熟記導(dǎo)數(shù)的概念即可，屬于常考題型.11【答案】C【解析】分析：如圖所示，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，連接EM，EN．詳解：如圖所示，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，連接EM，EN．對(duì)于（1），由正四棱錐S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正確．對(duì)于（2），由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，不可能EP∥BD，因此不正確；對(duì)于（3），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM=E相矛盾，因此當(dāng)P與M不重合時(shí)，EP與平面SAC不垂直．即不正確．對(duì)于（4），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正確．故選：C．點(diǎn)睛：本題考查了空間線面、面面的位置關(guān)系判定，屬于中檔題．對(duì)于這種題目的判斷一般是利用課本中的定理和性質(zhì)進(jìn)行排除，判斷.還可以畫(huà)出樣圖進(jìn)行判斷，利用常見(jiàn)的立體圖形，將點(diǎn)線面放入特殊圖形，進(jìn)行直觀判斷.12【答案】C【詳解】設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為，，，，是以為底邊的等腰三角形，若，則，，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，即有，，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，即，所以，根據(jù)離心率公式可得，因?yàn)椋?，則有，所以的取值范圍為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的定義，考查離心率的求法，三角形的三邊關(guān)系二．填空題13【答案】【詳解】拋物線方程可化為：拋物線準(zhǔn)線方程為：故答案為14【答案】【解析】設(shè)A，B，則①，②，∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，∴，①②兩式相減可得，即．考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)15【答案】【詳解】由得，解得，設(shè)．由得，解得，設(shè)．∵是的必要不充分條件，∴是的必要不充分條件，∴，即，∴，解得.∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．16【答案】【詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)，使得（如圖）.由題意可得，則由題意知，所以，所以.因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，則是直線與平面所成角的平面角，，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為載體，考查了線面角及線面垂直的證明，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想及推理論證能力，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、【解析】（1）∵橢圓的焦點(diǎn)在軸上，∴，……2分又∵直線與橢圓無(wú)公共點(diǎn)，由得，由，得或，結(jié)合，可得，即命題是真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍為……5分方程表示雙曲線，∴，解得或，……8分又∵是的充分不必要條件，是的真子集，即或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍或.……10分18【解析】(1)若橢圓焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0)∵長(zhǎng)軸是短軸的3倍∴a=3b又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，0)∴，得到a=3∴b=1，所以……2分若橢圓焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0)∵長(zhǎng)軸是短軸的3倍，∴a=3b又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，0)∴，得到b=3，∴a=9∴……5分所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。或.……6分(2）橢圓的焦點(diǎn)為(0，4)設(shè)該橢圓方程為(a>b>0)，因此①……8分∵橢圓過(guò)(，)，(a>b>0)②……10分聯(lián)立①②式，解得a2=20，b2=4.因此該橢圓方程為.12分19.解：(1)取的中點(diǎn)，連，是的中點(diǎn),，………………2分又四邊形是平行四邊形…………4分∥又平面，平面………………5分∥平面………6分(2)在平面內(nèi)作于，不妨令，則由是等邊三角形，則，為的中點(diǎn)，分別以、所在的直線為軸和軸，以底面內(nèi)的中垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，………………7分則，，，，，………8分設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則則……9分則…………10分…………11分經(jīng)檢驗(yàn)，二面角QUOTE的余弦值的大小為.………………12分20【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；……2分當(dāng)時(shí)，，……4分∴，……6分（2）當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為1500萬(wàn)元；……18分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為1750萬(wàn)元．……11分綜上，當(dāng)產(chǎn)量為100萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1750萬(wàn)元．……12分21.（1）由題意，因?yàn)?，，，∴，又∴，∴，∵?cè)面，∴.又∵，，平面∴直線平面.……5分（2）以為原點(diǎn)，分別以，和的方向?yàn)?，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，……6分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，∵，∴，令，則，∴…8分假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，∵，，∴，∴∴設(shè)平面的一個(gè)法向量為，……10