模塊六圓第二講與圓有關(guān)的位置關(guān)系知識梳理夯實基礎(chǔ)知識點1：點與圓、直線與圓的位置關(guān)系1.點與圓有三種位置關(guān)系:點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外.設(shè)圓O的半徑為r，點到圓心的距離為d，則點與圓的位置關(guān)系如下表所示：點與圓的位置關(guān)系示意圖d與r的大小關(guān)系點A在圓內(nèi)點B在圓上點C在圓外2.直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.設(shè)圓O的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則直線與圓的位置關(guān)系如下表所示：位置關(guān)系相離相切相交示意圖與的關(guān)系交點的個數(shù)知識點2：切線的性質(zhì)與判定1.性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。注意：(1)圓的切線與圓只有一個公共點；(2)圓心到切線的距離等于圓的半徑；(3)“有切線，連半徑，得垂直”，這是已知圓的切線時常用的輔助線的作法。2.判定定理：經(jīng)過半徑的外端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。注意：切線判定定理中的兩個條件“經(jīng)過半徑的外端點”和“垂直于這條半徑”，二者缺一不可。3.切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。*切線長定理：過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角。知識點3：三角形的外接圓與內(nèi)切圓名稱示意圖內(nèi)、外心性質(zhì)三角形的外接圓三邊垂直平分線的交點稱為三角形的外心。三角形的外心到三角形的距離相等。三角形的內(nèi)切圓三條內(nèi)角平分線的交點稱為三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)心到三角形的距離相等。直角三角形內(nèi)切圓及外切圓半徑長的確定直角三角形的外心為其斜邊的中點，其外接圓半徑；其內(nèi)切圓半徑（其中，為直角邊長，為斜邊長）。知識點4：正多邊形與圓的關(guān)系設(shè)正邊形的外接圓半徑為，邊長為。邊心距正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑；正三角形的邊長等于其外接圓半徑的倍；正方形的邊長等于其外接圓半徑的正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑；正三角形的邊長等于其外接圓半徑的倍；正方形的邊長等于其外接圓半徑的倍。正邊形的周長正邊形的面積正邊形中心角的度數(shù)正邊形每個外角的度數(shù)直擊中考勝券在握1.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C

為圓心r為半徑畫⊙C，使⊙C與線段AB有且只有兩個公共點，則r的取值范圍是（）A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C．＜r≤6 D．＜r≤8【答案】C【解析】【詳解】解：由題意可知，線段AB必須經(jīng)過圓C才有兩個交點，過點C作AB的垂線，因為AC＝6，BC＝8，通過等面積法計算得出垂線段為，當r<，AB與圓C沒有交點，當r>6時與AB最多只有一個交點，所以.考點：圓于直線的位置關(guān)系點評：該題是常考題，主要考查學生對圓與直線交點的個數(shù)與半徑長度之間的關(guān)系，建議學生通過作圖分析計算．2．(2023·嘉興中考）已知平面內(nèi)有和點，，若半徑為，線段，，則直線與的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法進行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OA=3cm，線段OB=2cm，即點A到圓心O的距離大于圓的半徑，點B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點A在⊙O外．點B在⊙O上，∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．3．(2023·上海中考）如圖，已知長方形中，，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點與圓A的位置關(guān)系是（）

A．點C在圓A外，點D在圓A內(nèi) B．點C在圓A外，點D在圓A外C．點C在圓A上，點D在圓A內(nèi) D．點C在圓A內(nèi)，點D在圓A外【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)切得出圓A的半徑，再判斷點D、點E到圓心的距離即可【詳解】

