開封市20222023學(xué)年度第二學(xué)期期末調(diào)研考試高一數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，所以的虛部為.故選：B.2.在中，，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量加法和減法法則，計(jì)算可得答案.【詳解】由，可得，，整理可得，故選：A3.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“2枚硬幣都是正面朝上”，事件“2枚硬幣朝上的面相同”，則下列與的關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為（）①②互斥③互為對(duì)立④相互獨(dú)立A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)古典概型的計(jì)算公式、互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概念對(duì)選項(xiàng)一一分析判斷即可得出答案.【詳解】由題意可知：一枚硬幣有兩個(gè)等可能結(jié)果：正面朝上、反面朝上，兩枚硬幣有兩個(gè)等可能結(jié)果：正正、正反、反正、反反，事件“2枚硬幣都是正面朝上”包含的情況為：正正，事件“2枚硬幣朝上的面相同”包含的情況為：正正，反反，故，故①正確；②錯(cuò)誤；事件的對(duì)立事件為：正反、反正、反反，故③錯(cuò)誤；則，，所以，故④錯(cuò)誤.故選：A.4.已知為空間中兩條直線，為空間中兩個(gè)平面，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】由選項(xiàng)A的條件可得出線在面內(nèi)或線面平行可以判斷A選項(xiàng)；由選項(xiàng)B的條件可得出兩個(gè)平面平行或相交可以判斷B選項(xiàng)；由選項(xiàng)C的條件可得出兩條直線可以平行、相交或異面可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)面面垂直的判定可以判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，若，則或，A錯(cuò)；對(duì)于B，若，則或相交，B錯(cuò)；對(duì)于C，若，則相交或或異面，C錯(cuò)；對(duì)于D，若，，則或，當(dāng)，又，可得；當(dāng)時(shí)，如圖，平面內(nèi)必然有一條直線設(shè)為與平行，由，則，由面面垂直的判定可得，所以D正確．故選：D．5.從長(zhǎng)度為的5條線段中任取3條，這三條線段不能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用列舉法及古典概型概率公式求解即可.【詳解】取出3條線段的情況有，，共10種，不能構(gòu)成三角形的有，共8種，故概率.故選：D.6.已知分別是圓柱上?下底面圓的圓心，分別是上?下底面圓周上一點(diǎn)，若，且直線與垂直，則直線與所成的角的正切值為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】如圖，過點(diǎn)作圓柱的母線，交圓柱的上底面于點(diǎn)，連接，說明即為直線與所成的角的平面角，進(jìn)而可得出答案.【詳解】如圖，過點(diǎn)作圓柱的母線，交圓柱的上底面于點(diǎn)，連接，則平面，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則，即直線與所成的角的正切值為.故選：B.7.如圖所示，為測(cè)量河對(duì)岸的塔高，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，則塔高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函數(shù)的定義，求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】在中，，所以所以，由正弦定理，可得，在直角中，因?yàn)樗?，即塔高為．故選：C．8.如圖，在平面四邊形中，為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用幾何知識(shí)易得，利用向量加法運(yùn)算及數(shù)量積定義得，然后利用二次函數(shù)求解最值即可，【詳解】由題意，，，，所以，所以，即平分，由可得，所以當(dāng)時(shí)，有最小值為.故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C.D.【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式即可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可判斷D.【詳解】由，得，則，故A正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD.10.某學(xué)校為普及安全知識(shí)，對(duì)本校1000名高一學(xué)生開展了一次校園安全知識(shí)競(jìng)賽答題活動(dòng)（滿分為100分）.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)該直方圖，下列結(jié)論正確的是（）A.圖中的值為B.該校高一學(xué)生競(jìng)賽得分不小于90的人數(shù)估計(jì)為130人C.該校高一學(xué)生競(jìng)賽得分上四分位數(shù)估計(jì)大于80D.該校高一學(xué)生競(jìng)賽得分的平均數(shù)估計(jì)為74.6【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)可得，判斷A；計(jì)算出得分不小于90的頻率，即可判斷B；計(jì)算得分介于50至80之間的頻率與0.75比較，從而判斷C；由頻率分布直方圖平均數(shù)計(jì)算公式計(jì)算判斷D.【詳解】由頻率分布直方圖性質(zhì)可得：，解得，故A正確；得分不小于90的頻率為，故得分不小于90的人數(shù)估計(jì)為人，故B錯(cuò)誤；得分介于50至80之間的頻率為，所以該校高一學(xué)生競(jìng)賽得分的上四分位數(shù)估計(jì)大于80，故C正確；該校高一學(xué)生競(jìng)賽得分的平均數(shù)估計(jì)為，故D正確.故選：ACD11.若平面上的三個(gè)力作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài).已知，與的夾角為，則下列說法正確的是（）A. B.與的夾角為C.與的夾角為 D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)向量的圖形運(yùn)算法則，結(jié)合余弦定理和向量數(shù)量積的定義等知識(shí)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示，設(shè)分別為，將向量進(jìn)行平移，平移至，將反向延長(zhǎng)至點(diǎn)D，則，，在中，由余弦定理得，,所以，即，故A正確；顯然，在中，，即，所以，所以與的夾角，故B錯(cuò)誤；與的夾角，故C正確；，故D錯(cuò)誤故選：AC12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為面對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列選項(xiàng)中正確的有（）A.三棱錐體積為定值B.線段上存在點(diǎn)，使平面C.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，二面角的余弦值為D.設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，利用等體積法判斷；對(duì)于B、C、D三個(gè)選項(xiàng)可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槿忮F的體積，易得平面平面，平面，所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐體積為定值，故A正確．對(duì)于B，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，,，，，，設(shè)，所以，，設(shè)平面，，，則，取，則，則，要使平面，即，，此時(shí)，故B正確.