北京昌平區(qū)下莊學(xué)校2022年高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)的值是()A.－i

B．iC．i

D．－i

參考答案：B略2.已知等比數(shù)列滿足，則當(dāng)?shù)扔冢?/p>

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.若直線l：y=﹣+m與曲線C：y=有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A． B．（1，） C．（1，+1） D．（2，+1）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】由題意作出函數(shù)的圖象，由圖象求出m的臨界值，從而求m的取值范圍．【解答】解：由題意作圖象如下，y=的圖象由橢圓的一上部分與雙曲線的上部分構(gòu)成，故直線l：y=﹣+m與曲線C：y=有且僅有三個(gè)交點(diǎn)的臨界直線有，當(dāng)y=﹣+m過(guò)點(diǎn)（2，0）時(shí)，即0=﹣1+m，故m=1；當(dāng)直線y=﹣+m與橢圓的上部分相切，即y′==﹣，即x=，y=時(shí)，此時(shí)，m=．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．4.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則等于(

)A．13

B．35

C．49

D．63

參考答案：C略5.由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為(

)A．

B．4

C．

D．6參考答案：C6.若函數(shù)同時(shí)滿足下列三個(gè)性質(zhì)：①最小正周期為；②圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③在區(qū)間上是增函數(shù)，則的解析式可以是（）A.

B.

C.

D.參考答案：A7.表面積為4π的球O放置在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1上，且與上表面A1B1C1D1相切，球心在正方體上表面的射影恰為該表面的中心，則四棱錐O-ABCD的外接球的半徑為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先求出球O的半徑長(zhǎng)為1，可得出四棱錐O-ABCD的高為5，且底面正方形ABCD外接圓的半徑為，并設(shè)四棱錐O-ABCD的外接球的半徑為R，可得出，從而解可計(jì)算出四棱錐O-ABCD的外接球的半徑.【詳解】由題可得四棱錐O-ABCD為正四棱錐，因?yàn)榍騉的表面積為，所以球O的半徑為1，所以正四棱錐O-ABCD的高為5，底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，設(shè)四棱錐O-ABCD的外接球的半徑為R，則，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐外接球的半徑，解題時(shí)要充分分析幾何體的結(jié)構(gòu)，確定球心的位置，由此列方程求解，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中等題.8.如果10N的力能使彈簧壓縮10cm，為在彈性限度內(nèi)將彈簧從平衡位置拉到離平衡位置6cm處，則克服彈力所做的功為（

）

A.

0.28J

B.

0.12J

C.

0.26J

D.

0.18J

參考答案：D略9.若，則方程在上恰好有（

）．A．個(gè)根 B．個(gè)根 C．個(gè)根 D．個(gè)根參考答案：B令，則，∴，故當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)，又∵，，故函數(shù)在上有且只有一零點(diǎn)，即方程在上恰好有個(gè)根，故選．10.從6人中選派4人承擔(dān)甲，乙，丙三項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人承擔(dān)，則不同的選派方法的個(gè)數(shù)為（

）A.1080 B.540 C.180 D.90參考答案：B【分析】先從6人中選派4人，再將選取的4人分成三組，分別從事甲、乙、丙三項(xiàng)工作，進(jìn)而可得不同的選派方法的種數(shù).【詳解】先從6人中選派4人，共有種方法，再將選取的4個(gè)人分成三組共有種方法，再將三組分配從事甲、乙、丙三項(xiàng)工作共有種方法，所以不同的選派方法共有種，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)排列組合的綜合題，對(duì)應(yīng)的解題思路是先選后排，屬于中檔題目.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為2，它的一個(gè)焦點(diǎn)是，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

．參考答案：略12.已知，若與夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．參考答案：13.參考答案：略14.已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三點(diǎn)共線，則xy=___________。參考答案：2略15.設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則

▲

．參考答案：16.若ab＞0，ac＜0，則直線ax+by+c=0不經(jīng)過(guò)第象限．參考答案：三【考點(diǎn)】直線的一般式方程．【專題】計(jì)算題；方程思想；直線與圓．【分析】由條件得到直線的斜率和直線的截距，即可得到直線的位置．【解答】解：直線的斜截式方程為y=﹣x﹣，∵ac＜0且ab＞0，∴bc＜0，∴斜率﹣＜0，在y軸上的截距﹣＞0．∴直線ax+by+c=0不通過(guò)第三象限．故答案為：三．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的方程的應(yīng)用，將方程轉(zhuǎn)化為斜截式是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．17.設(shè)p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，則p是q成立的

條件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）．參考答案：必要不充分【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】由q?p，反之不成立．即可判斷出結(jié)論．【解答】解：∵p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，由q?p，反之不成立．∴p是q成立的必要不充分條件；故答案為：必要不充分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充要條件的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)，（為實(shí)數(shù)）（1） 若為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.（2）

記函數(shù)的最小值為，求.（3）

求的最小值.參考答案：3.求出函數(shù)g(a)最小值為0

14分19.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R分別在棱AB、BB1、CC1上，且PD、QR相交于點(diǎn)O．求證：O、B、C三點(diǎn)共線．參考答案：【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論．【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】由QR∩PD=O，得O∈面BCC1B1且O∈面ABCD，再由面ABCD∩面BCC1B1=BC，能證明O、B、C三點(diǎn)共線．【解答】證明：∵QR∩PD=O，∴O∈QR且O∈PD，∴O∈面BCC1B1且O∈面ABCD，又面ABCD∩面BCC1B1=BC∴O∈BC，∴O、B、C三點(diǎn)共線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三點(diǎn)共線的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面的基本性質(zhì)及推論的合理運(yùn)用．20.如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q-BP-C的余弦值．

參考答案：略21.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；（I）求異面直線A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角．【分析】（I）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，可得和的坐標(biāo)，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設(shè)平面C1AD的法向量為=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），設(shè)直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=，進(jìn)而可得答案．【解答】解：（I）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴異面直線A1B，AC1所成角的余弦值為：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設(shè)平面C1AD的法向量為=（x，y，z），則可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），設(shè)直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=∴直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值為：22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心為（2，），半徑為1的圓．（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)M為曲線C1上的點(diǎn)，N為曲線C2上的點(diǎn)，求|MN|的取值范圍．參考答案：（1）C1：y2＝1，C2：x2+（y﹣2）2＝1；（2）[0，1]【分析】（Ⅰ）消去參數(shù)φ可得C1的直角坐標(biāo)方程，易得曲線C2的圓心的直角坐標(biāo)為（0，2），可得C2的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)M（3cosφ，sinφ），由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得|MC2|的取值范圍，結(jié)合圓的知識(shí)可得答案．【詳解】（1）消去參數(shù)φ可得C1的普通方程為y2