專題1.3誘導(dǎo)公式

【考點(diǎn)1：誘導(dǎo)公式（2Zx+α（AGZ））］.......................................................................................................................1

【考點(diǎn)2：誘導(dǎo)公式（乃+a）］......................................................................................................................................2

【考點(diǎn)3：誘導(dǎo)公式Ga）］...........................................................................................................................................3

【考點(diǎn)4：誘導(dǎo)公式（ma）］........................................................................................................................................4

【考點(diǎn)5：誘導(dǎo)公式（名幻］.......................................................................6

【考點(diǎn)6：誘導(dǎo)公式《+a）］........................................................................................................................................7

【考點(diǎn)7：誘導(dǎo)公式的綜合】.....................................................................8

【考點(diǎn)1：誘導(dǎo)公式（2七+a伏∈Z））］

【知識(shí)點(diǎn)：誘導(dǎo)公式2Zjr+a（AeZ）I

角2?π+a(ft∈Z)

正弦sina

余弦cosa

正切tana

1.（2022春?安徽合肥?高一校聯(lián)考期末）COS420。=（）

A.更B.-更C.?D.-i

2222

【答案】C

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式cos（a+k?360o）=cosa,k∈Z化簡(jiǎn)即可.

【詳解】cos420°=cos（360°+60°）=cos60°=?.

故選：C

2.（2021春?福建莆田?高一莆田第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）cos（-等）的值為（）

A.-?B.?C?一旦D.叵

2222

【答案】D

【分析】由誘導(dǎo)公式一即可值

【詳解】COS（一等）=COS（一等+4π）=COS=y

故選：D

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）sin（—660。）的值是（）

-更

A.-B.--C.—D.

2222

【答案】C

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可求得結(jié)果.

【詳解】sin（-660o）=sin（-660o+720o）=sin60o=當(dāng)

故選：C.

4.（2022春?江蘇南通?高一江蘇省南通中學(xué)?？计谀﹕in（—2040。）=（）

A.iB.-iC.巫D.—至

2222

【答案】C

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式先化簡(jiǎn)再求值即可.

【詳解】解：sin（-2040o）=sin（-2040o+6×360o）=sinl20o=?,

故選：C.

【考點(diǎn)2：誘導(dǎo)公式（兀+幻】

【知識(shí)點(diǎn):誘導(dǎo)公式（乃+a）］

1.（2022春?山東青島?高一山東省萊西市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）Singn=（）

A.B.-?C.iD.更

2222

【答案】A

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】Sin募n=sin（4n+三）=sin?=sin（π+；）=_sin∣=S

故選：A.

2.（2022春?北京朝陽(yáng)?高一?？计谥校﹕in24（Γ=（）

【答案】B

【分析】利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)并求值

【詳解】???sin240o=sin(180o+60o)=-sin60o=-y

故選：B

3.(2021秋?上海黃浦?高一上海市光明中學(xué)?？计谥?已知ISino=5，Oe(Oe)，則tan(π+

。)=.

【答案】?

【分析】先利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求出tan。，再利用誘導(dǎo)公式即可得解.

【詳解】解：因?yàn)镾ine=θ∈(θ,?),

所以CoS9=√1-sin20=—,所以tan。=三，

1312

所以tan(π+6)=tanθ=?.

故答案為：?.

4.(2021秋?遼寧阜新?高二校考期末)CoS等=__________.

6

【答案】-苧

【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解作答.

【詳解】cos—=cos(2n+=cos-π=cos(π÷-?=-cos-=.

6?6/6?6/62

故答案為：-日

【考點(diǎn)3：誘導(dǎo)公式(-a)】

【知識(shí)點(diǎn)：誘導(dǎo)公式(-a)】

r?l-I

正弦一sin」

余弦cos_”

正切-tan_a

1.(2022春?山東泰安?高一校考階段練習(xí))tan57(T+sin300。=()

【答案】C

【分析】由誘導(dǎo)公式可得答案.

