第一章特殊(tèshū)平行四邊形第2節(jié)矩形(jǔxíng)的性質(zhì)與判定（三）第一頁，共二十八頁。1.如圖1，矩形(jǔxíng)ABCD的兩條對角線相交于點O，已知∠AOD=120°，AB=2.5cm，則∠DAO=

，AC=

cm，S矩形ABCD=

.復(fù)習(xí)(fùxí)導(dǎo)入

3005第二頁，共二十八頁。2.如圖2，四邊形ABCD是平行四邊形，添加一個條件(tiáojiàn)

，可使它成為矩形.復(fù)習(xí)(fùxí)導(dǎo)入

第三頁，共二十八頁。例3如圖，在矩形(jǔxíng)ABCD中，AD=6，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE.求AE的長.解：∵四邊形ABCD是矩形(jǔxíng),(矩形(jǔxíng)的對角互相平分).∴∠BAD=900(矩形的四個都是直角).AC=BD(矩形的對角線相等).第四頁，共二十八頁。例3如圖，在矩形(jǔxíng)ABCD中，AD=6，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE.求AE的長.∵ED=3BE,∴BE=OE.又∵AE⊥BD,∴AB=AO.∴AB=AO=BO,即△ABO是等邊三角形.∴∠ABO=600.∴∠ADB=900-∠ABO=900-600=300.你還有其他的解法(jiěfǎ)嗎？和同伴交流.第五頁，共二十八頁。例4已知：如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一條角平分線,AN為△ABC的外角(wàijiǎo)∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為E.求證：四邊形ADCE是矩形.

