相似形模型（四十二）——一線三等角模型一線三等角：三個(gè)相等的角的頂點(diǎn)在一條直線上◎結(jié)論1：如圖∠A＝∠DBE＝∠C，則①△ADB∽△CBE；②AD×EC（豎著的）=AB×BC（躺著的）外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，∠EBC＝∠ADB。同理：∠DBA＝∠BEC，∴△ADB∽△CBE∴ADCB＝改為乘積式：AD.CE＝AB.BC一線三等角經(jīng)典結(jié)論：左乘右＝左乘右◎結(jié)論2：如圖∠A＝∠DBE＝∠C，B點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，證明：△ABD∽△CEB∴證明：△ABD∽△CEB∴ABCE＝ADCB＝BDEB,∵AB＝BC∴ADAB＝又∵∠DAB＝∠DBE∴△DAB∽△DBE∴∠ADB＝∠BDE△ABD,△BED,△CEB均相似BD,BE為∠ADE,∠DEC角平分線③DB、EB平分∠ADE和∠DEC模型圖解常見圖形：一線三等角模型應(yīng)用的四種情況：1.圖形中已經(jīng)存在“一線三等角”，直接應(yīng)用模型解題；2.圖形中存在“一線二等角”，再構(gòu)造“一個(gè)等角”，利用模型解題；3.圖形中只有直線上一個(gè)角，再構(gòu)造“兩個(gè)等角”，利用模型解題；4.圖形中只有45°角，直角或直角三角形，可構(gòu)造“一線三等（直）角”，利用模型解題。1．(2023·重慶渝北·九年級(jí)期末）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)正好落在線段上的點(diǎn)處，使得．若，則的長度為（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點(diǎn)，過矩形的中心，且．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則四邊形的周長為（

）A． B． C． D．1．(2023·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期末）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD:DE=2:3，則CF=____．2．(2023·安徽·淮北市烈山區(qū)淮選學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________3(2023·吉林·長春市綠園區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校九年級(jí)期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出AP的長．1．(2023·河南鄭州·二模）如圖，已知矩形的頂點(diǎn)分別落在軸軸上，，AB=2BC則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．(2023·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將正方形紙片ABCD沿EF折疊，折痕為EF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，點(diǎn)B′落在邊CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，則EF的長為（）A． B． C． D．3．(2023·湖北襄陽·一模）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上，且時(shí)，的值為______．4．(2023·山東菏澤·三模）（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長．相似形模型（四十二）——一線三等角模型一線三等角：三個(gè)相等的角的頂點(diǎn)在一條直線上◎結(jié)論1：如圖∠A＝∠DBE＝∠C，則①△ADB∽△CBE；②AD×EC（豎著的）=AB×BC（躺著的）外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，∠EBC＝∠ADB。同理：∠DBA＝∠BEC，∴△ADB∽△CBE∴ADCB＝改為乘積式：AD.CE＝AB.BC一線三等角經(jīng)典結(jié)論：左乘右＝左乘右◎結(jié)論2：如圖∠A＝∠DBE＝∠C，B點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，證明：△ABD∽△CEB∴證明：△ABD∽△CEB∴ABCE＝ADCB＝BDEB,∵AB＝BC∴ADAB＝又∵∠DAB＝∠DBE∴△DAB∽△DBE∴∠ADB＝∠BDE△ABD,△BED,△CEB均相似BD,BE為∠ADE,∠DEC角平分線③DB、EB平分∠ADE和∠DEC模型圖解常見圖形：一線三等角模型應(yīng)用的四種情況：1.圖形中已經(jīng)存在“一線三等角”，直接應(yīng)用模型解題；2.圖形中存在“一線二等角”，再構(gòu)造“一個(gè)等角”，利用模型解題；3.圖形中只有直線上一個(gè)角，再構(gòu)造“兩個(gè)等角”，利用模型解題；4.圖形中只有45°角，直角或直角三角形，可構(gòu)造“一線三等（直）角”，利用模型解題。1．(2023·重慶渝北·九年級(jí)期末）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)正好落在線段上的點(diǎn)處，使得．若，則的長度為（

）A． B． C． D．答案:A分析由是等邊三角形，＝＝＝60°，由沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)AD＝x，CD=DF＝，由BE=2，BC＝，可得CE＝，可證，利用性質(zhì)，即，解方程即可【詳解】解：∵是等邊三角形，∴＝＝＝60°，∵沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，∴，∴＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，∵AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)＝x，＝DF＝，∵BE=2，BC＝，∴CE＝，∵＝，＝60°，∴＝120°，＝120°，∴＝，∵＝，∴，∴，即，解得：，使等式有意義，∴＝，故選擇：A．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．2．(2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點(diǎn)，過矩形的中心，且．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則四邊形的周長為（