∵圓A與圓B內(nèi)切，，圓B的半徑為1∴圓A的半徑為5∵<5∴點D在圓A內(nèi)在Rt△ABC中，∴點C在圓A上故選：C【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系是關(guān)鍵4．(2023·臨沂中考）如圖，、分別與相切于、，，為上一點，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由切線的性質(zhì)得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四邊形內(nèi)角和可求∠AOB=110°，再利用圓周角定理可求∠ADB=55°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補可求∠ACB．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取點D，連接AD，BD，∵AP、BP是切線，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，∴∠ADB=55°，又∵圓內(nèi)接四邊形的對角互補，∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．故選：C．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接OA、OB，求出∠AOB．5．(2023·山西中考）如圖，在中，切于點，連接交于點，過點作交于點，連接．若，則為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)與相切易得，在中，已知，可以求出的度數(shù)，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半得出的度數(shù)，最后根據(jù)可得．【詳解】如下圖，連接，∵切于點，∴，在中，∵，∴，∴，又∵，∴．故選：B．【點睛】本題考察了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及平行線的性質(zhì)，綜合運用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．(2023·廣西賀州中考）如圖，在中，，，點在上，，以為半徑的與相切于點，交于點，則的長為（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】連接OD，EF，可得OD∥BC，EF∥AC，從而得，，進而即可求解．【詳解】解：連接OD，EF，∵與相切于點，BF是的直徑，∴OD⊥AC，F(xiàn)E⊥BC，∵，∴OD∥BC，EF∥AC，∴，，∵，，∴OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=2×2=4，∴，，∴BC=，BE=，∴CE=-=．故選：B．【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，掌握圓周角定理的推論，添加輔助線，是解題的關(guān)鍵．7．如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點E，F(xiàn)，D，P是上一點，則∠EPF的度數(shù)是（）A．65° B．60° C．58° D．50°【答案】B【分析】連接OE，OF．求出∠EOF的度數(shù)即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接OE，OF．

∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，E，F(xiàn)是切點，

∴OE⊥AB，OF⊥BC，

∴∠OEB=∠OFB=90°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=60°，

∴∠EOF=120°，

∴∠EPF=∠EOF=60°，

故選：B．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．8．(2023·山東青島中考）如圖，是的直徑，點，在上，點是的中點，過點畫的切線，交的延長線于點，連接．若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到BA⊥AD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，進而求出∠BAC，根據(jù)垂徑定理得到BA⊥EC，進而得出答案．【詳解】解：∵AD是⊙O的切線，∴BA⊥AD，∵∠ADB=58.5°，∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，∵點A是弧EC的中點，∴BA⊥EC，∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，故選：B．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．9．(2023·江蘇宜興市實驗中學二模）如圖，是的直徑，切于點，線段交于點，連接．若，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用切線的性質(zhì)得出∠PAO=90°，再求出∠POA=50°，結(jié)合圓周角定理即可得出答案．【詳解】解：∵是的直徑，切于點，∴∠PAO=90°，∵∠P=40°，∴∠POA=90°?40°=50°，∵，∴∠B=．故選：C【點睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，正確得出∠POA的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．(2023·貴州安順中考）如圖，與正五邊形的兩邊相切于兩點，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，結(jié)合正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為108°，即可求解．【詳解】解：∵AE、CD切⊙O于點A、C，∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，∴正五邊形ABCDE的每個內(nèi)角的度數(shù)為：，∴∠AOC＝540°?90°?90°?108°?108°＝144°，故選：A．【點睛】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和公式的應用，以及切線的性質(zhì)定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．11．(2023·江蘇鎮(zhèn)江中考）如圖，∠BAC＝36°，點O在邊AB上，⊙O與邊AC相切于點D，交邊AB于點E，F(xiàn)，連接FD，則∠AFD等于（）A．27° B．29° C．35° D．37°【答案】A【分析】連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ADO＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OD，∵⊙O與邊AC相切于點D，∴∠ADO＝90°，∵∠BAC＝36°，∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，∴，故選：A．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．12．(2023·貴州遵義中考）如圖，AB是⊙O的弦，等邊三角形OCD的邊CD與⊙O相切于點P，連接OA，OB，OP，AD．若∠COD+∠AOB＝180°，AB＝6，則AD的長是（）A．6 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】如圖，過作于過作于先證明三點共線，再求解的半徑，證明四邊形是矩形，再求解從而利用勾股定理可得答案.【詳解】解：如圖，過作于過作于是的切線，三點共線，為等邊三角形，四邊形是矩形，故選：【點睛】本題考查的是等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，矩形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應用，靈活應用以上知識是解題的關(guān)鍵.13．(2023·湖南湘潭中考）如圖，為⊙O的直徑，弦于點E，直線l切⊙O于點C，延長交l于點F，若，，則的長度為（）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理求得，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，則△OED是等腰直角三角形，得出，根據(jù)切線的性質(zhì)得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，進而即可求得CF=OC=OD=．【詳解】解：∵BC為⊙O的直徑，弦AD⊥BC于點E，，，∴AE=DE=2，∴∠COD=2∠ABC=45°，∴△OED是等腰直角三角形，∴OE=ED=2，∴，∵直線l切⊙O于點C，∴BC⊥CF，∴△OCF是等腰直角三角形，∴CF=OC，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查了垂徑定理，等弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股定理的應用，求得CF=OC=OD是解題的關(guān)鍵．14．(2023·浙江省湖州中考）如圖，已知OT是Rt△ABO斜邊AB上的高線，AO=BO．以O(shè)為圓心，OT為半徑的圓交OA于點C，過點C作⊙O的切線CD，交AB于點D．則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．DC=DT B．AD=DT C．BD=BO D．2OC=5AC【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定知DT是⊙O的切線，根據(jù)切線長定理可判斷選項A正確；可證得△ADC是等腰直角三角形，可計算判斷選項B正確；根據(jù)切線的性質(zhì)得到CD=CT，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DOC=∠TOC，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可判斷選項C正確；【詳解】解：如圖，連接OD．∵OT是半徑，OT⊥AB，∴DT是⊙O的切線，∵DC是⊙O的切線，∴DC=DT，故選項A正確；∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵DC是切線，∴CD⊥OC，∴∠ACD=90°，∴∠A=∠ADC=45°，∴AC=CD=DT，∴AD=CD=DT，故選項B正確；∵OD=OD，OC=OT，DC=DT，∴△DOC≌△DOT（SSS），∴∠DOC=∠DOT，∵OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90°，∴∠AOT=∠BOT=45°，∴∠DOT=∠DOC=22.5°，∴∠BOD=∠ODB=67.5°，∴BO=BD，故選項C正確；∵OA=OB，∠AOB=90°，OT⊥AB，設(shè)⊙O的半徑為2，∴OT=OC=AT=BT=2，∴OA=OB=2，∴，2OC5AC故選項D錯誤；故選：D．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形、靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．15．(2023·寧波中考）如圖，⊙O的半徑OA＝2，B是⊙O上的動點（不與點A重合），過點B作⊙O的切線BC，BC＝OA，連結(jié)OC，AC．當△OAC是直角三角形時，其斜邊長為__．【答案】2或2【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定方法證得△OBC是等腰直角三角形，當∠AOC＝90°，連接OB，根據(jù)勾股定理可得斜邊AC的長，當∠OAC＝90°，同理可求．【詳解】解：連接OB，∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC＝90°，∵BC＝OA，∴OB＝BC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠ACO≤45°，當∠AOC＝90°，△OAC是直角三角形時，∴OC＝OB＝2，∴AC＝＝＝2；當∠OAC＝90°，四邊形OACB是正方形，OC=2；故答案為：2或2．【點睛】本題考查切斜的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是綜合運用所學的知識求出OC．16．(2023·浙江杭州中考）如圖，已知的半徑為1，點是外一點，且．若是的切線，為切點，連接，則_____．【答案】【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，得，根據(jù)圓的性質(zhì)，得，再通過勾股定理計算，即可得到答案．【詳解】∵是的切線，為切點∴∴∵的半徑為1∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了圓、勾股定理的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓、圓的切線、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．17．(2023·陜西·西安益新中學模擬預測）如圖，圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，連接AO、BO、CO、DO，記△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面積分別為S1、S2、S3、S4，則S1、S2、S3、S4的數(shù)量關(guān)系為________．【答案】S1+S3=S2+S4【分析】設(shè)切點分別為E、F、G、H，由切線性質(zhì)可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r，設(shè)DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d，推出S1+S3=r（a+b）r+

r（c+d）=r（a+b+c+d）=S2+S4．【詳解】解：如圖設(shè)切點分別為E、F、G、H，由切線性質(zhì)可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r，設(shè)DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d，S1=r（a+b）r，S2=r