證明(zhèngmíng)：∵AD平分∠BAC,AN平分∠CAM,∴∠CAD=∠BAC，∠CAN=∠CAM.∴∠DAE=∠CAD+∠CAN

=（∠BAC+∠CAM）

=×180°

=90°.第六頁，共二十八頁。在△ABC中,∵AB=AC，AD平分(píngfēn)∠BAC,∴AD⊥BC.∴∠ADC=900.又∵CE⊥AN,∴∠CEA=900.∴四邊形ADCE是矩形(jǔxíng)(有三個角是直角(zhíjiǎo)的四邊形是矩形).你還有其他的解法嗎？和同伴交流.第七頁，共二十八頁。在例4中,連接DE,交AC于點F(如圖).(1)試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明(zhèngmíng)你的結(jié)論.想一想(1)四邊形ABDE是平行四邊形.證明(zhèngmíng)∵四邊形ADCE為矩形,∴AE∥DC,AE=DC.在△ABC中,∵AB=AC,AD為∠BAC的平分線,∴BD=DC.∴AE∥BD，AE=BD.∴四邊形ABDE為平行四邊形.第八頁，共二十八頁。在例4中,連接DE,交AC于點F(如圖).(2)線段DF與AB有怎樣的關(guān)系(guānxì)？請證明你的結(jié)論.想一想(2)DF∥AB,且提示:四邊形ABDE是平行四邊形,∴DE=AB,DE∥AB.∵四邊形ADCE是矩形,第九頁，共二十八頁。隨堂練習(xí)(liànxí)1.已知:如圖,四邊形ABCD由兩個全等的等邊三角形ABD和CBD組成,M,N分別(fēnbié)是BC和AD的中點.求證：四邊形BMDN是矩形.第十頁，共二十八頁。提示:∵△ABD和△BCD是兩個全等的正三角形,∴AD=BD=CD=BC∠ADB=∠DBC=600.∴DN∥BM.又∵N為AD中點(zhōnɡdiǎn),M為BC中點,∴AD=2DN,BN⊥AD.BC=2BM.∴DN=BM,∠DNB=900.∴四邊形BMDN是平行四邊形.又∵∠DNB=900,∴平行四邊形BMDN是矩形.第十一頁，共二十八頁。2.如圖,矩形(jǔxíng)ABCD的對角線AC,BD相交于O,∠BOC=2∠AOB,若AC=6cm,試求AB的長.提示:∵∠BOC=2∠AOB,∠BOC+∠AOB=1800,∴∠BOC=1200,∠AOB=600.∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=BO.∴△AOB是正三角形.第十二頁，共二十八頁。3.已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,P是CD上的一點,且AP和BP分別(fēnbié)分別(fēnbié)平分∠DAB和∠CBA,QP∥AD,交AB于點Q.(1).求證:AP⊥PB;(2).如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的長是多少?△APB的面積是多少?第十三頁，共二十八頁。提示:(1)∵AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA,∴∠PAB=∠DAB,∠PBA＝∠CBA．又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC.∴∠DAB+∠CBA=1800.∴∠PAB+∠PBA=900.∴∠APB=1800-900=900.∴AP⊥PB．第十四頁，共二十八頁。(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴BC∥AD,BC=AD=5.∴∠DPA=∠PAB.又∵AP平分∠DAB,∴∠PAB=∠PAD.∴∠DPA=∠PAD.∴DP=AD=5.同理PC=BC=5.∴AB=DC=DP+PC=10.∴在Rt△APB中,應(yīng)用勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)得BP=6.∴△APB的面積是24.第十五頁，共二十八頁。4.已知矩形的一條對角線與一邊(yībiān)的夾角是400,則兩條對角線所成的銳角的度數(shù)是（）A.100°B.90°C.80°D.70°5.矩形(jǔxíng)的一邊長為6,各邊中點圍成的四邊形的周長是20,則矩形的對角線長為____,面積為______.6.平行四邊形四個內(nèi)角(nèijiǎo)的平分線，如果能圍成一個四邊形，那么這個四邊形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形7.如圖,矩形ABCD中,O是對角線的交點,若AE⊥BD于E,且OE∶OD=1∶2，AE=cm,則∠AOD=_____,DE=_____cm.C1048A12003第十六頁，共二十八頁。8.已知:如圖,在□ABCD中,E,F分別為邊AB,CD的中點,BD是對角線,AG∥DB交CB的延長線于G.(1)求證：DE＝BF；(2)若四邊形BEDF是菱形,則四邊形AGBD是什么特殊(tèshū)四邊形？并證明你的結(jié)論．提示(tíshì):(1)證四邊形DEBF是平行四邊形,可得DE=BF.(2)先證四邊形ADBG是平行四邊形,再證∠ADB是直角(zhíjiǎo).第十七頁，共二十八頁。9.如圖,四邊形ABCD中,對角線相交于點O,E,F,G,H分別是AD,BD,BC,AC的中點.(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形ABCD滿足一個什么條件時,四邊形EFGH是矩形(jǔxíng)？并證明你的結(jié)論.(1)略；(2)當(dāng)∠ABC+∠BCD=900時,四邊形EFGH是矩形(jǔxíng).理由略.第十八頁，共二十八頁。10.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交(xiāngjiāo)于點O,∠ACB=300，BD=4,求矩形ABCD的面積.第十九頁，共二十八頁。11.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O，過點A作BD的垂線,垂足(chuízú)為E.已知∠EAD=3∠BAE,求∠EAO的度數(shù).450.第二十頁，共二十八頁。12.已知：如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點，四邊形ABDE是平行四邊形.求證(qiúzhèng)：四邊形ADCE是矩形.第二十一頁，共二十八頁。提示:∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD．∵AB=AC,D為BC中點(zhōnɡdiǎn)，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．∴四邊形ADCE是平行四邊形．∵AB=AC，D為BC中點，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴平行四邊形ADCE是矩形．第二十二頁，共二十八頁。13.如圖,在矩形(jǔxíng)紙片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,將矩形紙片折疊,使點C與點A重合.請在圖中畫出折痕，并求折痕的長.第二十三頁，共二十八頁。EF=7.5cm.第二十四頁，共二十八頁。14.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上不與A和D重合的一個動點,過點P分別作AC和BD的垂線(chuíxiàn),垂足為E,F.求PE+PF的值.第二十五頁，共二十八頁。小結(jié)：1.說說你的收獲(shōuhuò).2.說說你的困惑.3.說說你的方法.作業(yè)(zuòyè)：習(xí)題1.61、2、3、4、5題.第二十六頁，共二十八頁。(1)AB=CD(2)AD=BC(3)AB=BC(4)AB∥CD(5)AD∥BC(6)∠BAD=∠BCD(7)∠ABC=∠ADC(8)∠BAD=900(9)OA=OC(10)OB=OD(11)AC⊥BD(12)AC=BD邊角對角線4.你能在四邊形的基礎(chǔ)上,從下列條件中選三個,得到矩形嗎?你找到了多少個答案？AB