）A． B． C． D．答案:B分析連接，證明四邊形是矩形，再證明，求得與的長度，由勾股定理求得與，再由矩形的周長公式求得結(jié)果．【詳解】解：連接，四邊形是矩形，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，矩形是中心對(duì)稱圖形，過矩形的中心．過點(diǎn)，且，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，，，，設(shè)，則，，，解得，或4，或4，當(dāng)時(shí)，，則，，四邊形的周長；同理，當(dāng)時(shí)，四邊形的周長；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵在于證明四邊形是矩形．1．(2023·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期末）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD:DE=2:3，則CF=____．答案:2.4分析根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等邊三角形的性質(zhì)可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，從而得到∠CDF=∠BED，進(jìn)而得到△BDE∽△CFD，再由BD:DE=2:3，可得到，即，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠EDF=∠A，DF=AF，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD，∴，即，∵等邊△ABC的邊長為6，∴，解得：．故答案為：2.4【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(2023·安徽·淮北市烈山區(qū)淮選學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________答案:分析根據(jù)題意證明，列出比例式即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式【詳解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3(2023·吉林·長春市綠園區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校九年級(jí)期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出AP的長．答案:【探究】3；【拓展】4或．分析探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；拓展：證明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】探究：證明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，當(dāng)CP=CE時(shí)，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；當(dāng)PC=PE時(shí)，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；當(dāng)EC=EP時(shí)，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，綜上所述：△CPE是等腰三角形時(shí)，AP的長為4或．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．1．(2023·河南鄭州·二模）如圖，已知矩形的頂點(diǎn)分別落在軸軸上，，AB=2BC則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．答案:D分析過C作CE⊥x軸于E，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB，∠ABC=90°，，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BCE=∠ABO，進(jìn)而得出△BCE∽△ABO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】解：過C作CE⊥x軸于E，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，∴∠BCE=∠ABO，∵，∴△BCE∽△ABO，∴，∵∴AB=，∵AB=2BC，∴BC=AB=4，∵，∴CE=2，BE=2∴OE=4+2∴C（4+2，2），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．(2023·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將正方形紙片ABCD沿EF折疊，折痕為EF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，點(diǎn)B′落在邊CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，則EF的長為（）A． B． C． D．答案:C分析設(shè)，則CD=3x，，根據(jù)求出x=6，得到CD=18，CF=8，=12，證明△∽△求得DM=9，，，AM=9，再根據(jù)求得AE=4，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，再根據(jù)勾股定理求出EF=.【詳解】設(shè)，則CD=3x，，由折疊得，∴CF=3x-10，∵∴100=，解得x=6或x=0（舍去），∴CD=18，CF=8，=12，∵∠C=∠D=∠,∴∠,∴△∽△,∴，∴，∴DM=9，，∴，AM=9，在Rt△中，，∴,解得EM=5，∴AE=4，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，∴BH=AE=4，EH=AB=CD=18，∴FH=10-4=6，∴EF=,故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，解題中多次用到勾股定理求出直角三角形中的邊長，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)的邊相等或角度相等是解題的關(guān)鍵.3．(2023·湖北襄陽·一模）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上，且時(shí)，的值為______．答案:分析根據(jù)△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關(guān)于DE成軸對(duì)稱，可證△BDF∽△CFE，根據(jù)BF=4CF，可得CF=4，根據(jù)AF為軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線,DE為對(duì)稱軸，可得DE⊥AF，根據(jù)S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，進(jìn)而可求．【詳解】解：如圖，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，∵△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關(guān)于DE成軸對(duì)稱，∴∠DFE=∠DAE=60°，AD=DF，∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB=120°，∴∠DFB=∠CEF，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴，即，設(shè)CF=x(x>0)，∵BF=4CF，∴BF=4x，∵BD=3，∴，∵，∴，，∵△BDF∽△CFE，∴，∴解得：x=2，∴CF=4，∴BC=5x=10，∵在Rt△ABL中，∠B=60°，∴AL=ABsin60°=10×=5，∴S△ABC=，∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，∴DH=BDsin60°=，∴S△BDF=，∵△BDF∽△CFE，∴，∵S△BDF=，∴S△CEF=，又∵AF為軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線,DE為對(duì)稱軸，∴AD=DF，△ADF為等腰三角形，DE⊥AF，∴S四邊形ADFE=