（b+c）S3=

r（c+d），S4=r（a+d），∴S1+S3=r（a+b）r+

r（c+d）=r（a+b+c+d），S2+S4=r（a+d）+r

（b+c）=r（a+b+c+d），∴S1+S3=S2+S4．故答案為：S1+S3=S2+S4．【點睛】本題考查了內(nèi)切圓的性質(zhì)，熟練運用切線的性質(zhì)和三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．18．(2023·江蘇南京中考）如圖，是五邊形的外接圓的切線，則______．

【答案】【分析】由切線的性質(zhì)可知切線垂直于半徑，所以要求的5個角的和等于5個直角減去五邊形的內(nèi)角和的一半．【詳解】如圖：過圓心連接五邊形的各頂點，則．故答案為：．

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和公式（n為多邊形的邊數(shù)）,由半徑相等可得“等邊對等角”，正確的理解題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．19．(2023·內(nèi)蒙古中考）如圖，在中，，以AD為直徑的與BC相切于點E，連接OC．若，則的周長為____________．

【答案】【分析】連接OE，作AF⊥BC于F，先證明為矩形，進而證明Rt△ABF≌Rt△OCE，得到BF=CE=3，利用勾股定理求出OC=，即可求出的周長．【詳解】解：如圖，連接OE，作AF⊥BC于F，∵BE為的切線，∴∠OEC=∠OEB=90°，∵AD∥BC，∴AF∥OE，∴四邊形AFEO為平行四邊形，∵∠OEF=90°，∴為矩形，∴AF=OE，EF=AO==6,∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD，BC=AD=12，∵AB=OC∴Rt△ABF≌Rt△OCE，∴BF=CE=3，∵OE=OA=6，∴在Rt△OCE中，，∴AB=CD=OC=，∴的周長為為（）×2=．

故答案為：【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形等知識，熟知相關(guān)定理，并根據(jù)題意添加輔助線是解題關(guān)鍵．20．(2023·陜西中考真題）如圖，正方形的邊長為4，的半徑為1．若在正方形內(nèi)平移（可以與該正方形的邊相切），則點A到上的點的距離的最大值為______．【答案】【分析】由題意易得當與BC、CD相切時，切點分別為F、G，點A到上的點的距離取得最大，進而根據(jù)題意作圖，則連接AC，交于點E，然后可得AE的長即為點A到上的點的距離為最大，由題意易得，則有△OFC是等腰直角三角形，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，最后問題可求解．【詳解】解：由題意得當與BC、CD相切時，切點分別為F、G，點A到上的點的距離取得最大，如圖所示：連接AC，OF，AC交于點E，此時AE的長即為點A到上的點的距離為最大，如圖所示，∵四邊形是正方形，且邊長為4，∴，∴△OFC是等腰直角三角形，，∵的半徑為1，∴，∴，∴，∴，即點A到上的點的距離的最大值為；故答案為．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、切點的性質(zhì)定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)、切點的性質(zhì)定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．21．(2023·四川涼山中考）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，的半徑為，P為AB邊上一動點，過點P作的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為________．【答案】3【分析】連接OC和PC，利用切線的性質(zhì)得到CQ⊥PQ，可得當CP最小時，PQ最小，此時CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．【詳解】解：連接QC和PC，∵PQ和圓C相切，∴CQ⊥PQ，即△CPQ始終為直角三角形，CQ為定值，∴當CP最小時，PQ最小，∵△ABC是等邊三角形，∴當CP⊥AB時，CP最小，此時CP⊥AB，∵AB=BC=AC=4，∴AP=BP=2，∴CP==，∵圓C的半徑CQ=，∴PQ==3，故答案為：3．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當PC⊥AB時，線段PQ最短是關(guān)鍵．22．(2023·山東省濟寧中考）如圖,在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點C,D．AC與BD相交于點E，CD2=CE·CA,分別延長AB,DC相交于點P，PB=BO，CD=2．則BO的長是_________．【答案】4【分析】連結(jié)OC，設(shè)⊙O的半徑為r，由DC2=CE?CA和∠ACD=∠DCE，可判斷△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根據(jù)圓周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，證明OC∥AD，利用平行線分線段成比例定理得到，則，然后證明，利用相似比得到，再利用比例的性質(zhì)可計算出r的值即可．【詳解】解：連結(jié)，如圖，設(shè)的半徑為，，，而，，，，，，，，，，，，，，，即，，即OB=4.故答案為：4.【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．也考查了圓周角定理．23．如圖，以等邊三角形ABC的BC邊為直徑畫圓，交AC于點D，于點F，連接OF，且．（1）求證：DF是的切線；（2）求線段OF的長度．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）連接OD，先說明是等邊三角形得到，說明，進而得到即可證明；（2）根據(jù)三角形中位線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到，最后運用勾股定理解答即可．【詳解】（1）證明：連接OD∵是等邊三角形∴∵∴是等邊三角形∴∴OD//AB∵∴∴∴DF是的切線；（2）∵OD//AB，∴OD為的中位線∴∵，∴∴由勾股定理，得：∴在中，．【點睛】本題主要考查了圓的切線的證明、三角形中位線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．24．(2023·武漢中考）如圖，是的直徑，是上兩點，是的中點，過點作的垂線，垂足是．連接交于點．

