第1頁（共1頁）2023年浙江省寧波市強基計劃數學試卷1．（3分）已知a為正實數，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的兩個根，則（﹣1）（﹣1）＝（）A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a+1 D．﹣2a﹣12．（3分）若實數x，y滿足x3﹣y3+3xy+1＝0，則x﹣y可能的值（）A．只有1個 B．有2個 C．多于2個但有限 D．有無數個3．（3分）如圖所示，半徑為r的圓O內切于正△PQR，M為邊PQ上一點，N為邊PR上一點，且直線MN與圓O相切于點E，△PMN的內切圓C與MN相切于點F．若圓C的半徑為，則的值為（）A． B． C． D．4．（3分）已知a＜（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），則在0，，，，中可以取得最大值是（）A．0 B． C． D．（多選）5．（3分）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，H為邊BC的中點，直線AH與DB交于點E，直線AH與DC的延長線交于點F，則下列四點不共圓的是（）A．A，E，C，D B．A，H，C，D C．A，B，C，D D．A，B，F，C（多選）6．（3分）小明進行投籃練習，共投了20次，已知第一次沒投中，總共投中了17次．現依次計算小明投完前n次時的命中率rn（n＝1，2，…，20），則r1＝0，r20＝0.85．在下列數字中，一定會在r1，r2，…，r20中出現的是（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.87．（3分）如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，∠ADC＝120°，∠DAC＝∠ABC．若AD＝4，DC＝2，則△ABC的面積為．8．（3分）函數，關于M中心對稱，則M的坐標為．9．（3分）若函數y＝|2x﹣3|﹣2a的圖象總在函數y＝|x+a|的圖象的上方，則實數a的取值范圍為．10．（3分）在平面上，一個圓把平面分割成2部分，兩個圓可能把平面分割成3部分或者4部分．現平面上有7個圓，這些圓把平面分割成m部分，則正整數m的最大值為個．11．（3分）4只猴子摘得一些桃子，準備在第二天再將其分配．夜里，第1只猴子將其分出個數相同的4份后發(fā)現多出一個，遂將這個桃子偷吃，然后藏起自己的一份去睡覺；過一會，第2只猴子將剩余的桃子分出個數相同的4份后，也發(fā)現多出1個，它也將這個桃子偷吃，然后藏起自己的一份去睡覺；第3、第4只猴子也依次進行了同樣的操作．這4只猴子最初摘得的桃子至少有個．12．如圖所示，AB為半圓O的直徑，C在AB延長線上，P是半圓O上的一個動點，以PC為底邊作等腰直角三角形PCQ（P，C，Q逆時針排列）．已知AB＝4，BC＝2．（1）若△POB為正三角形，求QB的長；（2）求四邊形POCQ面積的最大值．13．已知實數a，b滿足a+b＝4．（1）若a＞0，b＞0，求的最小值；（2）設實數x，y滿足xy＝6，x+y＝11﹣2ab，且bx+ay＝9，求a，b，x，y的值．14．在平面直角坐標系xOy中，橫、縱坐標都是整數的點稱為整點，三個頂點都是整點的三角形稱為整點三角形．設a＞0，已知直角△OAB的直角頂點為坐標原點O（A在第一象限），其內心為點I（a，9a）．（1）求直線OA的函數解析式；（2）若a＝2023，且△OAB為整點三角形，求這樣的△OAB的個數．

2023年浙江省寧波市強基計劃數學試卷參考答案與試題解析1．（3分）已知a為正實數，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的兩個根，則（﹣1）（﹣1）＝（）A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a+1 D．﹣2a﹣1【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的兩個根，∴x1+x2＝a，x1x2＝﹣a，∴（﹣1）（﹣1）＝﹣（+）+1＝（x1x2）2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]+1＝（﹣a）2﹣[a2﹣2×（﹣a）]+1＝a2﹣a2﹣2a+1＝﹣2a+1．故選：C．2．（3分）若實數x，y滿足x3﹣y3+3xy+1＝0，則x﹣y可能的值（）A．只有1個 B．有2個 C．多于2個但有限 D．有無數個【解答】解：由x3﹣y3+3xy+1＝0可得：x3﹣y3＝﹣1﹣3xy（x﹣y）（x2+xy+y2）＝﹣1﹣3xy（x﹣y）[（x﹣y）2+3xy]＝﹣1﹣3xy設x﹣y＝A，則A（A2+3xy）＝﹣1﹣3xyA3+A?3xy＝﹣1﹣3xy所以，A＝﹣1故選：A．