【詳解】tan570o+sin300o=tan(360o+210o)+sin(360o-60°)

=tan(180o+30°)-sin60o=tan30o-sin60o=

326

故選：C

2.(2022春?河南洛陽(yáng)?高一孟津縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))COSU+tan225。+Sin學(xué)=

【答案】1

【分析】由誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值，直接得到答案.

【詳解】依題意，根據(jù)誘導(dǎo)公式，原式=cos(Y)+tan45°+sin^?=∣+1+(-∣)=1.

故答案為：1

【考點(diǎn)4：誘導(dǎo)公式(Tr-幻］

【知識(shí)點(diǎn)：誘導(dǎo)公式Or-a)】

角In—a

正弦sin_a

余弦I-cos_aI

正切^~~~tan_a

1.(2022春?陜西寶雞?高一校聯(lián)考階段練習(xí))若cosC—a)=R,則CoS(K+α)=()

A.—夜B.更C.漁D.—漁

3333

【答案】A

【分析】利用誘導(dǎo)公式化成含有已知條件的式子，即可求出cos6n+a)的值.

［詳解］cosGn+a)=cos］π一-a)］——cosɑ—=—?.

故選：A.

2.(2022春?陜西咸陽(yáng)?高二校考階段練習(xí))"+B=πM是"sim4=sin8"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式和列舉法可直接求解

【詳解】若A+B=n,則A=ττ-B,sirb4=sin(n-B)=sin8;但sirυ4=SinB時(shí)，A=B+2kn,kwZ或

A=Tr-B+2∕cπ,k∈Z,故"4+B=n"是"sin4=sinB"的充分不必要條件.

故選：A

3.(2022?全國(guó)?高一假期作業(yè))已知fO)=*?肅票等，則/(Wz)=()

_V3

A.√3B.-√3CYD.

33

【答案】D

【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求解.

【詳解】解：f(x)=?ggg?

CosxsinxCosxsinx

=Rr=-FT=Tag

π√3

則/（若）=-ta∏W≡=-tan（337兀+§=-tan-=-----,

63

故選：D

4.(2022?上海?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知Sina=亨，那么sin(?r-a)的值是.

【答案】?∣√2

【分析】直接通過(guò)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可

【詳解】???Sina=乎，.??sin(ττ—a)=s?na=?.

故答案為：號(hào)

5.(2022春?廣東廣州?高一廣州市第九十七中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知sin(π-a)=2cosa,則cos?。-

Sinacosa=

【答案】一卷##-0.2

【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出tana的值，再將cos2a-SinQCOSa分母寫(xiě)為siMa+cos?%再將分

子分母同除以cos2。化為關(guān)于tana的式子，代入即可求出值.

【詳解】解:由題知sin(π—Q)=2cosa,

即Sina=2cosa,

:?tana=2,且CoSa≠0,

cos2α—sinacosa

?coszα—SinaCOSa=———------------—

sιnza+cosza

1—tana

tan2a+1

1

=—

5,

故答案為:―，

【考點(diǎn)5：誘導(dǎo)公式令a）】

【知識(shí)點(diǎn)：誘導(dǎo)公式小a）】

BJ≡

正弦coS_q

余弦sin_a

正切S

1.(2022春?陜西寶雞?高一校聯(lián)考階段練習(xí))若函數(shù)y=a2χ+4+3(a>0且aK1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)4,且

點(diǎn)4在角。的終邊上，則sin(苧一。)=()

A.-叵B.-2CTD.氈

5555

【答案】C

【分析】求出點(diǎn)4的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式可求得sin(亨的值.

【詳解】當(dāng)2%+4=0,即％=-2時(shí)，y=4,所以A(-2,4),

所以CoSe=,(_；)：+4弓=一弓由誘導(dǎo)公式可得Sin(與一8)=-COSe=

故選：C.

2.(2022?全國(guó)?高一假期作業(yè))若cos(a+∕)=g,則SinC-a)=()

A.-B.-C.--D.--

5S55

【答案】A

【分析】利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形，即可求解.