（1）求證：是的切線；（2）若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接交于點．由點是的中點，根據(jù)垂徑定理⊥．DG=BG，可證四邊形是矩形，可得即可．（2）連接，設(shè)，．設(shè)，可得．證明．可得，即．解得，可求，．在中，由勾股定理得．，解得，．根據(jù)余弦三角函數(shù)定義求即可．【詳解】1）證明：連接交于點．∵點是的中點，∴，BD為弦，OC為半徑，∴⊥．DG=BG，∵是的直徑，∴，∴．∵，∴．∴四邊形是矩形，∴．∴EC⊥OC，又∵OC為半徑，∴是的切線．

（2）解：連接，設(shè)，．

∵，設(shè)，∴．由（1）得，,．∵是的直徑，∴．∴，，∴，∴．，∴，∴．解得，，（不符合題意，舍去）．∴，．在中，由勾股定理得．∴，解得，．∴．【點睛】本題考查圓的切線判定，直徑所對圓周角性質(zhì)，垂徑定理，三角形相似判定與性質(zhì)，勾股定理，余弦三角函數(shù)定義，利用相似三角形的性質(zhì)與勾股定理構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．25．(2023·江蘇連云港中考）如圖，中，，以點C為圓心，為半徑作，D為上一點，連接、，，平分．（1）求證：是的切線；（2）延長、相交于點E，若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用SAS證明，可得，即可得證；（2）由已知條件可得，可得出，進而得出即可求得；【詳解】（1）∵平分，∴．∵，，∴．∴．∴，∴是的切線．（2）由（1）可知，，又，∴．∵，且，∴，∴．∵，∴．∵∴【點睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，正切的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)判定，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．26．(2023·四川瀘州中考）如圖，ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點F，AE是⊙O的直徑，連接EC（1）求證：；（2）若，于點，，，求的值【答案】（1）證明見詳解；（2）18．【分析】（1）連接，根據(jù)是⊙O的切線，AE是⊙O的直徑，可得，利用，得到，根據(jù)圓周角定理可得，則可證得；（2）由（1）可知，易得，則有,則可得，并可求得，連接，易證，則有，可得．【詳解】解：（1）連接∵是⊙O的切線，AE是⊙O的直徑，∴，∴∴又∵∴根據(jù)圓周角定理可得：∴，∴；（2）由（1）可知，∵∴∴∴,∵，，∴∴∴又∵中，∴，如圖示，連接∵，∴∴∴．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識點，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．(2023·甘肅蘭州中考）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，為上一點，，延長交于點，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)，可得，根據(jù)對頂角相等可得，進而可得，根據(jù)，可得，結(jié)合，根據(jù)角度的轉(zhuǎn)化可得，進而即可證明是的切線；（2）根據(jù)，可得，設(shè)，則，分別求得，進而根據(jù)勾股定理列出方程解方程可得，進而根據(jù)即可求得．【詳解】（1），，，，，，是直徑，，，是的切線；（2），，，設(shè)，則，，，在中，，即，解得（舍去），．【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定義，利用角度相等則正切值相等將已知條件轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．28．(2023·中考預測）如圖，已知，在ABC中，O為AB上一點，CO平分∠ACB，以O(shè)為圓心，OB長為半徑作⊙O，⊙O與BC相切于點B，交CO于點D，延長CO交⊙O于點E，連接BD，BE．（1）求證：AC是⊙O的切線．（2）若tan∠BDE，BC=6，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析；（2）4.5【分析】（1）作OF⊥AC于F，利用角平分線的性質(zhì)證明OF=OB，即可證明AC是⊙O的切線．（2）利用圓周角定理證明△CBE∽△CDB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：作OF⊥AC于F，∵⊙O與BC相切于點B，∴OB⊥BC，∵CO平分∠ACB，∴OF=OB，又OB是半徑，OF⊥AC于F，∴AC是⊙O的切線．