3．（3分）如圖所示，半徑為r的圓O內切于正△PQR，M為邊PQ上一點，N為邊PR上一點，且直線MN與圓O相切于點E，△PMN的內切圓C與MN相切于點F．若圓C的半徑為，則的值為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖1，設PQ、PR、MN分別與⊙C相切于點D、G、F，PQ、PR分別與⊙O相切于T、K，連接PC、PO、CD、CG、CF、OE、OT，則CD⊥PQ，CG⊥PR，PD＝PG，MD＝MF，NF＝NG，ME＝MT，NE＝NK，PT＝PK，∵CD＝CG，∴PC平分∠QPR，同理，PO平分∠QPR，∴P、C、O三點共線，∵△PQR是等邊三角形，∴∠QPR＝60°，∴∠OPQ＝∠QPR＝30°，∴PD＝＝＝r，CP＝2CD＝r，∵PD＝PG＝，∴＝r①，在Rt△POT中，PT＝＝＝r，OP＝2OT＝2r，∵PT＝PK，PT+PK＝PM+MT+PN+NK＝PM+ME+PN+NE＝PM+PN+MN，∴PT＝，∴＝r②，∴②﹣①得：MN＝r，如圖2，過點C作CL⊥OE，交OE的延長線于L，則∠L＝∠CFE＝∠FEL＝90°，∴EL＝CF＝r，CL＝EF，∴OL＝OE+EL＝r+r＝r，OC＝OP﹣CP＝2r﹣r＝r，在Rt△OCL中，CL＝＝＝r，∴EF＝r，∴＝＝．故選：D．4．（3分）已知a＜（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），則在0，，，，中可以取得最大值是（）A．0 B． C． D．【解答】解：（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）…（1﹣an）＞1﹣a1﹣a2﹣…﹣an，（n≥2），當n＝2時，（1﹣a1）（1﹣a2）＝1﹣a1﹣a2+a1a2＞1﹣a1﹣a2，當n＝k時，（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）…（1﹣ak）＞1﹣a1﹣a2﹣…﹣ak，當n＝k+1時，（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）…（1﹣ak）（1﹣ak+1）＞[1﹣（a1+a2+…+ak）]（1﹣ak+1）＝1﹣（a1+a2+…+ak）﹣ak+1+（a1+a2+…+ak）?ak+1＞1﹣（a1+a2+…+ak）﹣ak+1＝1﹣（a1+a2+a3′′′+ak+1）成立；令S＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），∴S＞1﹣﹣﹣﹣…﹣＝1﹣（+++…+），令M＝+++…+，∴M＝++…++，∴M＝﹣，∴M＝﹣，∴S＞1﹣+＝+＞，故選：D．（多選）5．（3分）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，H為邊BC的中點，直線AH與DB交于點E，直線AH與DC的延長線交于點F，則下列四點不共圓的是（）A．A，E，C，D B．A，H，C，D C．A，B，C，D D．A，B，F，C【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴B、C、D在以A為圓心，AB長為半徑的圓上，∴∠CDE＝∠BAC，∵AB＝AC，H是BC中點，∴∠CAE＝∠BAC，∴∠CDE＝∠CAE，∴A，E，C，D四點共圓，故A不符合題意；∵AB＝AC，H是BC中點，∴∠AHC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD＜90°，∴∠AHC+∠ADC＜180°，∴A、H、C、D不共圓，故B符合題意；∵AB＝AC＝AD，∴∠ABC＝∠ACB＜90°，∠ACD＝∠ADC＜90°，∴∠ABC+∠ADC＜180°，∴A、B、C、D不共圓，故C符合題意；若A、B、F、C共圓．∴∠FCH＝∠BAH，∵∠CAH＝∠BAH，∴∠FCH＝∠CAH，∵∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠FCH+∠ACH＝90°，∴AC⊥CD，而∠ACD＜90°，∴AC和CD不垂直，∴A、B、F、C不共圓，故D符合題意．故選：BCD．（多選）6．（3分）小明進行投籃練習，共投了20次，已知第一次沒投中，總共投中了17次．現依次計算小明投完前n次時的命中率rn（n＝1，2，…，20），則r1＝0，r20＝0.85．在下列數字中，一定會在r1，r2，…，r20中出現的是（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【解答】解：因為第一個沒進，所以若第二個進了，則有r2＝．若第二個沒進，第三個沒進，則有r4＝，r5＝，r6＝＝．若第二個沒進，第四個沒進，則有r3＝，r4＝，r5＝，r6＝＝．