對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，設(shè)平面，，，則，取，則，則，設(shè)平面，設(shè)二面角所成角為，所以，因?yàn)闉殇J二面角，，所以，故C不正確；對(duì)于D，，，設(shè)平面，設(shè)直線與平面所成角為，，所以，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，所以D正確故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，若，則______.【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)向量的垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，，所以，解?故答案為：.14.中岳嵩山是著名的旅游勝地，天氣預(yù)報(bào)6月30日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為0.6，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，產(chǎn)生之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，假定表示當(dāng)天下雨，表示當(dāng)天不下雨，每4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：據(jù)此用頻率估計(jì)四天中恰有三天下雨的概率的近似值為__________.【答案】0.4##【解析】【分析】求出表中數(shù)據(jù)四天中恰有三天下雨的情況即可得出概率.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3181，8425，2436，0753，共8組，所以估計(jì)四天中恰有三天下雨的概率為.故答案為：0.415.已知三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】分析】由數(shù)量積定義、余弦定理結(jié)合已知式可得，由基本不等式求解即可.【詳解】，由余弦定理可得：，所以，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以的取值范圍?故答案為：16.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng)（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體（如圖乙），若勒洛四面體能夠容納的最大球的表面積為，則正四面體的棱長(zhǎng)為______.【答案】##【解析】【分析】設(shè)出棱長(zhǎng)，先根據(jù)正四面體的性質(zhì)求出外接球半徑，再由四面體能夠容納的最大球的半徑建立方程求解即可.【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，根據(jù)題意，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，如圖，點(diǎn)為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，為該球球心，由正四面體的性質(zhì)可知該球球心為正四面體的中心，即為正四面體外接球的球心（內(nèi)切球的球心），則為正四面體的外接球的半徑，勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為，連接，則三點(diǎn)共線，此時(shí)，由題意，所以，所以，如圖：記為的中心，連接，由正四面體的性質(zhì)可知在上.因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，即，解得，所以，解得，即正四面體的棱長(zhǎng)為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解幾何體外接球的半徑的解題思路：一是根據(jù)球的截面的性質(zhì)，利用球的半徑、截面圓的半徑r及球心到截面圓的距離三者的關(guān)系求解，其中確定球心的位置是關(guān)鍵；二是將幾何體補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，利用該幾何體與長(zhǎng)方體共有的外接球的特征，由外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)求解.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.某校高一年級(jí)有學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人.為了獲得該校全體高一學(xué)生的身高信息，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取一個(gè)容量為50的樣本.（1）求抽取男生?女生的人數(shù)；（2）觀測(cè)樣本的指標(biāo)值（單位：），計(jì)算得到男生樣本的均值為170，方差為14，女生樣本的均值為160，方差為34，求總樣本的方差，并估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高方差.【答案】（1）30；20（2）方差為46，身高方差為【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的概念及計(jì)算方法，即可求解；（2）記男生身高的均值記為，方差記為；女生身高的均值記為，方差記為，得到總樣本的均值為，結(jié)合，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，高一年級(jí)有學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取一個(gè)容量為50的樣本，所以抽取男生人數(shù)為，女生人數(shù)為.【小問2詳解】解：記男生身高為，其均值記為，方差記為；女生身高為，其均值記為，方差記為，把總樣本數(shù)據(jù)的均值記為，方差記為，所以總樣本的均值為，總樣本的方差為，所以總樣本的方差為46，據(jù)此估計(jì)高一年級(jí)學(xué)生身高的總體方差為.18.如圖，在直四棱柱中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得線線平行，再根據(jù)線面平行的判定即可證明；（2）利用等體積法求解即可.【小問1詳解】如圖所示，分別取的中點(diǎn)，連接，由題意得，且，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?【小問2詳解】由（1）平面，所以上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，所以，由題意，又，平面，所以平面，又，所以平面，即平面，因?yàn)?，所以，所以三棱錐的體積為.19.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).設(shè)向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為.（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由題可知：，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可；（2）利用向量在向量上的投影向量為求解即可.【小問1詳解】由題可知：，則.【小問2詳解】記與的夾角為，則向量在向量上的投影向量為，所以向量在向量上的投影向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為.20.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲?乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.已知在某局雙方平后，甲先發(fā)球.（1）若兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束的概率為，求的值；（2）在（1）的條件下，求兩人又打了4個(gè)球且甲獲勝的概率.【答案】（1）的值為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到事件的可能情況進(jìn)而列出方程求解；（2）根據(jù)題意分析知所對(duì)應(yīng)的事件為前兩球甲乙各得1分、后兩球均為甲得分，根據(jù)題意的先后手情況，列出式子求解即可.【小問1詳解】由題意可知，甲先發(fā)球，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，所對(duì)應(yīng)的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，所以，解得，即的值為【小問2詳解】由題意可知，若兩人又打了4個(gè)球且甲獲勝，所