（2）解：∵DE是直徑，∴∠DBE=90°，又tan∠BDE，∴，由（1），知∵OE=OB，OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠DBC=∠OBE，∴∠E=∠OBE，∴∠E=∠DBC，又∠C=∠C，∴△CBE∽△CDB，∴，∵BC=6，∴，∴，∴DE=9，∵OD=4.5，即⊙O的半徑是4.5．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．29．(2023·中考預測）如圖，是的直徑，點是上一點，點是延長線上一點，，是的弦，．（1）求證：直線是的切線；（2）若，求的半徑；（3）若于點，點為上一點，連接，，，請找出，，之間的關(guān)系，并證明．【答案】（1）見解析；（2）3；（3），理由見解析【分析】（1）先求出∠BAD＝120°，再求出∠OAB，進而得出∠OAD＝90°，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出△AOC是等邊三角形，得出AC＝OC，再判斷出AC＝CD，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出∠CAP＝∠CEM，進而得出△ACP≌△ECM（SAS），進而得出CM＝CP，∠APC＝∠M＝30°，再判斷出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，點在上，∴直線是的切線；（2）解：如圖1，連接，由（1）知，，，，是等邊三角形，，，，，，即的半徑為3；（3），理由：如圖，，，連接，延長至，使，連接，，為的直徑，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，過點作于，，在中，，，，，，，即．【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和勾股定理，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．30．(2023·四川省宜賓市第二中學校一模）如圖，為的直徑，是半圓的中點，延長到，使，連結(jié)、．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）若，求的長．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）2【分析】（1）連接OA，可得∠P=∠CAP，∠OAC=∠OCA，從而得∠CAP+∠OAC=90°，進而即可得到結(jié)論；（2）證明△AMC∽△CMN，進而即可得到結(jié)論；（3）連接DM，可得是等腰直角三角形，進而即可求解．【詳解】解：（1）連接OA，∵，∴∠P=∠CAP，∠OAC=∠OCA，∴∠CAP+∠OAC=×180°=90°，∴OA⊥AP，∴是的切線；（2）∵⊙O中，M點是半圓CD的中點，∴，∴∠CAM＝∠DCM，又∵∠CMA＝∠NMC，∴△AMC∽△CMN，∴，即CM2＝MN?MA；（3）連接DM，∵為的直徑，是半圓的中點，∴CM=DM，∠CMD=90°，即是等腰直角三角形，∵=2，∴CD=4，∴=4÷=2．【點睛】本題主要考查切線的判定，圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．31．(2023·青海西寧中考）如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，交于點E，過點D作，交的延長線于點F，連接．（1）求證：是的切線；（2）已知，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由題意根據(jù)圓周角定理得出，結(jié)合同弧或等弧所對的圓周角相等并利用經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線進行證明即可；（2）根據(jù)題意利用相似三角形的判定即兩個角分別相等的兩個三角形相似得出，繼而運用相似比即可求出的長．【詳解】解：（1）證明：∵是的直徑∴（直徑所對的圓周角是直角）即∵∴（等邊對等角）∵∴（同弧或等弧所對的圓周角相等）∴∵，∴∴即∴又∵是的直徑∴是的切線（經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）．（2）解：∵，∴∵，∴（兩個角分別相等的兩個三角形相似）∴，∴∴．【點睛】本題主要考查圓的切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．(2023·四川自貢中考）如圖，點D在以AB為直徑的⊙O上，過D作⊙O的切線交AB延長線于點C，于點E，交⊙O于點F，連接AD，F(xiàn)D．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）