若第二個沒進，第五個沒進，則有r3＝，r4＝＝．后續(xù)情況無需討論，由此可見0.5一定會在r1，r2，r3，…r20中出現．因為0.6＝＝＝＝，如果前五次有三次沒進，則r5＝，r6＝＝，r4＝，……由此可見這一種情況中0.6沒有出現．因為0.7＝＝，如果前10次有一次或二次沒進，則r10＝或，由此可見這種情況下0.7沒有出現．因為0.8＝＝＝＝，如果前五次只有第一次沒進，則r5＝，如果前五次有二次沒進，同時前十次也是二次沒進，則r10＝．如果前五次有二次沒進，前十次是三次沒進，則r15＝．如果前五次有三次沒進，則r15＝．由此可見0.8一定會在r1，r2，r3，…r20中出現．故選：AD．7．（3分）如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，∠ADC＝120°，∠DAC＝∠ABC．若AD＝4，DC＝2，則△ABC的面積為14．【解答】解：∵∠DAC＝∠ABC，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴．過點A作AE⊥BC于點E，如圖，∵∠ADC＝120°，∴∠ADC＝60°，∴∠EAD＝30°，∴DE＝AD＝2，∴CE＝CD+DE＝4．∵AE＝＝＝2，∴AC＝＝2，∵CD?AE＝2，∴，∴S△ABC＝7S△ACD＝14．故答案為：14．8．（3分）函數，關于M中心對稱，則M的坐標為（﹣3，4）．【解答】解：設f（x）＝，則，f（x）＝4+，∴f（﹣6﹣x）＝4+＝4﹣（），∴f（x）+f（﹣6﹣x）＝8＝2×4，即f（x）＝2×4﹣f[2×（﹣3）﹣x]，∴f（x）關于（﹣3，4）成中心對稱，∴點M的坐標為（﹣3，4）．9．（3分）若函數y＝|2x﹣3|﹣2a的圖象總在函數y＝|x+a|的圖象的上方，則實數a的取值范圍為a＜﹣．【解答】解：由題意得，|2x﹣3|＞|x+a|+2a，，∵函數y＝|2x﹣3|﹣2a的圖象總在函數y＝|x+a|的圖象的上方，∴a＜0，對于y＝|x+a|+2a，令y＝0，則x＝a（舍去）或x＝﹣3a，∴，即，故答案為：．10．（3分）在平面上，一個圓把平面分割成2部分，兩個圓可能把平面分割成3部分或者4部分．現平面上有7個圓，這些圓把平面分割成m部分，則正整數m的最大值為44個．【解答】解：1個圓最多把平面分成2個部分，2個圓最多把平面分成4個部分，3個圓最多把平面分成8個部分，4個圓最多把平面分成14個部分，n個圓最多把平面分成2+2+4+6+…+2（n﹣1）＝n2﹣n+2份，（第n個圓與其它圓有2（n﹣1）個交點，將第n個圓自己分成2（n﹣1）段，每段將平面增加1部分，共增加2（n﹣1）部分．）7個圓最多把平面分成：2+2+4+6+…+2（7﹣1）＝72﹣7+2＝44個部分，故答案為：44．11．（3分）4只猴子摘得一些桃子，準備在第二天再將其分配．夜里，第1只猴子將其分出個數相同的4份后發(fā)現多出一個，遂將這個桃子偷吃，然后藏起自己的一份去睡覺；過一會，第2只猴子將剩余的桃子分出個數相同的4份后，也發(fā)現多出1個，它也將這個桃子偷吃，然后藏起自己的一份去睡覺；第3、第4只猴子也依次進行了同樣的操作．這4只猴子最初摘得的桃子至少有253個．【解答】解：設第4只猴子操作前，桃子的個數是m，則m是4的倍數再加1，同時也是3的倍數，則m的取值可能是9、21、33、45、?，即首項為9，方差為12的等差數列；第3只猴子操作前，桃子的個數是m+1，那么m+1的取值也應在這個等差數列中；第2只猴子操作前，桃子的個數是（m+1）+1，那么（m+1）+1的取值也應在這個等差數列中；第1只猴子操作前，桃子的個數是[（m+1）+1]+1，那么[（m+1）+1]+1的取值也應在這個等差數列中；計算出滿足要求的m的最小值是105，則這4只猴子最初摘得的桃子至少有253個．故答案為：253．12．如圖所示，AB為半圓O的直徑，C在AB延長線上，P是半圓O上的一個動點，以PC為底邊作等腰直角三角形PCQ（P，C，Q逆時針排列）．已知AB＝4，BC＝2．（1）若△POB為正三角形，求QB的長；（2）求四邊形POCQ面積的最大值．【解答】解：（1）連接BP、BQ交PC于點D，∵△POB為正三角形，AB＝4，BC＝2，∴BP＝BC＝2，∠OPC＝90°，∴PC＝2，∵等腰直角三角形PCQ，∴BQ垂直平分PC，∴BD＝OP＝1，△PDQ為等腰直角三角形，∴DQ＝PD＝PC＝，∴BQ＝．（2）過點P作PM⊥AB交于M點，設PM＝y(tǒng)，MO＝x，則x2+y2＝4，∴S四邊形POCQ＝S△POC+S△PQC＝＝5+2（x+y）≤5+4．當且僅當x＝y(tǒng)時，四邊形OPCQ的面積最大，最大值為5+4．13．已知實數a，b滿足a+b＝4．（1）若a＞0，b＞0，求的最小值；（2）設實數x，y滿足xy＝6，x+y＝11﹣2ab，且bx+ay＝9，求a，b，x，y的值．【解答】解：（1）＝＝，∵﹣（