【詳解】因?yàn)镾ine-a)=sinC^^(0+》)=cos(a+^)=p

故選：A.

【考點(diǎn)6：誘導(dǎo)公式加0】

【知識(shí)點(diǎn)：誘導(dǎo)公式0+a）】

1.（2021春?新疆阿克蘇?高二?？计谀┮阎猄ine+a）=/那么CoSa等于（）

A.--B.--C.-D.-

5555

【答案】C

【分析】直接利用誘導(dǎo)公式，］+a的誘導(dǎo)公式需要改變函數(shù)名稱，正弦變?yōu)橛嘞?，再定符?hào)即可.

【詳解】由已知Sinw+a）=cos?=?.

故選：C.

2.（2022春?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系XOy中，角a以。X為始邊，且CoSa=I.把角

a的終邊燒端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；弧度，這時(shí)終邊對(duì)應(yīng)的角是“，則SiM=（）

A?,BrC”D.在

3333

【答案】B

【分析】依題意可得0=a+p再利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.

【詳解】依題意0=a+］因?yàn)閏osa=∣,

sin/?=sin6+a）=cosa=|,

故選：B

3.（2022春?寧夏銀川?高三?？茧A段練習(xí)）己知角8的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與X軸正半軸重合，終邊在

直線y=2x上，則sin（。+1）=（）

A?-運(yùn)B.逗C.—立D?+在

101010-5

【答案】D

【分析】山題意可得tan。=2,化切為弦，結(jié)合平方關(guān)系可得CoS2。='再由誘導(dǎo)公式求得SinC+。)的值.

【詳解】因角。的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與X軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x1.,則有tan。=2,即嗎=

2.再由sin?。+cos?。=1n5cos2。=1,可得CoS2。=

又由誘導(dǎo)公式，Sinc+9)=CoSe=±?.

故選：D.

4.(2022秋?上海金山?高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？计谀?角α終邊上一點(diǎn)P(-3,4),則

cosg+α)+Sin(Tr-α)

tan(2023π-a)

【答案】I

【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)定義求出正弦值以及正切值，再對(duì)式子利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.

【詳解】因?yàn)榻铅两K邊上一點(diǎn)P(-3,4),根據(jù)三角函數(shù)定義，可知Sina=；,tana=-，而根據(jù)誘導(dǎo)公式

cos(gπ+a)=sina>sin(π-a)=Sina,

,、r.CO)：s(K+a)+sin(ιτ-a)_Sina+sina

tan(2023π—a)=tan(π—a)=-tana,則一

tan(2023π-a)-tana

2*_6

將函數(shù)值代入可得黑"r^=?-

故答案為：I

【考點(diǎn)7：誘導(dǎo)公式的綜合】

【知識(shí)點(diǎn)：誘導(dǎo)公式的綜合】

L利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟

任意負(fù)利用誘任意正%膽導(dǎo)0-2π利用誘導(dǎo)銳角

角的三一導(dǎo)公式的角的三公式二_二角

角的三IA-----ZIJ

角函數(shù)三或一角函數(shù)知函數(shù)或四或五函數(shù)

也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了."

2.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的要求

(1)化簡(jiǎn)過(guò)程是恒等變形；

(2)結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的要求出值.

I方法技巧］

應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的常見(jiàn)問(wèn)題及注意事項(xiàng)

(1)已知角求值問(wèn)題.關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解.轉(zhuǎn)化

過(guò)程中注意口訣"奇變偶不變，符號(hào)看象限”的應(yīng)用.

（2）對(duì)給定的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值問(wèn)題.要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)

合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.特別要注意每一個(gè)角所在的象限，防止符號(hào)及三角函數(shù)名出錯(cuò).

1.（2022春?重慶?高一階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中,角α的頂點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為X的非負(fù)半軸,終邊經(jīng)過(guò)

點(diǎn)(—1,2).

(1)求Sina?tana的值；

求Sin(a+土(SMK2…叫Aa)的值.

sin(2π-a)?tan(-a-π)?sin(π+a)

【答案】⑴一管

(2)-y

【分析】⑴根據(jù)角α終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1,2）,得出Sina,cosa,tana的值,即可求出Sina?tana;

（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn),代入角Q的三角函數(shù)值即可.

【詳解】（1）解:由題知角a終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（T2）,

2222

???r=yjx+y=λ∕(-1)+2=V5,

???S.ina=-y=∏2≈=2√5

cosa=-X=-1==---√-5,

r√55,

,y2?

tana=-X=—-1，=—2,

4√5

：?sιna?tana=———;

√5

(2)由⑴知CoSa

sin(a+^cos(y-a)?tan(2π-a)?cos(-y+a)

則原式

sin(2π-a)?tan(-a-π)?sin(π+a)

cosα?(-sina)?(-tana)?(―sina)

(―sina)?(—tana)?(-sina)

=cosa

5,

2.（2022春?江蘇南京?高一金陵中學(xué)校考階段練習(xí)）已知角a滿足Sina-CoSa=-γ.

⑴求tana的值;

sin(α-π)tan(5π÷α)cos(π+α)

⑵若角α是第三象限角，/（α）=

tan(2π-α)cos(-y-α)，求/（α）的值.

【答案】⑴答案見(jiàn)解析

喈

【分析】（I）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式列方程組求解即可;

（2）利用誘導(dǎo)公式求解即可.

Sina—cosa=—

【詳解】（1）由題意和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，有

sin2a+cos2a=

消去Sina得5COS2Q—√5cosa-2=0,解得COSQ=等或CoSa=—y

當(dāng)角Q是第一象限角時(shí),CoSQ=短,sina=y,tana=?,

因?yàn)榻莂是第三象限角，CoSa=-y,sina=-?,tana=2.

(2)由題意可得f(a)=.sin-Jcosa)=—COSCT,

-tanasina

因?yàn)榻铅潦堑谌笙藿?

所以COSa=—y,所以f(a)=γ.

3.（2022春?廣東茂名?高一統(tǒng)考期末）已知Sin管-a），

(1)求CoS(a-；)；

⑵若一-Ti<,a<-π,求COS+a).

63

【答案】⑴]

陪

【分析】（1）將等—a看作一個(gè)整體,則a*=>管—a）,使用誘導(dǎo)公式求解即可;

6

（2）將段一a看作一個(gè)整體，則2+a=π-（票―a）,使用誘導(dǎo)公式，結(jié)合a的范圍和同角三角函數(shù)平方關(guān)

系求解即可.

【詳解】⑴cos(a-=cosE-仔-a)]=sin償-Q)=∣.

_ππEn/5π,

(2)0--<a<-0——<—a<-,0-<-----CC<TT,

6336

2

0cos償-a)V0,cos償_a)=—J1—sin—a

cos(弓+a)=cos[π—傳—a)]=—cos償-Q)=等.

4.（2022春?廣東茂名?高一統(tǒng)考期末）已知COSa=-g,且tana>0.

(1)求tana的值;

2sin(π-a)÷sin(^+a)

(2)求:的值.

cos(2π-a)+cos(-a)

【答案】（1立

【分析】（I）山同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解;

（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值.

【詳解】(1)團(tuán)CoSQ=—g,tana>0,回a為第三象限角.

0sina=—√1—cos2a=—1

iSina3

0ta∏a=-----=

COSa4

(2)原式=2sina+COSa

cosa+cosa

1

=tana+-

2

3,15

=-÷-=

424

5.（2022春?重慶?高一階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中,角a的頂點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為％的非負(fù)半軸,終邊經(jīng)過(guò)

點(diǎn)(一1,2).

⑴求Sina?tana的值;

Siinl^a+^)?cos(-y-aytan(2π-a)?cos(-^?琳